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2019-2020年高考數(shù)學精英備考專題講座 第六講解析幾何 第一節(jié)曲線與方程 文 曲線與方程是解析幾何的基本概念,在近年的高考試題中,重點考查曲線與方程的關系,考查曲線方程的探求方法,多以綜合解答題的第⑴小問的形式出現(xiàn),就這部分考題來說,屬于中檔題,難度值一般在之間. 考試要求 ⑴了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系. ⑵掌握一般曲線(點的軌跡)方程的求解方法和用定義法求圓錐曲線方程. 題型一 曲線與方程 例 設集合非空.如果命題“坐標滿足方程的點都在曲線上”不正確,給出以下四個命題：①曲線上的點的坐標都滿足方程；②坐標滿足方程的點有些在上,有些不在上；③坐標滿足方程的點都不在曲線上；④一定有不在曲線上的點,并且其坐標滿足方程.那么正確命題的個數(shù)是( ). A. B. C. D. 點撥：直接用定義進行判斷. 解：“坐標滿足方程的點都在曲線上”不正確,意味著“坐標滿足方程的點不都在曲線上”是正確的,即一定有不在曲線上的點,并且其坐標滿足方程,∴④正確；曲線上的點的坐標可以有不滿足方程的,∴①錯；若滿足方程的只有一解,則②錯；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③錯.故選A. 易錯點：定義把握不準確,關鍵字句認識不到位,概念理解不深刻,均有可能錯選其它選項. 變式與引申 2.已知定點不在直線：上,則方程表示一條( ). A.過點且平行于的直線 B.過點且垂直于的直線 C.不過點但平行于的直線 D.不過點但垂直于的直線 題型二 代入法(相關點法)求曲線方程 例 已知點,點、分別在軸、軸上,且,,當點在軸上運動時,求點的軌跡方程. 點撥：由確定與的坐標關系,由建立動點與、的坐標關系,用代入法求軌跡方程. 解：設,,,又,則,,.由,得 ①.由,得,∴,,即,,代入①得,,即,當時,三點、、重合,不滿足條件,∴,故點的軌跡方程為. 易錯點：忽視軌跡方程中的. 變式與引申 3.已知為坐標原點,點、分別在軸、軸上運動,且,動點滿足,求動點的軌跡方程. 題型三 待定系數(shù)法、直接法求曲線方程 例 已知橢圓的中心為直角坐標系的原點,焦點在軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是和. ⑴求橢圓的方程； ⑵若為橢圓的動點,為過且垂直于軸的直線上的點,(為橢圓的離心率),求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線. 點撥：問題⑴用待定系數(shù)法求橢圓的方程；問題⑵將點、的坐標代入滿足的關系式中,化簡后可得到點的軌跡方程,然后說明其軌跡是什么曲線,并指明變量的取值范圍. 解：⑴設橢圓的標準方程為,半焦距為,則,解得,, ∴.故橢圓的標準方程為. ⑵設,,其中.由已知得,而,∴.由點在橢圓上,得,代入上式并化簡得,故點的軌跡方程為軌跡是兩條平行于軸的線段. 易錯點： 第⑵小問中未注意到點與的坐標關系,會造成求點軌跡方程的思路受阻；忽視變量的范圍,將出現(xiàn)對所求軌跡曲線的錯誤判斷. 變式與引申 4.已知橢圓：的離心率為,以原點為圓心,橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切. ⑴求橢圓的方程； ⑵設該橢圓的左、右焦點分別為、,直線過且與軸垂直,動直線與軸垂直,交與點,求線段垂直平分線與的交點的軌跡方程,并指明曲線類型. 題型四 定義法求曲線方程與實際應用問題 例 為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊在某冰川山上相距的、兩點各建一個考察基地,視冰川面為平面形,以過、兩點的直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系(如圖所示).考察范圍到、兩點的距離之和不超過的區(qū)域. ⑴求考察區(qū)域邊界曲線的方程； ⑵如圖所示,設線段是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界),當冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動,以后每年移動的距離為前一年的倍.問：經過多長時間,點恰好在冰川邊界線上？ 點撥：本題是應用題背景下的解析幾何綜合問題,利用橢圓定義求考察 區(qū)域邊界曲線的方程；綜合運用直線方程、點到直線的距離公式、等比數(shù)列 求和公式等知識能使第⑵小問獲解. 解：⑴設考察區(qū)域邊界曲線上點的坐標為.則由 知,點在以、為焦點,長軸長為的橢圓 上,此時短半軸長,故考察區(qū)域邊界曲線的方程為. ⑵易知過點、的直線方程為,∴點到直線的距離.設經過年,點恰好在冰川邊界線上,則由題設及等比數(shù)列求和公式,得,解得.故經過年,點恰好在冰川邊界線上. 易錯點：⑴不能正確建立應用題的數(shù)學模型；⑵數(shù)學閱讀分析能力不強,易出現(xiàn)審題錯誤. 圖 變式與引申 5.某航天衛(wèi)星發(fā)射前,科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗,設計方案如圖,航天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為,變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點的拋物線的實線部分,降落點為.觀測點、同時跟蹤航天器. ⑴求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程； ⑵試問：當航天器在軸上方時,觀測點、測得離航天器的距離 分別為多少時,應向航天器發(fā)出變軌指令？ 本節(jié)主要考查： ⑴知識點有曲線與方程的關系、求曲線(軌跡)的方程； ⑵依據(jù)動點軌跡的幾何條件,運用求曲線(軌跡)方程的方法解決求曲線(軌跡)方程的問題,及應用題背景下的求曲線(軌跡)方程的問題； ⑶求曲線(軌跡)方程時：①恰當建立坐標系,使所求方程更簡單； ②利用圓錐曲線的定義,運用平面幾何知識,可以大大簡化求解運算過程. ⑷解析幾何基本思想(用代數(shù)方法研究幾何問題)、方程思想、等價轉化思想、分類討論思想、應用題建模思想以及分析推理能力、運算能力. 點評： ⑴求曲線(軌跡)方程的常用方法有： ①直接法：直接利用動點滿足的幾何條件(一些幾何量的等量關系)建立,之間的關系(如例第問).其一般步驟是：建系設點、列式、坐標代換、化簡、證明(證明或判斷所求方程即為符合條件的動點軌跡方程)； ②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型時,可先根據(jù)條件設出所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),求出曲線的方程(如例第問)； ③定義法：先根據(jù)條件能得出動點的軌跡符合某種曲線的定義,則可用曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程(如例)； ④代入法(相關點法)：有些問題中,動點是隨著另一動點(稱之為相關點)而運動的,并且點在某已知的曲線上,這時可先用、的代數(shù)式來表示、,再將、的表達式代入已知曲線,即得要求的動點軌跡方程(如例及變式). ⑵要注意求曲線(軌跡)方程與求軌跡的區(qū)別：求曲線(軌跡)的方程只需根據(jù)條件求出曲線(軌跡)方程即可；求軌跡則是需先求出軌跡方程,再根據(jù)方程形式說明或討論(含參數(shù)時)曲線圖形的(形狀、位置、大小)類型.解題時應根據(jù)題意作出正確、規(guī)范的解答. ⑶在求出曲線(軌跡)的方程時,要注意動點的取值范圍,及時補漏和去除“雜點”,以保證所求曲線(軌跡)方程的完整性. 習題6-1 .方程的曲線是( ). A.一個點 B.一條直線 C.一個點和一條直線 D.兩條直線 .已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個焦點與拋物線的焦點相同.則雙曲線的方程為. 3.已知橢圓的左、右焦點分別為、,離心率,右準線方程為. ⑴求橢圓的標準方程； ⑵過點的直線與該橢圓交于、兩點,且,求直線的方程. 4．（xx高考江西卷文）已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于 和兩點，且. （1）求該拋物線的方程； （2）為坐標原點，為拋物線上一點，若，求的值． 【答案】 4. 解：⑴由得,又,∴,,故橢圓的方程為. ⑵由⑴知,,由題意可設,則線段的中點為. 設是所求軌跡上的任意一點,由于,,則 ,消去參數(shù)得,故所求點的軌跡方程為,其軌跡為頂點在原點、開口向左、焦點為的拋物線(除去原點). 5. 解：⑴設曲線方程為,將點,代入曲線方程, 得,∴,,故曲線方程為. ⑵設變軌點為,聯(lián)立,得,∴或(舍去). 由,得或(舍去).∴點,此時,, .故當觀測點、測得、的距離分別為、時,應向航天器發(fā)出變軌指令. 習題6-1 . D 提示：由得,,∴或,故方程的曲線是兩條直線. . 提示：由漸近線方程可知①.∵拋物線的焦點為,∴②. 又③.聯(lián)立①②③,解得,,∴雙曲線的方程為. .解：⑴∵、、成等差數(shù)列,∴,即,∴點到兩定點、的距離之和為定長,故的軌跡是以、為焦點的橢圓,其方程為.又,∴點在軸左側,又點與、構成三角形,∴點不能在上,∴點的軌跡的方程為. ⑵假設存在直線滿足條件. ①當?shù)男甭蚀嬖跁r,設的方程為,代入的方程,得.∵與有兩個不同的交點,.∴,解之得. 由弦長公式得,.設原點到直線距離為,則. ∵,∴,即.解得, ∴,與不符. ②當?shù)男甭什淮嬖跁r,的方程為.此時,,,∴直線不符合. 綜上①②知,滿足題給條件的直線不存在.