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2019-2020年高一3月月考 數(shù)學(xué) 含答案(I) 一、選擇題 (本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．直線與曲線有且只有一個交點，則的取值范圍是( ) A． B． 且 C． D． 非A、B、C結(jié)論 【答案】D 2．已知兩條直線和互相平行，則等于( ) A．1或-3 B．-1或3 C．1或3 D．-1或3 【答案】A 3．直線3x＋4y＋2＝0與圓x2＋y2－2x＝0的位置關(guān)系是( ) A．相離 B．相切 C．相交 D．無法判斷 【答案】B 4．已知點M在曲線上，點N在不等式組所表示的平面區(qū)域上，那么|MN|的最小值是( ) A．1 B． C． D．2 【答案】A 5．過雙曲線的焦點作漸近線的垂線，則直線與圓的位置關(guān)系是( ) A．相交 B．相離 C．相切 D．無法確定 【答案】C 6．若動點A（x1,y1），B（x2,y2）分別在直線l1：x+y－7=0和l2：x+y－5=0上移動，則AB中點M到原點距離的最小值為( ) A．3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 7．直線x –y + 2=0的傾斜角是( ) A．300 B． 600 C． 1200 D．1500 【答案】A 8．過點且與直線垂直的直線方程是( ) A． B． C． D． 【答案】A 9．已知拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則的值為( ) A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 10．在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線與正確的是( ) 【答案】C 11．直線：y=kx+1(k≠0),橢圓E：,若直線被橢圓E所截弦長為d，則下列直線中被橢圓E所截弦長不是d的直線是( ) A． kx+y+1=0 B． kx-y-1=0 C． kx+y-1=0 D． kx+y=0 【答案】D 12．已知圓（x－1）2＋（y－3）2＝r2（r>0）的一條切線y＝kx＋與直線x＝5的夾角為，則半徑r的值為( ) A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 二、填空題 (本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．直線的傾斜角，直線在x軸截距為，且//，則直線的方程是 . 【答案】x-y-=0 14．方向向量為，且過點的直線的方程是____________. 【答案】 15．經(jīng)過點M(l，2)的直線l與圓相文于A、B兩點，則|AB|的最大值等于____________。 【答案】16 16．以橢圓的右焦點為圓心作一個圓過橢圓的中心O并交橢圓于M、N，若過橢圓左焦點的直線是圓的切線，則橢圓的右準(zhǔn)線與圓的位置關(guān)系是____________. 【答案】相交 三、解答題 (本大題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．已知動圓過定點P（1，0），且與定直線相切。 (1）求動圓圓心的軌跡M的方程； (2）設(shè)過點P，且傾斜角為的直線與曲線M相交于A，B兩點，A，B在直線上的射影是。求梯形的面積； (3）若點C是（2）中線段上的動點，當(dāng)△ABC為直角三角形時，求點C的坐標(biāo)。 【答案】 (1）曲線M是以點P為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為. (2）由題意得，直線AB的方程為 消y得 于是， A點和B點的坐標(biāo)分別為A，B（3，）， 所以， (3）設(shè)C（－1，y）使△ABC成直角三角形， ， ， . (i) 當(dāng)時， 方法一：當(dāng)時，， 即為直角. C點的坐標(biāo)是 方法二：當(dāng)時，得直線AC的方程為， 求得C點的坐標(biāo)是。 (ii) 因為，所以，不可能為直角. (iii) 當(dāng)時， 方法一：當(dāng)時，， 即，解得，此時為直角。 方法二：當(dāng)時，由幾何性質(zhì)得C點是的中點，即C點的坐標(biāo)是。 故當(dāng)△ABC為直角三角形時，點C的坐標(biāo)是或 18．已知與圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直線l交x軸，y軸于A，B兩點， |OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)． (Ⅰ)求證：(a－2)(b－2)＝2； (Ⅱ)求線段AB中點的軌跡方程； (Ⅲ)求△AOB面積的最小值． 【答案】(Ⅰ)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，設(shè)直線方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圓心到該直線的距離d＝＝1， 即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2. (Ⅱ)設(shè)AB中點M(x，y)，則a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1). (Ⅲ)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4，解得≥2＋(舍去≤2－)， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，ab取最小值6＋4，所以△AOB面積的最小值是3＋2． 19．一張紙上畫有一個半徑為R的圓O和圓內(nèi)一個定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A剛好與點A重合．這樣的每一種折法，都留下一條折痕．當(dāng)A取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合． 【答案】對于⊙O上任意一點A，連AA，作AA的垂直平分線MN，連OA．交MN于點P．顯然OP+PA=OA=R．由于點A在⊙O內(nèi)，故OA=aa)為長軸的橢圓C． 而MN上任一異于P的點Q，都有OQ+QA=OQ+QA>OA．故點Q在橢圓C外．即折痕上所有的點都在橢圓C上及C外． 反之，對于橢圓C上或外的一點S，以S為圓心，SA為半徑作圓，交⊙O于A，則S在AA的垂直平分線上，從而S在某條折痕上． 最后證明所作⊙S與⊙O必相交． 1 當(dāng)S在⊙O外時，由于A在⊙O內(nèi)，故⊙S與⊙O必相交； 2 當(dāng)S在⊙O內(nèi)時(例如在⊙O內(nèi)，但在橢圓C外或其上的點S)，取過S的半徑OD，則由點S在橢圓C外，故OS+SA≥R(橢圓的長軸)．即SA≥SD．于是D在⊙S內(nèi)或上，即⊙S與⊙O必有交點． 于是上述證明成立． 綜上可知，折痕上的點的集合為橢圓C上及C外的所有點的集合． 20．已知直線l：y=x+m，m∈R。 (I）若以點M（2,0）為圓心的圓與直線l相切與點P，且點P在y軸上，求該圓的方程； (II）若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為，問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由。 【答案】 (I）依題意，點P的坐標(biāo)為（0，m） 因為，所以， 解得m=2，即點P的坐標(biāo)為（0，2） 從而圓的半徑 故所求圓的方程為 (II）因為直線的方程為 所以直線的方程為 由 (1）當(dāng)時，直線與拋物線C相切 (2）當(dāng)，那時，直線與拋物線C不相切。 綜上，當(dāng)m=1時，直線與拋物線C相切； 當(dāng)時，直線與拋物線C不相切。 21．已知圓,是軸上的動點,、分別切圓于兩點 (1）求四邊形的面積的最小值 (2）若點的坐標(biāo)為（1，0），求切線、及直線AB的方程 【答案】（1）設(shè)過點的圓的切線方程為，則圓心到切線的距離為1， 或0， 切線、的方程分別為和 (2）， 22．如圖，已知圓心坐標(biāo)為的圓與軸及直線 均相切，切點分別為、，另一圓與圓、軸及直線均相切，切點分別為、． (Ⅰ）求圓和圓的方程； (Ⅱ）過點作的平行線，求直線被圓 截得的弦的長度． 【答案】（1）由于圓與的兩邊相切，故到及的距離均為圓的半徑，則在的角平分線上，同理，也在的角平分線上， 即三點共線，且為的角平分線， 的坐標(biāo)為，到軸的距離為1，即：圓的半徑為1， 圓的方程為； 設(shè)圓的半徑為，由，得：, 即，， 圓的方程為：； (2）由對稱性可知，所求弦長等于過點的的平行線被圓截得的弦長， 此弦所在直線方程為，即， 圓心到該直線的距離， 則弦長=