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2019-2020年高中數學《命題及其關系》教案2 新人教A版選修2-1 （一）教學目標 １、知識與技能：理解命題的概念和命題的構成，能判斷給定陳述句是否為命題，能判斷命題的真假；能把命題改寫成“若p，則q”的形式； ２、過程與方法：多讓學生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力； ３、情感、態(tài)度與價值觀：通過學生的參與，激發(fā)學生學習數學的興趣。 （二）教學重點與難點 重點：命題的概念、命題的構成 難點：分清命題的條件、結論和判斷命題的真假 （三）教學過程 1．復習回顧 初中已學過命題的知識，請同學們回顧：什么叫做命題？ 2．思考、分析 下列語句的表述形式有什么特點？你能判斷他們的真假嗎？ （1）若直線a∥b，則直線a與直線b沒有公共點 ． （2）2+4=7． （3）垂直于同一條直線的兩個平面平行． （４）若x2=1,則x=1． （５）兩個全等三角形的面積相等． （６）３能被２整除． 3．討論、判斷 學生通過討論，總結：所有句子的表述都是陳述句的形式，每句話都判斷什么事情。其中（1）（3）（5）的判斷為真，（2）（4）（6）的判斷為假。 教師的引導分析：所謂判斷，就是肯定一個事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、歸納 定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題． 命題的定義的要點：能判斷真假的陳述句． 在數學課中，只研究數學命題，請學生舉幾個數學命題的例子． 教師再與學生共同從命題的定義，判斷學生所舉例子是否是命題，從“判斷”的角度來加深對命題這一概念的理解． 5．練習、深化 判斷下列語句是否為命題？ （１）空集是任何集合的子集． （２）若整數a是素數，則是a奇數． （３）指數函數是增函數嗎？ （４）若平面上兩條直線不相交，則這兩條直線平行． （５）＝－２． （６）x＞１５． 讓學生思考、辨析、討論解決，且通過練習，引導學生總結：判斷一個語句是不是命題，關鍵看兩點：第一是“陳述句”，第二是“可以判斷真假”，這兩個條件缺一不可．疑問句、祈使句、感嘆句均不是命題． 解略。 引申：以前，同學們學習了很多定理、推論，這些定理、推論是否是命題？同學們可否舉出一些定理、推論的例子來看看？ 通過對此問的思考，學生將清晰地認識到定理、推論都是命題． 過渡：同學們都知道，一個定理或推論都是由條件和結論兩部分構成（結合學生所舉定理和推論的例子，讓學生分辨定理和推論條件和結論，明確所有的定理、推論都是由條件和結論兩部分構成）。緊接著提出問題：命題是否也是由條件和結論兩部分構成呢？ 6.命題的構成――條件和結論 定義：從構成來看，所有的命題都具由條件和結論兩部分構成．在數學中，命題常寫成“若p，則q”或者 “如果p，那么q”這種形式，通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件,q叫做命題結論． 7．練習、深化 指出下列命題中的條件p和結論q，并判斷各命題的真假． （１）若整數a能被２整除，則a是偶數． （２）若四邊行是菱形，則它的對角線互相垂直平分． （３）若a＞0，b＞0，則a+b＞0． （４）若a＞0，b＞0，則a+b＜0． （５）垂直于同一條直線的兩個平面平行． 此題中的（１）（２）（３）（４），較容易，估計學生較容易找出命題中的條件p和結論q，并能判斷命題的真假。其中設置命題（３）與（４）的目的在于：通過這兩個例子的比較，學更深刻地理解命題的定義——能判斷真假的陳述句，不管判斷的結果是對的還是錯的。 此例中的命題（５），不是“若P，則q”的形式，估計學生會有困難，此時，教師引導學生一起分析：已知的事項為“條件”，由已知推出的事項為“結論”． 解略。 過渡：從例２中，我們可以看到命題的兩種情況，即有些命題的結論是正確的，而有些命題的結論是錯誤的，那么我們就有了對命題的一種分類：真命題和假命題． 8．命題的分類――真命題、假命題的定義． 真命題：如果由命題的條件P通過推理一定可以得出命題的結論q，那么這樣的命題叫做真命題． 假命題：如果由命題的條件P通過推理不一定可以得出命題的結論q，那么這樣的命題叫做假命題． 強調： 　(１)注意命題與假命題的區(qū)別．如：“作直線AB”．這本身不是命題．也更不是假命題． (２)命題是一個判斷，判斷的結果就有對錯之分．因此就要引入真命題、假命題的的概念，強調真假命題的大前提，首先是命題。 9．怎樣判斷一個數學命題的真假？ 　　(１)數學中判定一個命題是真命題，要經過證明． (２)要判斷一個命題是假命題，只需舉一個反例即可． 10．練習、深化 例３：把下列命題寫成“若P，則q”的形式，并判斷是真命題還是假命題： （１） 面積相等的兩個三角形全等。 （２） 負數的立方是負數。 （３） 對頂角相等。 分析：要把一個命題寫成“若P，則q”的形式，關鍵是要分清命題的條件和結論，然后寫成“若條件，則結論”即“若P，則q”的形式．解略。 11、課堂練習：Ｐ４　?。?、３ 12．課堂總結　　師生共同回憶本節(jié)的學習內容． 　　1．什么叫命題？真命題？假命題？　　 2．命題是由哪兩部分構成的？ 　　3．怎樣將命題寫成“若P，則q”的形式．　　4．如何判斷真假命題． 　　教師提示應注意的問題： 1．命題與真、假命題的關系． 　2．抓住命題的兩個構成部分，判斷一些語句是否為命題． 　?。常袛嗉倜}，只需舉一個反例，而判斷真命題，要經過證明． 13．作業(yè)：P9：習題1．１Ａ組第1題 1.1.2四種命題　1.1.3四種命題的相互關系 （一）教學目標 ◆知識與技能：了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題的形式和四種命題間的相互關系，會用等價命題判斷四種命題的真假． ◆過程與方法：多讓學生舉命題的例子，并寫出四種命題，培養(yǎng)學生發(fā)現問題、提出問題、分析問題、有創(chuàng)造性地解決問題的能力；培養(yǎng)學生抽象概括能力和思維能力． ◆情感、態(tài)度與價值觀：通過學生的舉例，激發(fā)學生學習數學的興趣和積極性，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力． （二）教學重點與難點 重點：（1）會寫四種命題并會判斷命題的真假； （2）四種命題之間的相互關系． 難點：（1）命題的否定與否命題的區(qū)別； （2）寫出原命題的逆命題、否命題和逆否命題； （3）分析四種命題之間相互的關系并判斷命題的真假． （三）教學過程 １．復習引入 初中已學過命題與逆命題的知識，請同學回顧：什么叫做命題的逆命題？ 2．思考、分析 問題1：下列四個命題中，命題（1）與命題（2）、（3）、（4）的條件與結論之間分別有什么關系？ （1）若f(x)是正弦函數，則f(x)是周期函數． （2）若f(x)是周期函數，則f(x)是正弦函數． （3）若f(x)不是正弦函數，則f(x)不是周期函數． （4）若f(x)不是周期函數，則f(x)不是正弦函數． ３．歸納總結 問題一通過學生分析、討論可以得到正確結論．緊接結合此例給出四個命題的概念，（１）和（２）這樣的兩個命題叫做互逆命題，（１）和（３）這樣的兩個命題叫做互否命題，（１）和（４）這樣的兩個命題叫做互為逆否命題。 ４．抽象概括 定義１：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆命題． 讓學生舉一些互逆命題的例子。 定義２：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互否命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的否命題． 讓學生舉一些互否命題的例子。 定義３：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆否命題． 讓學生舉一些互為逆否命題的例子。 小結： (1) 交換原命題的條件和結論，所得的命題就是它的逆命題： (2) 同時否定原命題的條件和結論，所得的命題就是它的否命題； (3) 交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題就是它的逆否命題． 強調：原命題與逆命題、原命題與否命題、原命題與逆否命題是相對的。 ５．四種命題的形式 讓學生結合所舉例子，思考： 若原命題為“若P，則q”的形式，則它的逆命題、否命題、逆否命題應分別寫成什么形式？ 學生通過思考、分析、比較，總結如下： 原命題：若P，則q．則： 逆命題：若q，則P． 否命題：若￢P，則￢q．（說明符號“￢”的含義：符號“￢”叫做否定符號．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p） 逆否命題：若￢q，則￢P． ６．練習鞏固 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假： （１） 若一個三角形的兩條邊相等，則這個三角形的兩個角相等； （２） 若一個整數的末位數字是０，則這個整數能被５整除； （３） 若x2=1,則x=1； （４） 若整數a是素數，則是a奇數。 ７．思考、分析 結合以上練習思考：原命題的真假與其它三種命題的真假有什么關系？ 通過此問，學生將發(fā)現： ①原命題為真，它的逆命題不一定為真。 ②原命題為真，它的否命題不一定為真。 ③原命題為真，它的逆否命題一定為真。 原命題為假時類似。 結合以上練習完成下列表格： 原 命 題 逆 命 題 否 命 題 逆 否 命 題 真 真 假 真 假 真 假 假 由表格學生可以發(fā)現：原命題與逆否命題總是具有相同的真假性，逆命題與否命題也總是具有相同的真假性． 由此會引起我們的思考： 一個命題的逆命題、否命題與逆否命題之間是否還存在著一定的關系呢？ 讓學生結合所做練習分析原命題與它的逆命題、否命題與逆否命題四種命題間的關系． 學生通過分析，將發(fā)現四種命題間的關系如下圖所示： ８．總結歸納 若P，則q． 若q，則P． 原命題 互 逆 逆命題 互 否 互 為 否 逆 互 否 為 互 逆 否 否命題 逆否命題 互 逆 若￢P，則￢q． 若￢q，則￢P． 由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間的關系如下： （1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； （2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系． 由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題． ９．例題分析 例4： 證明：若p2 ＋ q2 ＝2，則p ＋ q ≤ 2． 分析：如果直接證明這個命題比較困難，可考慮轉化為對它的逆否命題的證明。 將“若p2 ＋ q2 ＝2，則p ＋ q ≤ 2”視為原命題，要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否命題“若p + q ＞2，則p2 + q2 ≠2”為真命題，從而達到證明原命題為真命題的目的． 證明：若p ＋ q ＞2，則 　　p2 ＋ q2　?。剑郏╬ －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞２２＝２ 所以p2 ＋ q2≠2． 這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。 練習鞏固：證明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，則a－b≠１． １０：課堂總結 （１）逆命題、否命題與逆否命題的概念； （２）兩個命題互為逆否命題，他們有相同的真假性； （３）兩個命題為互逆命題或互否命題，他們的真假性沒有關系； （４）原命題與它的逆否命題等價；否命題與逆命題等價． １１：作業(yè)　　P9：習題1．１Ａ組第２、３、４題