2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專題突破 專題三 數(shù)列與不等式 第3講 數(shù)列的綜合問題 理.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專題突破 專題三 數(shù)列與不等式 第3講 數(shù)列的綜合問題 理1(xx湖南)已知a0,函數(shù)f(x)eaxsin x(x0,)記xn為f(x)的從小到大的第n(nN*)個(gè)極值點(diǎn),證明:數(shù)列f(xn)是等比數(shù)列2(xx課標(biāo)全國)已知數(shù)列an滿足a11,an13an1.(1)證明an是等比數(shù)列,并求an的通項(xiàng)公式;(2)證明.1.數(shù)列的綜合問題,往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合,探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景,利用函數(shù)觀點(diǎn)探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問題相結(jié)合,考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用.熱點(diǎn)一利用Sn,an的關(guān)系式求an1數(shù)列an中,an與Sn的關(guān)系:an.2求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法(1)公式法:利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式(2)在已知數(shù)列an中,滿足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(3)在已知數(shù)列an中,滿足f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,則可用累積法求數(shù)列的通項(xiàng)an.(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換,轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列)例1數(shù)列an中,a11,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且滿足1(n2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式思維升華給出Sn與an的遞推關(guān)系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項(xiàng)公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an.跟蹤演練1已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_熱點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景,給出數(shù)列所滿足的條件,通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式,還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問題,解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體,考查最值問題,不等關(guān)系或恒成立問題例2若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(an,Sn)在yx的圖象上(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若c10,且對(duì)任意正整數(shù)n都有cn1cnlogan.求證:對(duì)任意正整數(shù)n2,總有.思維升華解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(diǎn):(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),函數(shù)定義域是正整數(shù),在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視;(2)解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件;(3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s跟蹤演練2(xx浙江溫州第二次適應(yīng)性測(cè)試)已知數(shù)列an滿足:a11,a22,且an12an3an1(n2,nN*)(1)設(shè)bnan1an(nN*),求證:bn是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;求證:對(duì)任意的nN*都有0且a1)的圖象上一點(diǎn),數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Snf(n)1.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式; (2)求證:數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn0,a1)所過定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列an的第二項(xiàng)與第三項(xiàng),若bn,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,則T10等于()A. B.C. D.6若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan,則an的通項(xiàng)公式是an_.7等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知S100,S1525,則nSn的最小值為_8對(duì)于數(shù)列an,定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”,若a12,an的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2n,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.9已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn2an2n(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an;(2)若數(shù)列bn滿足bnlog2(an2),Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,求證:Tn.10(xx杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11,an11,其中nN*.(1)設(shè)bn,求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列,并求出an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn,數(shù)列cncn2的前n項(xiàng)和為Tn,是否存在正整數(shù)m,使得Tn0)及兩點(diǎn)A1(x1,0)和A2(x2,0),其中x2x10.過A1,A2分別作x軸的垂線,交曲線C于B1,B2兩點(diǎn),直線B1B2與x軸交于點(diǎn)A3(x3,0),那么()Ax1,x2成等差數(shù)列Bx1,x2成等比數(shù)列Cx1,x3,x2成等差數(shù)列Dx1,x3,x2成等比數(shù)列12記數(shù)列2n的前n項(xiàng)和為an,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn8,則bnSn的最小值為_13已知向量a(2,n),b(Sn,n1),nN*,其中Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若ab,則數(shù)列的最大項(xiàng)的值為_14數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a11,且對(duì)任意正整數(shù)n,點(diǎn)(an1,Sn)在直線2xy20上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)是否存在實(shí)數(shù),使得數(shù)列Snn為等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由學(xué)生用書答案精析第3講數(shù)列的綜合問題高考真題體驗(yàn)1證明f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x)eaxsin(x),其中tan ,0.令f(x)0,由x0得xm,即xm,mN*,對(duì)kN,若2kx(2k1),即2kx(2k1),則f(x)0;若(2k1)x(2k2),即(2k1)x(2k2),則f(x)0.因此,在區(qū)間(m1),m)與(m,m)上,f(x)的符號(hào)總相反于是當(dāng)xm(mN*)時(shí),f(x)取得極值,所以xnn(nN*)此時(shí),f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0,而ea是常數(shù),故數(shù)列f(xn)是首項(xiàng)為f(x1)ea()sin ,公比為ea的等比數(shù)列2(1)解由an13an1,得an13(an)又a1,所以an是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列an,因此an的通項(xiàng)公式為an.(2)證明由(1)知.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí),3n123n1,所以.于是1(1).所以0,所以anan10,則anan12,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,故an2n.例2(1)解Snan,當(dāng)n2時(shí),anSnSn1an1an,anan1.又S1a1,a1,an()n1()2n1.(2)證明由cn1cnlogan2n1,得當(dāng)n2時(shí),cnc1(c2c1)(c3c2)(cncn1)035(2n1)n21(n1)(n1)(1)()()()(1)()().又,原式得證跟蹤演練2(1)證明由已知得an1an3(anan1)(n2,nN*),則bn3bn1.又b13,則bn是以3為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列(2)解由an1an3n得,設(shè)cn,則cn1cn,可得cn1(cn),又c1,故cn()n1,則an.證明,故1(1)80,當(dāng)n7時(shí),由于S6570,故Sn570(a7a8an)5707041()n6780210()n6.因?yàn)閍n是遞減數(shù)列,所以An是遞減數(shù)列因?yàn)锳n,A882.73480,A976.8230,所以Tn0)當(dāng)a1時(shí),Sn0,是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列;當(dāng)a1時(shí)是等比數(shù)列故選C.2A記bn3n2,則數(shù)列bn是以1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5315.3C由Snn26n可得,當(dāng)n2時(shí),anSnSn1n26n(n1)26(n1)2n7.當(dāng)n1時(shí),S15a1,也滿足上式,an2n7,nN*.n3時(shí),an3時(shí),an0.Tn4C由題意可知,該女每天的織布量成等差數(shù)列,首項(xiàng)是5,公差為d,前30項(xiàng)和為390.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,有390305d,解得d.5Byloga(x1)3恒過定點(diǎn)(2,3),即a22,a33,又an為等差數(shù)列,ann.bn.T101,故選B.6(2)n1解析當(dāng)n1時(shí),a11;當(dāng)n2時(shí),anSnSn1anan1,故2,故an(2)n1.749解析設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)和公差分別為a1,d,則則nSnn3nn2.設(shè)函數(shù)f(x)x2,則f(x)x2x,當(dāng)x(0,)時(shí),f(x)0,所以函數(shù)f(x)minf(),但649,所以最小值為49.82n12解析an1an2n,an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.9(1)解當(dāng)nN*時(shí),Sn2an2n,則當(dāng)n2時(shí),Sn12an12(n1),兩式相減得an2an2an12,即an2an12,an22(an12),2,當(dāng)n1時(shí),S12a12,則a12,an2是以a124為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,an242n1,an2n12.(2)證明bnlog2(an2)log22n1n1,則Tn,Tn,兩式相減得Tn,Tn,當(dāng)n2時(shí),TnTn10,Tn為遞增數(shù)列,TnT1.10解(1)bn1bn2(常數(shù)),數(shù)列bn是等差數(shù)列a11,b12,因此bn2(n1)22n,由bn得an.(2)由cn,an得cn,cncn22(),Tn2(1)2(1)3,依題意要使Tn對(duì)于nN*恒成立,只需3,即3,解得m3或m4,又m為正整數(shù),所以m的最小值為3.11A由題意,得B1,B2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,),(x2,),所以直線B1B2的方程為y(xx1),令y0,得xx1x2,所以x3x1x2,因此,x1,x2成等差數(shù)列124解析根據(jù)已知,可得ann(n1),所以,所以Sn,所以bnSnn1104,當(dāng)且僅當(dāng)n1,即n2時(shí)等號(hào)成立,所以bnSn的最小值為4.13.解析依題意得ab0,即2Snn(n1),Sn.當(dāng)n2時(shí),anSnSn1n;又a1S11,因此ann,當(dāng)且僅當(dāng)n,nN*,即n2時(shí)取等號(hào),因此數(shù)列的最大項(xiàng)的值為.14解(1)由題意,可得2an1Sn20.當(dāng)n2時(shí),2anSn120.,得2an12anan0,所以(n2)因?yàn)閍11,2a2a12,所以a2.所以an是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an()n1.(2)由(1)知,Sn2.若Snn為等差數(shù)列,則S1,S22,S33成等差數(shù)列,則2(S2)S1S3,即2()1,解得2.又2時(shí),Sn2n2n2,顯然2n2成等差數(shù)列,故存在實(shí)數(shù)2,使得數(shù)列Snn為等差數(shù)列- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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