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2019-2020年高中數(shù)學《數(shù)學歸納法》說課稿 新人教A版必修1 【教學目標】 1． 使學生了解歸納法, 理解數(shù)學歸納的原理與實質． 2． 掌握數(shù)學歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學歸納法”證明簡單的與自然數(shù)有關的命題． 3． 培養(yǎng)學生觀察, 分析, 論證的能力, 進一步發(fā)展學生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學生經(jīng)歷知識的構建過程, 體會類比的數(shù)學思想． 4． 努力創(chuàng)設課堂愉悅情境，使學生處于積極思考、大膽質疑氛圍，提高學生學習的興趣和課堂效率． 5． 通過對例題的探究，體會研究數(shù)學問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學生的學習熱情，使學生初步形成做數(shù)學的意識和科學精神． 【教學重點】歸納法意義的認識和數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的分析 【教學難點】數(shù)學歸納法中遞推思想的理解 【教學方法】類比啟發(fā)探究式教學方法 【教學手段】多媒體輔助課堂教學 【教學程序】 第一階段：輸入階段——創(chuàng)造學習情境，提供學習內容 1． 創(chuàng)設問題情境，啟動學生思維 (1) 不完全歸納法引例： 明朝劉元卿編的《應諧錄》中有一個笑話：財主的兒子學寫字．這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推出的結論顯然是錯誤的． (2) 完全歸納法對比引例： 有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些．他給每人一筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳凑l先給出答案．大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生．顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明． 在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法也有廣泛應用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預測，水文預報，用的就是歸納法．這些歸納法卻不能用完全歸納法． 2． 回顧數(shù)學舊知，追溯歸納意識 （從生活走向數(shù)學，與學生一起回顧以前學過的數(shù)學知識，進一步體會歸納意識，同時讓學生感受到我們以前的學習中其實早已接觸過歸納．） (1) 不完全歸納法實例： 給出等差數(shù)列前四項, 寫出該數(shù)列的通項公式． (2) 完全歸納法實例： 證明圓周角定理分圓心在圓周角內部、外部及一邊上三種情況． 3． 借助數(shù)學史料, 促使學生思辨 （在生活引例與學過的數(shù)學知識的基礎上，再引導學生看數(shù)學史料，能夠讓學生多方位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性．同時引導學生進行思辨：在數(shù)學中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結論，不管是我們還是數(shù)學大家都可能如此．那么，有沒有更好的歸納法呢？） 問題1 已知＝（n∈N）， (1)分別求；；；． (2)由此你能得到一個什么結論？這個結論正確嗎？ （培養(yǎng)學生大膽猜想的意識和數(shù)學概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學認為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學原理的遷移，我找的突破口就是學生的概括過程．） 問題2 費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數(shù)學家，他曾認為，當n∈N時，一定都是質數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得到的．后來，18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）卻證明了＝4 294 967 297＝6 700 417641，從而否定了費馬的推測．沒想到當n＝5這一結論便不成立． 問題3 , 當n∈N時，是否都為質數(shù)？ 驗證： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝，是合數(shù)． 第二階段：新舊知識相互作用階段——新舊知識作用，搭建新知結構 4． 搜索生活實例，激發(fā)學習興趣 （在第一階段的基礎上，由生活實例出發(fā)，與學生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程．孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者．”興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗．） 實例：播放多米諾骨牌錄像 關鍵：(1) 第一張牌被推倒； (2) 假如某一張牌倒下, 則它的后一張牌必定倒下． 于是, 我們可以下結論： 多米諾骨牌會全部倒下． 搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊對齊等． 5． 類比數(shù)學問題, 激起思維浪花 類比多米諾骨牌過程, 證明等差數(shù)列通項公式： (1) 當n＝1時等式成立； (2) 假設當n＝k時等式成立, 即, 則=, 即n＝k＋1時等式也成立． 于是, 我們可以下結論： 等差數(shù)列的通項公式對任何n∈都成立． （布魯納的發(fā)現(xiàn)學習理論認為，“有指導的發(fā)現(xiàn)學習”強調知識發(fā)生發(fā)展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學習．） 6． 引導學生概括, 形成科學方法 證明一個與正整數(shù)有關的命題關鍵步驟如下： (1) 證明當n取第一個值時結論正確； (2) 假設當n＝k (k∈，k≥) 時結論正確, 證明當n＝k＋1時結論也正確． 完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確． 這種證明方法叫做數(shù)學歸納法． 第三階段：操作階段——鞏固認知結構，充實認知過程 7． 蘊含猜想證明, 培養(yǎng)研究意識 （本例要求學生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學歸納法，也能教給學生做數(shù)學的方法，培養(yǎng)學生獨立研究數(shù)學問題的意識和能力．） 例題 在數(shù)列{}中, ＝1, (n∈), 先計算，，的值，再推測通項的公式, 最后證明你的結論． 8． 基礎反饋練習, 鞏固方法應用 （課本例題與等差數(shù)列通項公式的證明差不多，套用數(shù)學歸納法的證明步驟不難解答，因此我把它作為練習，這樣既考慮到學生的能力水平，也不沖淡本節(jié)課的重點．練習第3題恰好是等比數(shù)列通項公式的證明，與前者是一個對比與補充．通過這兩個練習能看到學生對數(shù)學歸納法證題步驟的掌握情況．） (1)（第63頁例1）用數(shù)學歸納法證明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝． (2)（第64頁練習3）首項是，公比是q的等比數(shù)列的通項公式是． 9． 師生共同小結, 完成概括提升 (1) 本節(jié)課的中心內容是歸納法和數(shù)學歸納法； (2) 歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結論不一定具有可靠性，數(shù)學歸納法屬于完全歸納法； (3) 數(shù)學歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結論，遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉； (4) 本節(jié)課所涉及到的數(shù)學思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想． 10． 布置課后作業(yè), 鞏固延伸鋪墊 (1) 課本第64頁練習第1, 2題； 第67頁習題2.1第2題． (2) 在數(shù)學歸納法證明的第二步中，證明n＝k＋1時命題成立, 必須要用到n＝k時命題成立這個假設．這里留一個辨析題給學生課后討論思考： 用數(shù)學歸納法證明： (n∈)時, 其中第二步采用下面的證法： 設n＝k時等式成立, 即, 則當n＝k＋1時, ． 你認為上面的證明正確嗎？為什么？ 【教學設計說明】 1．數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學重點不應該是方法的應用．我認為不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練．為此，我設想強化數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的教學，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認識當中，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結合起來．這樣不僅使學生可以看到數(shù)學歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數(shù)學中以演繹思想為主的教學的重要補充，也是引導學生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機． 2．在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強學生對教學過程的參與．為了使這種參與有一定的智能度，教師應做好發(fā)動、組織、引導和點撥．學生的思維參與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題，讓學生投入到思維活動中來，把本節(jié)課的研究內容置于問題之中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予以解決，并獲得知識體系的更新與拓展． 3．運用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題，兩個步驟缺一不可．理解數(shù)學歸納法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證明n＝k＋1命題成立時必須要用到n＝k時命題成立這個條件．這些內容都將放在下一課時完成，這種理解不僅使我們能夠正確認識數(shù)學歸納法的原理與本質，也為證明過程中第二步的設計指明了思維方向．