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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題6 解析幾何 第1講 直線與圓 文
直線的方程及應(yīng)用
1.(xx貴州模擬)過點(-1,3)且平行于直線x-2y+3=0的直線方程為( A )
(A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0
(C)x-2y-5=0 (D)2x+y-5=0
解析:由題意,可設(shè)所求直線方程為x-2y+C=0,
又因為點(-1,3)在所求直線上,
所以-1-23+C=0,
解得C=7.故選A.
2.(xx長春調(diào)研)一次函數(shù)y=-x+的圖象同時經(jīng)過第一、三、四象限的必要不充分條件是( B )
(A)m>1且n<1 (B)mn<0
(C)m>0且n<0 (D)m<0且n<0
解析:因為y=-x+經(jīng)過第一、三、四象限,
故->0,<0,
即m>0,n<0,但此為充要條件,
因此其必要不充分條件為mn<0.故選B.
3.(xx鄭州模擬)直線l經(jīng)過點A(1,2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率的取值范圍是( D )
(A)(-1,) (B)(-∞,)∪(1,+∞)
(C)(-∞,1)∪(,+∞) (D)(-∞,-1)∪(,+∞)
解析:如圖,kAB=-1,kAC=,
因此滿足條件的直線l的斜率范圍是(-∞,-1)∪(,+∞).故選D.
4.(xx山西模擬)已知直線a2x+y+2=0與直線bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,則|ab|的最小值為( C )
(A)5 (B)4 (C)2 (D)1
解析:由題意得a2b+[-(a2+1)]=0,
所以b=,
所以|ab|=|a|
=|a+|
=|a|+||
≥2.
故選C.
5.若動點A,B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上運動,則AB的中點M到原點的距離的最小值為( C )
(A) (B)2 (C)3 (D)4
解析:由題意知AB的中點M的集合為到直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距離都相等的直線,則點M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離.
設(shè)點M所在直線的方程為l:x+y+m=0(m<0),根據(jù)平行線間的距離公式得,=,
即|m+7|=|m+5|,
所以m=-6,即l:x+y-6=0,根據(jù)點到直線的距離公式,得中點M到原點的距離的最小值為=3.
故選C.
圓的方程及應(yīng)用
6.(xx遼寧模擬)圓心在直線y=x上,經(jīng)過原點,且在x軸上截得弦長為2的圓的方程為( C )
(A)(x-1)2+(y-1)2=2
(B)(x-1)2+(y+1)2=2
(C)(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2
(D)(x-1)2+(y+1)2=2或(x+1)2+(y-1)2=2
解析:由于圓心在y=x上,
所以可設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-a)2=r2,
將原點(0,0)代入圓的方程得r2=2a2,①
由圓在x軸上截得弦長為2,得r2=a2+1,②
由①②得
所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.
7.(xx黑龍江模擬)圓心在曲線y=(x>0)上,且與直線2x+y+1=0相切的面積最小的圓的方程為( A )
(A)(x-1)2+(y-2)2=5 (B)(x-2)2+(y-1)2=5
(C)(x-1)2+(y-2)2=25 (D)(x-2)2+(y-1)2=25
解析:設(shè)此圓的圓心坐標(biāo)為(x0,)(x0>0),
則圓的半徑r=≥=,
當(dāng)且僅當(dāng)2x0=,x0=1時,等號成立,
圓的面積最小,此時圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑為,
所以圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5.故選A.
8.以雙曲線-=1的右焦點為圓心,并與其漸近線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
解析:雙曲線的漸近線方程為y=x,
不妨取y=x,即4x-3y=0.
雙曲線的右焦點為(5,0),
圓心到直線4x-3y=0的距離為d==4,
即圓的半徑為4,
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+y2=16.
答案:(x-5)2+y2=16
直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
9.(xx資陽市高三適應(yīng)性檢測)對任意實數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=4的位置關(guān)系一定是 ( C )
(A)相離 (B)相切
(C)相交且不過圓心 (D)相交且過圓心
解析:對任意的實數(shù)k,直線y=kx+1恒過點(0,1),且點(0,1)在圓x2+y2=4內(nèi),所以對任意的實數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=4的位置關(guān)系一定是相交但直線不過圓心.故選C.
10.(xx惠州模擬)圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為( B )
(A)內(nèi)切 (B)相交 (C)外切 (D)相離
解析:兩圓心的距離為,且1<<5,
即|r1-r2|
0)的位置關(guān)系是“平行相交”,則b的取值范圍為( D )
(A)(,)
(B)(0,)
(C)(0,)
(D)(,)∪(,+∞)
解析:圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=b2,
由兩直線平行可得a(a+1)-6=0,
解得a=2或a=-3,
又當(dāng)a=2時,直線l1與l2重合,舍去,
此時兩平行線方程分別為x-y-2=0和x-y+3=0;
由直線x-y-2=0與圓(x+1)2+y2=b2相切,
得b==,
由直線x-y+3=0與圓相切,
得b==,
當(dāng)兩直線與圓都相離時,b<,
所以“平行相交”時,b滿足
故b的取值范圍是(,)∪(,+∞).
13.圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實數(shù)a= .
解析:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-1)2=2-a,r2=2-a,
則圓心(-1,1)到直線x+y+2=0的距離為
=.
由22+()2=2-a,
得a=-4.
答案:-4
14.(xx湖北卷)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長度相等的四段弧,則a2+b2= .
解析:由題意得,直線l1截圓所得的劣弧長為,則圓心到直線l1的距離為,即=?a2=1,同理可得b2=1,則a2+b2=2.
答案:2
一、選擇題
1.(xx貴州模擬)過點P(1,3)且在x軸上的截距和在y軸上的截距相等的直線方程為( D )
(A)x+y-4=0 (B)3x-y=0
(C)x+y-4=0或3x+y=0 (D)x+y-4=0或3x-y=0
解析:若直線過原點,設(shè)直線方程為y=kx,把點P(1,3)代入得k=3,此時直線為y=3x,即3x-y=0.若直線不經(jīng)過原點,則設(shè)直線方程為+=1,即x+y=a.把點P(1,3)代入得a=4,所以直線方程為x+y=4,即x+y-4=0,故選D.
2.(xx哈爾濱模擬)函數(shù)y=asin x-bcos x的一條對稱軸為x=,則直線l:ax-by+c=0的傾斜角為( A )
(A)135 (B)120 (C)60 (D)45
解析:由函數(shù)y=f(x)=asin x-bcos x的一條對稱軸為x=知,
f(0)=f(),即-b=a,
因此直線l的斜率為-1,傾斜角為135.
3.(xx唐山模擬)直線l:x=my+2與圓M:x2+2x+y2+2y=0相切,則m的值為( B )
(A)1或-6 (B)1或-7
(C)-1或7 (D)1或-
解析:圓的方程為(x+1)2+(y+1)2=2,
圓心為(-1,-1),半徑為,
由題意直線與圓相切,
即d==,
解得m=-7或m=1.故選B.
4.(xx貴州模擬)若點P(1,1)為圓(x-3)2+y2=9的弦MN的中點,則弦MN所在直線方程為( C )
(A)2x+y-3=0 (B)x-2y+1=0
(C)2x-y-1=0 (D)x+2y-3=0
解析:圓(x-3)2+y2=9的圓心為A(3,0),
所以AP⊥MN,
AP的斜率為k==-,
所以直線MN的斜率為2,
所以弦MN所在直線方程為y-1=2(x-1),
即2x-y-1=0,選C.
5.(xx福建模擬)若不論m取何實數(shù),直線l:mx+y-1+2m=0恒過一定點,則該定點的坐標(biāo)為( A )
(A)(-2,1) (B)(2,-1) (C)(-2,-1) (D)(2,1)
解析:直線l的方程可化為m(x+2)+y-1=0,
由
得
故直線l恒過定點(-2,1).故選A.
6.(xx哈爾濱模擬)已知點P(1,2)和圓C:x2+y2+kx+2y+k2=0,過P作C的切線有兩條,則k的取值范圍是( D )
(A)(-∞,+∞) (B)(-∞,)
(C)(-,0) (D)(-,)
解析:若x2+y2+kx+2y+k2=0表示一個圓,
則k2+4-4k2=4-3k2>0,即-0,
由于k2+k+9=(k+)2+8>0恒成立,
所以k的取值范圍是(-,).
故選D.
7.(xx河北模擬)直線x-2y-3=0與圓C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F兩點,則△ECF的面積為( B )
(A) (B)2 (C) (D)
解析:由已知可得圓心到直線的距離為d=,
所以|EF|=4,
所以S△ECF=4=2.
故選B.
8.(xx安徽卷)過點P(-,-1)的直線l與圓x2+y2=1有公共點,則直線l的傾斜角的取值范圍是( D )
(A)(0,] (B)(0,] (C)[0,] (D)[0,]
解析:設(shè)過點P的直線方程為y=k(x+)-1,
則由直線和圓有公共點知≤1.
解得0≤k≤.
故直線l的傾斜角的取值范圍是[0,].
9.(xx江西模擬)已知兩點A(1,2),B(3,1)到直線l距離分別是,-,則滿足條件的直線l共有( C )
(A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條
解析:當(dāng)A,B位于直線l的同一側(cè)時,一定存在這樣的直線l,且有兩條;
因為|AB|==,
而A到直線l與B到直線l距離之和為+-=,
所以當(dāng)A,B位于直線l兩側(cè)時,存在一條與AB垂直且距離A,B分別為,-的直線,綜合可知滿足條件的直線共有3條.
10.已知直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(其中a,b是實數(shù)),且△AOB是直角三角形(O是原點),則點P(a,b)與點M(0,1)之間的距離的最大值為( A )
(A)+1 (B)2 (C) (D)-1
解析:由題意知∠AOB為直角,則原點到直線ax+by=1的距離為d==,則+a2=1,顯然M(0,1)為橢圓+a2=1的焦點,所以點P(a,b)與點M(0,1)之間的最大值為+1,選A.
11.(xx佳木斯模擬)已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-4x+6y+12=0,則|2x-y-2|的最小值是( A )
(A)5- (B)4- (C)-1 (D)5
解析:將x2+y2-4x+6y+12=0化為
(x-2)2+(y+3)2=1,
|2x-y-2|=,
所以|2x-y-2|表示圓(x-2)2+(y+3)2=1上的點到直線2x-y-2=0的距離的倍,
而()min=-1=-1,
所以|2x-y-2|的最小值為(-1)=5-.
故選A.
二、填空題
12.(xx濰坊模擬)若圓C:x2+y2+2x-4y+3=0關(guān)于直線2ax+by+6=0對稱,則由點(a,b)向圓所作的切線長的最小值是 .
解析:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=2,
所以圓心為(-1,2),半徑為.
因為圓關(guān)于直線2ax+by+6=0對稱,
所以圓心在直線2ax+by+6=0上,
所以-2a+2b+6=0,即b=a-3.
點(a,b)到圓心的距離為
d=
=
=
=,
所以當(dāng)a=2時,d有最小值=3.
此時切線長最小為==4.
答案:4
13.當(dāng)且僅當(dāng)m≤r≤n時,兩圓x2+y2=49與x2+y2-6x-8y+25-r2=0(r>0)有公共點,則n-m的值為 .
解析:整理x2+y2-6x-8y+25-r2=0,
得(x-3)2+(y-4)2=r2,
該圓圓心是(3,4),半徑為r,
要使兩圓有公共點需|r-7|≤≤7+r,
即2≤r≤12,進而可知m=2,n=12,所以n-m=10.
答案:10
14.(xx赤峰市高三統(tǒng)考)已知☉O:x2+y2=1,若直線y=kx+2上總存在點P,使得過點P的☉O的兩條切線互相垂直,則實數(shù)k的取值范圍是 .
解析:因為圓心為O(0,0),半徑R=1.
設(shè)兩個切點分別為A,B,
則由題意可得四邊形PAOB為正方形,
故有PO=R=,
由題意知圓心O到直線y=kx+2的距離小于或等于PO=,
即≤,
即1+k2≥2,
解得k≥1或k≤-1.
答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)
15.(xx安徽省黃山模擬)在直角坐標(biāo)系中,定義兩點P(x1,y1),Q(x2,y2)之間的“直角距離為d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.現(xiàn)有以下命題:
①若P,Q是x軸上兩點,則d(P,Q)=|x1-x2|;
②已知兩點P(2,3),Q(sin2α,cos2α),則d(P,Q)為定值;
③原點O到直線x-y+1=0上任意一點P的直角距離d(O,P)的最小值為;
④若|PQ|表示P,Q兩點間的距離,那么|PQ|≥d(P,Q);
其中為真命題的是 (寫出所有真命題的序號).
解析:①若P,Q是x軸上兩點,兩點縱坐標(biāo)均為0,則d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|=|x1-x2|,所以命題正確;
②若兩點P(2,3),Q(sin2α,cos2α),
則d(P,Q)=|2-sin2α|+|3-cos2α|=2-sin2α+3-cos2α=4,所以命題正確;
③設(shè)直線上任意一點為(x,x+1),則原點O到直線x-y+1=0上任意一點P的直角距離
d(O,P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1,
即其最小值為1,所以命題錯誤;
④由基本不等式a2+b2≥(a+b)2,
得|PQ|=≥(|x1-x2|+|y1-y2|)=d(P,Q),所以命題成立.
綜上所述,正確的命題為①②④.
答案:①②④
直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
訓(xùn)練提示:(1)直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合,“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的.
(2)圓的弦長的常用求法
①幾何法:求圓的半徑為r,弦心距為d,弦長為l,則()2=r2-d2;
②代數(shù)法:運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式:|AB|=|x1-x2|=.
(3)①圓與直線l相切的情形——圓心到l的距離等于半徑,圓心與切點的連線垂直于l.
②圓與直線l相交的情形——圓心到l的距離小于半徑,過圓心而垂直于l的直線平分l被圓截得的弦;連接圓心與弦的中點的直線垂直于弦;過圓內(nèi)一點的所有弦中,最短的是垂直于過這點的直徑的那條弦,最長的是過這點的直徑.
(4)①判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法,即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系,一般不采用代數(shù)法.
②當(dāng)兩圓相交時求其公共弦所在的直線方程或公共弦長時,只要把兩圓方程相減消掉二次項所得方程就是公共弦所在的直線方程,然后轉(zhuǎn)化為直線與圓相交求公共弦長.
1.已知:圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.
(1)當(dāng)a為何值時,直線l與圓C相切;
(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A,B兩點,且|AB|=2時,求直線l的方程.
解:將圓C的方程x2+y2-8y+12=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-4)2=4,則此圓的圓心為(0,4),半徑為2.
(1)若直線l與圓C相切,則有=2,
解得a=-.
(2)過圓心C作CD⊥AB,則根據(jù)題意和圓的性質(zhì),
得
解得a=-7或-1.
故所求直線方程為7x-y+14=0或x-y+2=0.
2.已知圓M:x2+(y-2)2=1,Q是x軸上的動點,QA,QB分別切圓M于A,B兩點.
(1)若Q(1,0),求切線QA,QB的方程;
(2)求四邊形QAMB面積的最小值;
(3)若|AB|=,求直線MQ的方程.
解:(1)設(shè)過點Q的圓M的切線方程為x=my+1,
則圓心M到切線的距離為1,
即=1,
解得m=-或0,
所以切線QA,QB的方程分別為3x+4y-3=0和x=1.
(2)因為MA⊥AQ,
所以=|MA||QA|
=|QA|
=
=
≥=.
所以四邊形QAMB面積的最小值為.
(3)設(shè)AB與MQ交于P,
則MP⊥AB,
所以|MP|==.
易證|MB|2=|MP||MQ|,
即1=|MQ|,
所以|MQ|=3,
設(shè)Q(x,0),則|MQ|2=x2+22=9,
所以x=,
所以Q(,0),
所以MQ的方程為2x+y-2=0或2x-y+2=0.
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2,在y軸上截得線段長為2.
(1)求圓心P的軌跡方程;
(2)若P點到直線y=x的距離為,求圓P的方程.
解:(1)設(shè)P(x,y),圓P的半徑為r.
由題設(shè)知y2+2=r2,x2+3=r2,
從而y2+2=x2+3.
故P點的軌跡方程為y2-x2=1.
(2)設(shè)P(x0,y0),
由已知得=.
又P點在雙曲線y2-x2=1上,
從而得
由得
此時,圓P的半徑r=.
由得
此時,圓P的半徑r=.
故圓P的方程為x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.
4.已知以點C(t,)為圓心的圓與x軸交于點O,A,與y軸交于點O,B,其中O為
原點.
(1)求證:△OAB的面積為定值;
(2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程.
(1)證明:由題意知圓C過原點O,
所以|OC|2=t2+.
則圓C的方程為(x-t)2+(y-)2=t2+,
令x=0,得y1=0,y2=;
令y=0,得x1=0,x2=2t.
所以S△OAB=|OA||OB|
=|||2t|=4,
即△OAB的面積為定值.
(2)解:因為|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,
所以O(shè)C垂直平分線段MN.
因為kMN=-2,所以kOC=,
所以直線OC的方程為y=x,
所以=t,
解得t=2或t=-2.
當(dāng)t=2時,圓心C的坐標(biāo)為(2,1),
|OC|=,
此時圓心C到直線y=-2x+4的距離d=<,
圓C與直線y=-2x+4相交于兩點;
當(dāng)t=-2時,圓心C的坐標(biāo)為(-2,-1),|OC|=,
此時圓心C到直線y=-2x+4的距離d=>,
圓C與直線y=-2x+4不相交,
所以t=-2不符合題意,應(yīng)舍去.
所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.
(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.
解:(1)由題設(shè),圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點,
解得點C(3,2),
于是切線的斜率必存在.
設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3.
由題意,得=1,
解得k=0或k=-,
故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.
(2)因為圓心在直線y=2x-4上,
所以圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
設(shè)點M(x,y),
因為MA=2MO,
所以=2,
化簡得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,
所以點M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.
由題意,點M(x,y)在圓C上,
所以圓C與圓D有公共點,
則|2-1|≤CD≤2+1,
即1≤≤3.
整理,得-8≤5a2-12a≤0.
由5a2-12a+8≥0,
得a∈R;
由5a2-12a≤0,
得0≤a≤.
所以點C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為[0,].
6.在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點O為圓心的圓與直線x-y=4相切.
(1)求圓O的方程;
(2)若圓O上有兩點M,N關(guān)于直線x+2y=0對稱,且|MN|=2,求直線MN的方程;
(3)圓O與x軸相交于A,B兩點,圓內(nèi)的動點P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,求的取值范圍.
解:(1)依題意,圓O的半徑r等于原點O到直線x-y=4的距離,
即r==2.
所以圓O的方程為x2+y2=4.
(2)由題意,可設(shè)直線MN的方程為2x-y+m=0.
則圓心O到直線MN的距離d=.
由垂徑分弦定理得+()2=22,
即m=.
所以直線MN的方程為2x-y+=0或2x-y-=0.
(3)不妨設(shè)A(x1,0),B(x2,0),x1
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
專題6
解析幾何
第1講
直線與圓
2019
2020
年高
數(shù)學(xué)
二輪
復(fù)習(xí)
專題
直線
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