《2019-2020年高考數學精英備考專題講座 第八講運用數學思想方法解題的策略 第五節(jié)推理證明與算法初步 文.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高考數學精英備考專題講座 第八講運用數學思想方法解題的策略 第五節(jié)推理證明與算法初步 文.doc（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

2019-2020年高考數學精英備考專題講座 第八講運用數學思想方法解題的策略 第五節(jié)推理證明與算法初步 文 推理證明與算法初步是我們高考關注的幾個新課標中重點話題，主要涉及到合情推理和演繹推理，直接證明和間接證明，以及算法初步中的框圖知識和算法案例等. 題型可能是選擇題、填空題，主要考查類比或歸納推理、循環(huán)結構為主的框圖等；也可能是解答題，結合多個知識點進行命題的綜合試題.其中推理與證明部分常與數列、不等到式問題綜合，難度一般在之間. 考試要求 （1）合情推理與演繹推理① 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發(fā)現中的作用;② 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理;③ 了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異;（2）直接證明與間接證明① 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點;② 了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點；（3）了解算法的含義；理解程序框圖的三種基本結構：順序、選擇、循環(huán)；理解幾種基本算法語句. 題型一：合情推理 例1（1）若?ABC內切圓半徑為r，三邊長為a、b、c，則?ABC的面積S＝r (a+b+c) 類比到空間，若四面體內切球半徑為R，四個面的面積為S1、S2 、S3 、S4，則四面體的體積＝ ． （2）在古臘畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數叫做三角形數，因為這些數對應的點可以排成一個正三角形, 則第個三角形數為( ). A. B. C. D. 點撥：（1）類比推理是指兩類對象具有一些類似特征，由其中一類的某些已知特征推出另一類對象的某些特征；（2）這是一種歸納推理方法，要善于發(fā)現其中的數字間的特征才能找到規(guī)律，得到一般形式. 解：（1）比較兩個對象，三邊對四面，面積對體積，內切圓對內切球，三邊長對四個面的面積，由S＝r (a+b+c)等式兩邊的量，類比對應到體積、系數、半徑R、面積S1＋S2＋S3＋S4.答：R(S1＋S2＋S3＋S4). （2）在給出的一三角形數中，其中第一個三角形數1，第二個三角形數3=1+2，第三個三角形數6=1+2=3,第四個三角形數10=1+2+3+4，第五個三角形數15=1+2+3+4+5，故推測出的一般結論是：第個三角形數為 易錯點：（1）類似特征不明確，類比結論錯誤；（2）不善于尋找數字間的 D O 圖 規(guī)律，導致結論錯誤. 變式與引申1：（1） 在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1， 則；類比此性質，如圖，在四 面體P—ABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，底 面ABC上的高為h，則得到的正確結論為 ； （2）(xx江西文數)觀察下列各式：則，…，則的末兩位數字為（ ） A.01 B.43 C.07 D.49 題型二：演繹推理 例2如圖，在直三棱柱中，分別是的中點，點在上，. 求證：（1）∥； （2）. 點撥：數學的證明主要是通過演繹推理來進行的，證明線面平行時一定要注意注明直線在平面內及直線在平面外這兩個條件. 解：證明：（1）因為分別是的中點，所以，又，，所以∥； （2）因為直三棱柱，所以， ，又，所以， 又，所以. 易錯點：三段論是演繹推理的一般形式，包括大前提、小前提、 結論三部分，在書寫證明的過程中，很多學生會出現跳步現象， 邏輯關系不清楚是常見的錯誤. 變式與引申2：（1）已知①正方形的對角相等；②平行四邊形的對角相等； ③正方形是平行四邊形．根據三段論推理得到一個結論，則這個結論的序號是 . A B C D E F 圖 （2）如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，，F為CD的中點. (Ⅰ)求證：AF∥平面BCE； (Ⅱ)求證：平面BCE⊥平面CDE. 題型三：直接證明 例3 已知求證： 點撥：綜合法著力分析已知和求證之間的差異和聯系，并合理運用已知 條件進行有效的變換是證明的關鍵，綜合法可以使證明過程表述簡潔， 但必須首先考慮從哪開始，這一點比較困難，分析法就可以幫助我們克服這一點，運用分析法比較容易探求解題的途徑，但過程不及綜合法簡單，所以應把它們結合起來. 證法1：（綜合法） ，當且僅當時等號成立， 當且僅當時等號成立， 即 證法2：（分析法） 要證，只要證 即證 ，即證 即 由 得， 所以原不等式成立 易錯點： （1）用綜合法證明時難找到突破口，解題受阻；（2）分析法是尋找使不等式成立的充分條件，最后要充分說明推出的結論為什么成立. 變式與引申3：設 (），比較、、的大小，并證明你的結論. 題型四：間接證明 例4：已知函數y=ax+(a＞1). （1）證明：函數f(x)在（-1,+∞)上為增函數； （2）用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根. 點撥：用反證法證明把握三點（1）必須先否定結論，即肯定結論的反面；（2）必須從否定結論進行推理，即把結論的反面作為條件，且必須依據這一條件進行推證，（3）導致的矛盾可能多種多樣，但推導出的矛盾必須是明顯的. 證明 （1）任取x1,x2∈(-1,+∞), 不妨設x1＜x2,則x2-x1＞0,由于a＞1, ∴a＞1且a＞0, ∴a-a=a (a-1)＞0. 又∵x1+1＞0,x2+1＞0, ∴-==＞0, 于是f(x2)-f(x1)=a-a+-＞0, 故函數f(x)在(-1,+∞）上為增函數. （2）方法一 假設存在x0＜0 (x0≠-1)滿足f(x0)=0, 則a=-. ∵a＞1,∴0＜a＜1, ∴0＜-＜1,得＜x0＜2，與假設x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0沒有負數根. 方法二 假設存在x0＜0 (x0≠-1)滿足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，則＜-2,a＜1, ∴f(x0)＜-1,與f(x0)=0矛盾. ②若x0＜-1,則＞0,a＞0, ∴f(x0)＞0,與f(x0)=0矛盾， 故方程f(x)=0沒有負數根. 易錯點：（1）不是把求證結論的反面作為條件證題（2）不寫明與什么相矛盾. 變式與引申4：證明：若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個實數根 題型五： 算法初步 例5 若程序框圖如圖輸出的 S 是 126，則①應為（ ） A．n≤5? B．n≤6? C．n≤7? D．n≤8? 點撥 由知，在第次循環(huán)時，， 由題意只需找到滿足方程的的值. 再結合語句推出判斷框①. 解析 因，則當 n＝7 時退出循環(huán)，所以 n≤6.故選 B. 易錯點 不能準確判斷循環(huán)終止的條件 變式與引申 5. 下面是一個用基本語句編寫的程序如圖，閱讀后解決所給出的問題： INPUT IF THEN ELSE END IF PRINT END （1）請說明該算法程序的功能，并寫出程序中的函數表達式； （2）將該程序語句轉化為相應的程序框圖. 本節(jié)主要考查：（1）知識點有：歸納推理、類比推理兩種合情推理和演繹推理；直接證明與間接證明；算法的含義、幾種基本的算法語句、程序框圖． （2）推理滲透在每個高考試題中，證明是推理的一種形式，有的問題需要很強的推理論證能力和技巧．推理問題常常以探索性命題的方式出現在高考題中；（3）常見的論證方法有：綜合法、分析法及反證法等． 點評：（1）歸納猜想是一種重要的思維方法，是對有限的資料進行觀察、分析、歸納、整理，然后提出帶有規(guī)律性的結論，是由部分到整理，由個別到一般的推理；結果的正確性還需進一步論證，一般地，考查的個體越多，歸納出的結論可靠性越大． （2）類比的關健是能把兩個系統(tǒng)之間的某些一致性確切地表述出來，也就是要把相關對象在某些方面一致性的含糊認識說清楚，在學習中要注意通過類比去發(fā)現探索新問題． （3）綜合法的特點是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，實際上是尋找使問題成立的必要條件，是一個由因導果的過程；分析法的特點是：從“未知”看“需知”逐步靠攏“已知”，即尋找使問題成立的充分條件，是一個執(zhí)果索因的過程． （4）一般來說：分析法有兩種證明途徑：①由命題結論出發(fā)，尋找結論成立的充分條件，逐步推導下去；②由命題結論出發(fā)，尋找結論成立的充要條件，逐步推導下去． （5）反證法在高考中的要求不高，但這種“正難則反”的思維方式值得重視，解決問題時要注意從多方面考慮，提高解決問題的靈活性． （6）算法是指解決某類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，且在有限步內完成．算法過程要簡練，每一步執(zhí)行的操作必須為下一步做準備．程序框圖是由框圖和流程線組成的，是算法的一種表現形式．通常是先寫出算法步驟，再轉化為程序框圖．算法初步在高考中的要求不高，同學們在學習時要通過對解決具體問題過程與步驟的分析，體會算法的基本思想. 習題8-5 1.（xx高考天津卷理）閱讀右邊的程序框圖，運行相應的 程序，則輸出的值為（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．將正奇數數列1，3，5，7，9，…進行如下分組：第一組含一個數 {1}；第二組含兩個數{3，5}；第三組含三個數{7，9，11}；第四組含 四個數{13，15，17，19}；……記第n組內各數之和為Sn，則Sn與n 的關系為 (　 　) A．Sn＝n2 B．Sn＝n3 C．Sn＝2n＋1 D．Sn＝3n－1 3．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關數據組成傳輸信息．設定原信息為（），傳輸信息為，其中，運算規(guī)則為：，，，，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列三個接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有誤的是 （填序號）． 4. 已知函數. （１）求函數的單調區(qū)間； （2）試證明：對任意，不等式恒成立． 圖 5.如圖所示，點P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側棱BB1上一點，PM⊥BB1交AA1于點M，PN⊥BB1交CC1于點N. （1）求證：CC1⊥MN； （2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DFEFcos∠DFE. 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側面面積與其中兩個 側面所成的二面角之間的關系式，并予以證明. 6.已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關的定值.試對雙曲線=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明. 【答案】 變式與引申1【解析】（1）； （2）答案：B 解析： 變式與引申2 【解析】 （1）演繹推理是從一般性原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，三段論是演繹推理的一般形式，包括大前提、小前提、結論三部分．這里②③可推出①，其中②是大前提，③是小前題①是結論； 答：①； （2）19．方法一：（1）證：取的中點，連. ∵為的中點，∴且. ∵平面，平面， ∴，∴. 又，∴. ∴四邊形為平行四邊形，則. ∵平面，平面， ∴平面. （2）證：∵為等邊三角形，為的中點，∴ ∵平面，平面，∴. 又，故平面. ∵，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 方法二：設，建立如圖所示的坐標系， 則. ∵為的中點，∴. （1）證：， ∵，平面，∴平面. （2）證：∵， ∴，∴. ∴平面，又平面， ∴平面平面. 變式與引申3 【解析】∵ 又∵ ∴<< 變式與引申4證明：假設方程在區(qū)間上至少有兩個不同的實數根、,即. 不妨設,由于函數f(x)在區(qū)間上是增函數,故,這與矛盾, 所以方程在區(qū)間上至多只有一個實數根. 5. 解：（1）由算法程序可知，該算法程序的功能是計算分段函數 的函數值. （2）程序框圖如圖： 習題8-5 1 . B； 2 .B； 3. 【解析】新背景下的信息轉換問題，需要認真分析對應關系，在對應關系下求出原象，如對于第一個接受信息，依據對應關系可知，求得，同理求得，故（1）正確；對于（3），若原信息為011，則接收信應為10110．答：（3）； 4. 【解析】解：(1)∵ 令得 顯然是上方程的解 令，，則 ∴函數在上單調遞增 ∴是方程的唯一解 ∵當時，當時 ∴函數在上單調遞增，在上單調遞減 (2)由（1）知當時， ∴在上恒有，當且僅當時“＝”成立 ∴對任意的恒有 ∵　　∴ 即對，不等式恒成立． 5【解析】（1）∵PM⊥BB1，PN⊥BB1， ∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN. 又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN. （2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S=S+S－2SScos.其中為平面CC1B1B 與平面CC1A1A所成的二面角. ∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角為∠MNP. 在△PMN中， ∵PM2=PN2+MN2－2PNMNcos∠MNP ∴PM2CC=PN2CC+MN2CC-2（PNCC1）（MNCC1）cos∠MNP， 由于S=PNCC1，S=MNCC1， S=PMBB1=PMCC1，∴S=S+S－2SScos. 上， 所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.則kPMkPN ====(定值).