2019-2020年高考數(shù)學復習 不等式問題的題型與方法教案 蘇教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學復習 不等式問題的題型與方法教案 蘇教版一復習目標:1在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎上,掌握其它的一些簡單不等式的解法通過不等式解法的復習,提高學生分析問題、解決問題的能力以及計算能力;2掌握解不等式的基本思路,即將分式不等式、絕對值不等式等不等式,化歸為整式不等式(組),會用分類、換元、數(shù)形結合的方法解不等式;3通過復習不等式的性質及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法等),使學生較靈活的運用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關問題;4通過證明不等式的過程,培養(yǎng)自覺運用數(shù)形結合、函數(shù)等基本數(shù)學思想方法證明不等式的能力;5能較靈活的應用不等式的基本知識、基本方法,解決有關不等式的問題 6通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應用,深化數(shù)學知識間的融匯貫通,從而提高分析問題解決問題的能力在應用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中,提高學生數(shù)學素質及創(chuàng)新意識二考試要求:1理解不等式的性質及其證明。2掌握兩個(不擴展到三個)正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會簡單的應用。3掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。4掌握簡單不等式的解法。5理解不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|。三教學過程:()基礎知識詳析1解不等式的核心問題是不等式的同解變形,不等式的性質則是不等式變形的理論依據(jù),方程的根、函數(shù)的性質和圖象都與不等式的解法密切相關,要善于把它們有機地聯(lián)系起來,互相轉化在解不等式中,換元法和圖解法是常用的技巧之一通過換元,可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式,通過構造函數(shù)、數(shù)形結合,則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關系,對含有參數(shù)的不等式,運用圖解法可以使得分類標準明晰2整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎,利用不等式的性質及函數(shù)的單調性,將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想,分類、換元、數(shù)形結合是解不等式的常用方法方程的根、函數(shù)的性質和圖象都與不等式的解密切相關,要善于把它們有機地聯(lián)系起來,相互轉化和相互變用3在不等式的求解中,換元法和圖解法是常用的技巧之一,通過換元,可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式,通過構造函數(shù),將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系,對含有參數(shù)的不等式,運用圖解法,可以使分類標準更加明晰通過復習,感悟到不等式的核心問題是不等式的同解變形,能否正確的得到不等式的解集,不等式同解變形的理論起了重要的作用4比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法,比較法的一般步驟是:作差(商)變形判斷符號(值) 5證明不等式的方法靈活多樣,內容豐富、技巧性較強,這對發(fā)展分析綜合能力、正逆思維等,將會起到很好的促進作用在證明不等式前,要依據(jù)題設和待證不等式的結構特點、內在聯(lián)系,選擇適當?shù)淖C明方法通過等式或不等式的運算,將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式,從而使原不等式得到證明;反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手,經過一系列的運算而導出待證的不等式,前者是“執(zhí)果索因”,后者是“由因導果”,為溝通聯(lián)系的途徑,證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法,兩面夾擊,相輔相成,達到欲證的目的6證明不等式的方法靈活多樣,但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法仍是證明不等式的基本方法要依據(jù)題設、題斷的結構特點、內在聯(lián)系,選擇適當?shù)淖C明方法,要熟悉各種證法中的推理思維,并掌握相應的步驟,技巧和語言特點7不等式這部分知識,滲透在中學數(shù)學各個分支中,有著十分廣泛的應用因此不等式應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性,這對同學們將所學數(shù)學各部分知識融會貫通,起到了很好的促進作用在解決問題時,要依據(jù)題設、題斷的結構特點、內在聯(lián)系、選擇適當?shù)慕鉀Q方案,最終歸結為不等式的求解或證明不等式的應用范圍十分廣泛,它始終貫串在整個中學數(shù)學之中諸如集合問題,方程(組)的解的討論,函數(shù)單調性的研究,函數(shù)定義域的確定,三角、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題,無一不與不等式有著密切的聯(lián)系,許多問題,最終都可歸結為不等式的求解或證明。8不等式應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性這類問題大致可以分為兩類:一類是建立不等式、解不等式;另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值利用平均值不等式求函數(shù)的最值時,要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個條件缺一不可,有時需要適當拼湊,使之符合這三個條件利用不等式解應用題的基本步驟:10審題,20建立不等式模型,30解數(shù)學問題,40作答。9注意事項:解不等式的基本思想是轉化、化歸,一般都轉化為最簡單的一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來求解,。解含參數(shù)不等式時,要特別注意數(shù)形結合思想,函數(shù)與方程思想,分類討論思想的錄活運用。不等式證明方法有多種,既要注意到各種證法的適用范圍,又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎上,選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調整放縮的度。根據(jù)題目結構特點,執(zhí)果索因,往往是有效的思維方法。()范例分析b)M,且對M中的其它元素(c,d),總有ca,則a=_分析:讀懂并能揭示問題中的數(shù)學實質,將是解決該問題的突破口怎樣理解“對M中的其它元素(c,d),總有ca”?M中的元素又有什么特點?解:依題可知,本題等價于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)|y-1|+(y+3)(2)當1y3時,所以當y=1時,xmin=4說明:題設條件中出現(xiàn)集合的形式,因此要認清集合元素的本質屬性,然后結合條件,揭示其數(shù)學實質即求集合M中的元素滿足關系式例2解關于的不等式: 分析:本例主要復習含絕對值不等式的解法,分類討論的思想。本題的關鍵不是對參數(shù)進行討論,而是去絕對值時必須對末知數(shù)進行討論,得到兩個不等式組,最后對兩個不等式組的解集求并集,得出原不等式的解集。解:當。例3 己知三個不等式: (1)若同時滿足、的值也滿足,求m的取值范圍;(2)若滿足的值至少滿足和中的一個,求m的取值范圍。分析:本例主要綜合復習整式、分式不等式和含絕對值不等的解法,以及數(shù)形結合思想,解本題的關鍵弄清同時滿足、的值的滿足的充要條件是:對應的方程的兩根分別在和內。不等式和與之對應的方程及函數(shù)圖象有著密不可分的內在聯(lián)系,在解決問題的過程中,要適時地聯(lián)系它們之間的內在關系。解:記的解集為A,的解集為B,的解集為C。解得A=(-1,3);解得B=(1) 因同時滿足、的值也滿足,ABC 設,由的圖象可知:方程的小根小于0,大根大于或等于3時,即可滿足(2) 因滿足的值至少滿足和中的一個,因此小根大于或等于-1,大根小于或等于4,因而說明:同時滿足的x值滿足的充要條件是:對應的方程2x+mx-1=0的兩根分別在(-,0)和3,+)內,因此有f(0)0且f(3)0,否則不能對AB中的所有x值滿足條件不等式和與之對應的方程及圖象是有著密不可分的內在聯(lián)系的,在解決問題的過程中,要適時地聯(lián)系它們之間的內在關系例4.已知對于自然數(shù)a,存在一個以a為首項系數(shù)的整系數(shù)二次三項式,它有兩個小于1的正根,求證:a5分析:回憶二次函數(shù)的幾種特殊形式設f(x)=ax+bx+c(a0) 頂點式f(x)=a(x-x)+f(x)(a0)這里(x,f(x)是二次函數(shù)的頂點,x=)、(x,f(x)、(x,f(x)是二次函數(shù)圖象上的不同三點,則系數(shù)a,b,c可由證明:設二次三項式為:f(x)=a(x-x)(x-x),aN依題意知:0x1,0x1,且xx于是有f(0)0,f(1)0又f(x)=ax-a(x+x)x+axx為整系數(shù)二次三項式,所以f(0)=axx、f(1)=a(1-x)(1-x)為正整數(shù)故f(0)1,f(1)1從而 f(0)f(1)1 另一方面,且由xx知等號不同時成立,所以由、得,a16又aN,所以a5說明:二次函數(shù)是一類被廣泛應用的函數(shù),用它構造的不等式證明問題,往往比較靈活根據(jù)題設條件恰當選擇二次函數(shù)的表達形式,是解決這類問題的關鍵例5.設等差數(shù)列a的首項a10且Sm=Sn(mn)問:它的前多少項的和最大?分析:要求前n項和的最大值,首先要分析此數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列解:設等差數(shù)列a的公差為d,由Sm=Sn得ak0,且ak+10(kN)說明:諸多數(shù)學問題可歸結為解某一不等式(組)正確列出不等式(組),并分析其解在具體問題的意義,是得到合理結論的關鍵例6若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經過原點,且1f(-1)2,3f(1)4,求f(-2)的范圍分析:要求f(-2)的取值范圍,只需找到含人f(-2)的不等式(組)由于y=f(x)是二次函數(shù),所以應先將f(x)的表達形式寫出來即可求得f(-2)的表達式,然后依題設條件列出含有f(-2)的不等式(組),即可求解解:因為y=f(x)的圖象經過原點,所以可設y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性質)不等式組()變形得()所以f(-2)的取值范圍是6,10解法二(數(shù)形結合)建立直角坐標系aob,作出不等式組()所表示的區(qū)域,如圖6中的陰影部分因為f(-2)=4a-2b,所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系如圖6,當直線4a-2b-f(-2)=0過點A(2,1),B(3,1)時,分別取得f(-2)的最小值6,最大值10即f(-2)的取值范圍是:6f(-2)10解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而1f(-1)2,3f(1)4, 所以 33f(-1)6 +得43f(-1)+f(1)10,即6f(-2)10說明:(1)在解不等式時,要求作同解變形要避免出現(xiàn)以下一種錯解:2b,84a12,-3-2b-1,所以 5f(-2)11(2)對這類問題的求解關鍵一步是,找到f(-2)的數(shù)學結構,然后依其數(shù)學結構特征,揭示其代數(shù)的、幾何的本質,利用不等式的基本性質、數(shù)形結合、方程等數(shù)學思想方法,從不同角度去解決同一問題若長期這樣思考問題,數(shù)學的素養(yǎng)一定會迅速提高例7( 江蘇)己知,(1)(2),證明:對任意,的充要條件是;(3)討論:對任意,的充要條件。證明:(1)依題意,對任意,都有(2)充分性:必要性:對任意(3)即 而當例8若a0,b0,a3+b3=2求證a+b2,ab1分析:由條件a3+b3=2及待證的結論a+b2的結構入手,聯(lián)想它們之間的內在聯(lián)系,不妨用作差比較法或均值不等式或構造方程等等方法,架起溝通二者的“橋梁”證法一 (作差比較法)因為a0,b0,a3+b3=2,所以(ab)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3ab(a+b)-2=3ab(a+b)-(a3+b3)=-3(a+b)(a-b)20,即 (a+b)323證法二 (平均值不等式綜合法)因為a0,b0,a3+b3=2,所以所以a+b2,ab1說明:充分發(fā)揮“1”的作用,使其證明路徑顯得格外簡捷、漂亮證法三 (構造方程)設a,b為方程x2-mx+n=0的兩根則因為a0,b0,所以m0,n0且=m2-4n0因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab=mm2-3n,所以所以a+b2由2m得4m2,又m24n,所以44n,即n1所以 ab1說明:認真觀察不等式的結構,從中發(fā)現(xiàn)與已學知識的內在聯(lián)系,就能較順利地找到解決問題的切入點證法四 (恰當?shù)呐錅?因為a0,b0,a3+b3=2,所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b),于是有63ab(a+b),從而83ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3,所以a+b2(以下略)即a+b2(以下略)證法六 (反證法)假設a+b2,則a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab2(22-3ab)因為a3+b3=2,所以22(4-3ab),因此ab1 另一方面,2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)(2ab-ab)=(a+b)ab2ab,所以ab1 于是與矛盾,故a+b2(以下略)說明:此題用了六種不同的方法證明,這幾種證法都是證明不等式的常用方法例9設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x,y=-x,均不相分析:因為xR,故|f(x)|的最小值若存在,則最小值由頂點確定,故設f(x)=a(x-x0)2+f(x0)證明:由題意知,a0設f(x)=a(x-x0)2+f(x0),則又二次方程ax2+bx+c=x無實根,故1=(b+1)2-4ac0,2=(b-1)2-4ac0所以(b+1)2+(b-1)2-8ac0,即2b2+2-8ac0,即b2-4ac-1,所以|b2-4ac|1說明:從上述幾個例子可以看出,在證明與二次函數(shù)有關的不等式問題時,如果針對題設條件,合理采取二次函數(shù)的不同形式,那么我們就找到了一種有效的證明途徑例10某城市xx年末汽車保有量為30萬輛,預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%,并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護城市環(huán)境,要求該城市汽車保有量不超過60萬輛,那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛?解:設xx年末的汽車保有量為,以后每年末的汽車保有量依次為,每年新增汽車萬輛。由題意得 例11已知奇函數(shù)知函數(shù)分析:這是一道比較綜合的問題,考查很多函數(shù)知識,通過恰當換元,使問題轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。 令 要使10 當 30當 綜上: 例12如圖,某隧道設計為雙向四車道,車道總寬22米,要求通行車輛限高4.5米,隧道全長2.5千米,隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀。(1)若最大拱高h為6米,則隧道設計的拱寬是多少?(2)若最大拱高h不小于6米,則應如何設計拱高h和拱寬,才能使半個橢圓形隧道的土方工程最???(半個橢圓的面積公式為s=柱體體積為:底面積乘以高,本題結果均精確到0.1米)分析:本題為xx年上海高考題,考查運用幾何、不等式等解決應用題的能力及運算能力。解:1)建立如圖所示直角坐標系,則P(11,4.5)橢圓方程為:將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程得故隧道拱寬約為33.3米2)由橢圓方程故當拱高約為6.4米,拱寬約為31.1米時,土方工程量最小.例13已知nN,n1求證分析:雖然待證不等式是關于自然數(shù)的命題,但不一定選用數(shù)學歸納法,觀其“形”,它具有較好規(guī)律,因此不妨采用構造數(shù)列的方法進行解則說明:因為數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以因問題的數(shù)學結構,利用函數(shù)的思想解決例14已知函數(shù)分析:本例主要復習函數(shù)、不等式的基礎知識,絕對值不等式及函數(shù)不等式的證明技巧。基本思路先將函數(shù)不等式轉化為代數(shù)不等式,利用絕對值不等式的性質及函數(shù)的性質。證明(1)再利用二項展開式及基本不等式的證明(2)。證明:(1)當且僅當時,上式取等號。(2)時,結論顯然成立當時,例15己知(1)(2)證明:(1)同理(2)由二項式定理有因此。()、強化訓練1已知非負實數(shù),滿足且,則的最大值是( ) A B C D 2已知命題p:函數(shù)的值域為R,命題q:函數(shù) 是減函數(shù)。若p或q為真命題,p且q為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是 ( )Aa1Ba2C1a2Da1或a23 解關于的不等式04求a,b的值,使得關于x的不等式ax2+bx+a2-10的解集分別是:(1)-1,2;(2)(-,-12,+);(3)2;(4)-1,+)5 解關于的不等式6數(shù)列由下列條件確定:(1)證明:對于,(2)證明:對于7設P=(log2x)+(t-2)log2x-t+1,若t在區(qū)間-2,2上變動時,P恒為正值,試求x的變化范圍 8已知數(shù)列中,b1=1,點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上。)求數(shù)列)設的前n項和為Bn, 試比較。)設Tn=()、參考答案1解:畫出圖象,由線性規(guī)劃知識可得,選D2解:命題p為真時,即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù),故二次函數(shù)的判別式,從而;命題q為真時,。 若p或q為真命題,p且q為假命題,故p和q中只有一個是真命題,一個是假命題。 若p為真,q為假時,無解;若p為假,q為真時,結果為1a2,故選C.3分析:本題主要復習分式不等式的解法、分類討論的思想及利用序軸標根法解不等式的基本步驟。本題的關鍵是對分母分解因式,將原不等式等價轉化為和比較與及3的大小,定出分類方法。解:原不等式化為:(1) 當時,由圖1知不等式的解集為 (2) 當(3) 當4分析:方程的根、函數(shù)的性質和圖象都與不等式的解密切相關,要善于把它們有機地聯(lián)系起來,相互轉化和相互交通解(1) 由題意可知,a0且-1,2是方程ax2+bx+a2-10的根,所以(3)由題意知,2是方程ax2+bx+a2-1=0的根,所以4a+2b+a2-1=0 又2是不等式ax2+bx+a2-10的解集,所以(4)由題意知,a=0b0,且-1是方程bx+a2-1=0的根,即-b+a2-1=0,所以a=0,b=-1說明:二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間存在著密切的聯(lián)系在解決具體的數(shù)學問題時,要注意三者之間相互聯(lián)系相互滲透,并在一定條件下相互轉換。5分析:在不等式的求解中,換元法和圖解法是常用的技巧,通過換元,可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式,通過構造函數(shù),數(shù)形結合,則可將不等式的解化歸為直觀,形象的圖象關系,對含參數(shù)的不等式,運用圖解法,還可以使得分類標準更加明晰。解:設,原不等式化為,在同一坐標系中作出兩函數(shù)圖象故(1)當(2)(3)當時,原不等式的解集為綜上所述,當時,解集為);當時,解集為時,解集為。6證明:(1)(2)當時,=7分析:要求x的變化范圍,顯然要依題設條件尋找含x的不等式(組),這就需要認真思考條件中“t在區(qū)間-2,2上變動時,P恒為正值”的含義你是怎樣理解的?如果繼續(xù)思考有困難、請換一個角度去思考在所給數(shù)學結構中,右式含兩個字母x、t,t是在給定區(qū)間內變化的,而求的是x的取值范圍,能想到什么?解:設P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1因為 P=f(t)在top直角坐標系內是一直線,所以t在區(qū)間-2,2上變動時,P恒為正值的充要條件解得log2x3或log2x-1說明:改變看問題的角度,構造關于t的一次函數(shù),靈活運用函數(shù)的思想,使難解的問題轉化為熟悉的問題8分析:本題主要復習數(shù)列通項、求和及不等式的有關知識。略解:) )Bn=1+3+5+(2n-1)=n2 )Tn= -得又- 配套講稿:
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