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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一模試卷 理（含解析） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，則?UA=（） A． φ B． {0，2} C． {1，5} D． {2，0，1，5} 2．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=1（其中i為虛數(shù)單位），則z=（） A． B． C． D． 3．（5分）若函數(shù)y=ax+b的部分圖象如圖所示，則（） A． 0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B． 0＜a＜1，0＜b＜1 C． a＞1，﹣1＜b＜0 D． a＞1，0＜b＜1 4．（5分）已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則2x+y的最大值為（） A． 3 B． 4 C． 6 D． 9 5．（5分）已知直線a，b，平面α，β，且a⊥α，b?β，則“a⊥b”是“α∥β”的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 6．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（） A． 16 B． 25 C． 36 D． 49 7．（5分）在△ABC中，a，b，c分為為∠A，∠B，∠C所對的邊，若函數(shù)f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有極值點(diǎn)，則∠B的范圍是（） A． （0，） B． （0，] C． [，π） D． [，π] 8．（5分）如果自然數(shù)a的各位數(shù)字之和等于8，我們稱a為“吉祥數(shù)”．將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3…，若an=xx，則n=（） A． 83 B． 82 C． 39 D． 37 二、填空題：本大題共5小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分25分．本大題分為必做題和選做題兩部分（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生必須作答． 9．（5分）（x﹣）4的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字表示） 10．（5分）（x2﹣2sinx）dx=． 11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，則x+4y的最小值為． 12．（5分）已知圓C：x2+y2+8x+ay﹣5=0經(jīng)過拋物線E：x2=4y的焦點(diǎn)，則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得的弦長為． 13．（5分）設(shè)P是函數(shù)y=lnx圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x的距離的最小值為． 三、【坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題】（共1小題，每小題5分，滿分5分） 14．（5分）在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρcosθ=與曲線C2：ρ2cos2θ=1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=． 四、【幾何證明選講選做題】（共1小題，每小題0分，滿分0分） 15．如圖，在Rt△ABC中，∠A=30，∠C=90，D是AB邊上的一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)E．若BC=6，則DE的長為． 三、解答題 16．（12分）函數(shù)f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π． （1）求f（）的值； （2）若sinx0=，且x0∈（0，），求f（x0）的值． 17．（12分）空氣質(zhì)量指數(shù)（簡稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其數(shù)值越大說明空氣污染越嚴(yán)重，為了及時(shí)了解空氣質(zhì)量狀況，廣東各城市都設(shè)置了實(shí)時(shí)監(jiān)測站．下表是某網(wǎng)站公布的廣東省內(nèi)21個(gè)城市在xx12月份某時(shí)刻實(shí)時(shí)監(jiān)測到的數(shù)據(jù)： 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 廣州 118 東莞 137 中山 95 江門 78 云浮 76 茂名 107 揭陽 80 深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇慶 48 清遠(yuǎn) 47 佛山 160 惠州 113 汕頭 88 汕尾 74 陽江 112 韶關(guān) 68 梅州 84 （1）請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，完成下列表格： 空氣質(zhì)量 優(yōu)質(zhì) 良好 輕度污染 中度污染 AQI值范圍 [0，50） [50，100） [100，150） [150，200） 城市個(gè)數(shù) （2）統(tǒng)計(jì)部門從空氣質(zhì)量“良好”和“輕度污染”的兩類城市中采用分層抽樣的方式抽取6個(gè)城市，省環(huán)保部門再從中隨機(jī)選取3個(gè)城市組織專家進(jìn)行調(diào)研，記省環(huán)保部門“選到空氣質(zhì)量“良好”的城市個(gè)數(shù)為ξ”，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 18．（14分）在三棱錐P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最長的邊．三棱錐P﹣ABC的三視圖如圖1所示，其中側(cè)視圖和俯視圖均為直角三角形． （1）請?jiān)趫D2中，用斜二測畫法，把三棱錐P﹣ABC的直觀圖補(bǔ)充完整（其中點(diǎn)P在xOz平面內(nèi)），并指出三棱錐P﹣ABC的哪些面是直角三角形； （2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值； （3）求點(diǎn)C到面PAB的距離． 19．（14分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)大于0，公差d=1，且+=． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列{bn}滿足：b1=﹣1，b2=λ，bn+1=bn+，其中n≥2． ①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn； ②是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由． 20．（14分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，過左焦點(diǎn)傾斜角為45的直線被橢圓截得的弦長為． （1）求橢圓E的方程； （2）若動(dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過點(diǎn)M（1，0）作l的垂線垂足為Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程． 21．（14分）已知定義在[﹣2，2]上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=x（x﹣2）． （1）求f（x）的解析式和值域； （2）設(shè)g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常數(shù)a＞0． ①試指出函數(shù)F（x）=g（f（x））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； ②若當(dāng)1+是函數(shù)F（x）=g（f（x））的一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的常數(shù)a記為ak，其中k=1，2，…，n． 證明：a1+a2+…+an＜（n∈N*）． 廣東省深圳市xx高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，則?UA=（） A． φ B． {0，2} C． {1，5} D． {2，0，1，5} 考點(diǎn)： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算． 專題： 集合． 分析： 根據(jù)集合的補(bǔ)集的定義求出A的補(bǔ)集即可． 解答： 解：∵集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}， ∴?UA={1，5}， 故選：C． 點(diǎn)評： 本題考查了集合的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題． 2．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=1（其中i為虛數(shù)單位），則z=（） A． B． C． D． 考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)． 分析： 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出． 解答： 解：∵z（1+i）=1， ∴=． 故選：D． 點(diǎn)評： 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題． 3．（5分）若函數(shù)y=ax+b的部分圖象如圖所示，則（） A． 0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B． 0＜a＜1，0＜b＜1 C． a＞1，﹣1＜b＜0 D． a＞1，0＜b＜1 考點(diǎn)： 指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷 解答： 解：由圖象可以看出，函數(shù)為減函數(shù)，故0＜a＜1， 因?yàn)楹瘮?shù)y=ax的圖象過定點(diǎn)（0，1），函數(shù)y=ax+b的圖象過定點(diǎn)（0，b）， ∴﹣1＜b＜0， 故選：A 點(diǎn)評： 本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，利用函數(shù)過定點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵． 4．（5分）已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則2x+y的最大值為（） A． 3 B． 4 C． 6 D． 9 考點(diǎn)： 簡單線性規(guī)劃． 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： 作出可行域，平行直線可得直線過點(diǎn)A（3，0）時(shí)，z取最大值，代值計(jì)算可得． 解答： 解：作出不等式組所對應(yīng)的可行域（如圖陰影）， 變形目標(biāo)函數(shù)z=2x+y可得y=﹣2x+z， 平移直線y=﹣2x可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）時(shí)，z取最大值， 代值計(jì)算可得z=2x+y的最大值為6 故選：C 點(diǎn)評： 本題考查簡單線性規(guī)劃，準(zhǔn)確作圖是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題． 5．（5分）已知直線a，b，平面α，β，且a⊥α，b?β，則“a⊥b”是“α∥β”的（） A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 簡易邏輯． 分析： 根據(jù)題意，分兩步來判斷：①分析當(dāng)α∥β時(shí)，a⊥b是否成立，有線面垂直的性質(zhì)，可得其是真命題， ②分析當(dāng)a⊥b時(shí)，α∥β是否成立，舉出反例可得其是假命題，綜合①②可得答案． 解答： 解：根據(jù)題意，分兩步來判斷： ①當(dāng)α∥β時(shí)， ∵a⊥α，且α∥β， ∴a⊥β，又∵b?β， ∴a⊥b， 則a⊥b是α∥β的必要條件， ②若a⊥b，不一定α∥β， 當(dāng)α∩β=a時(shí)，又由a⊥α，則a⊥b，但此時(shí)α∥β不成立， 即a⊥b不是α∥β的充分條件， 則a⊥b是α∥β的必要不充分條件， 故選B． 點(diǎn)評： 本題考查充分必要條件的判斷，涉及線面垂直的性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵要掌握線面垂直的性質(zhì)． 6．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（） A． 16 B． 25 C． 36 D． 49 考點(diǎn)： 程序框圖． 專題： 算法和程序框圖． 分析： 執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的i，n，S的值，當(dāng)i=6時(shí)，滿足條件i＞5，退出循環(huán)，輸出S的值為36． 解答： 解：執(zhí)行程序框圖，可得 S=0，n=1，i=1 S=1， 不滿足條件i＞5，i=2，n=3，S=4 不滿足條件i＞5，i=3，n=5，S=9 不滿足條件i＞5，i=4，n=7，S=16 不滿足條件i＞5，i=5，n=9，S=25 不滿足條件i＞5，i=6，n=11，S=36 滿足條件i＞5，退出循環(huán)，輸出S的值為36． 故選：C． 點(diǎn)評： 本題主要考察了程序框圖和算法，正確判斷退出循環(huán)時(shí)S的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題． 7．（5分）在△ABC中，a，b，c分為為∠A，∠B，∠C所對的邊，若函數(shù)f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有極值點(diǎn)，則∠B的范圍是（） A． （0，） B． （0，] C． [，π） D． [，π] 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 專題： 計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；解三角形． 分析： 先求導(dǎo)f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），從而化函數(shù)f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有極值點(diǎn)為x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有兩個(gè)不同的根，從而再利用余弦定理求解． 解答： 解：∵f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1， ∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac）， 又∵函數(shù)f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有極值點(diǎn)， ∴x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有兩個(gè)不同的根， ∴△=（2b）2﹣4（a2+c2﹣ac）＞0， 即ac＞a2+c2﹣b2， 即ac＞2accosB； 即cosB＜； 故∠B的范圍是（，π）； 故選：D． 點(diǎn)評： 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題． 8．（5分）如果自然數(shù)a的各位數(shù)字之和等于8，我們稱a為“吉祥數(shù)”．將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列a1，a2，a3…，若an=xx，則n=（） A． 83 B． 82 C． 39 D． 37 考點(diǎn)： 數(shù)列遞推式． 專題： 點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法． 分析： 利用“吉祥數(shù)”的定義，分類列舉出“吉祥數(shù)”，推理可得到結(jié)論． 解答： 解：由題意，一位數(shù)時(shí)只有8一個(gè)； 二位數(shù)時(shí)，有17，26，35，44，53，62，71，80共8個(gè) 三位數(shù)時(shí)：（0，0，8）有1個(gè)，（0，1，7）有4個(gè)，（0，2，6）有4個(gè)， （0，3，5）有4個(gè)，（0，4，4）有2個(gè)，（1，1，6）有3個(gè)，（1，2，5）有6個(gè)， （1，3，4）有6個(gè)，（2，2，4），有3個(gè)，（2，3，3）有3個(gè)， 共1+43+2+33+62=36個(gè)， 四位數(shù)小于等于xx：（0，0，1，7）有3個(gè)，（0，0，2，6）有1個(gè)，（0，1，1，6）有6個(gè)， （0，1，2，5）有7個(gè)，（0，1，3，4）有6個(gè)，（1，1，1，5）有3個(gè)，（1，1，2，4）有6個(gè)， （1，1，3，3）有3個(gè)，（1，2，2，3）有3個(gè)， 共有34+63+1+7=38個(gè)數(shù)， ∴小于等于xx的一共有1+8+36+38=83個(gè)，即a83=xx 故選：A 點(diǎn)評： 本題考查新定義，涉及簡單計(jì)數(shù)原理和排列組合的知識，屬中檔題． 二、填空題：本大題共5小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分25分．本大題分為必做題和選做題兩部分（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生必須作答． 9．（5分）（x﹣）4的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字表示） 考點(diǎn)： 二項(xiàng)式定理． 專題： 計(jì)算題；二項(xiàng)式定理． 分析： 利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=（﹣）r??x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2，即可求出（x﹣）4的展開式中常數(shù)項(xiàng)． 解答： 解：設(shè)（x﹣）4展開式的通項(xiàng)為Tr+1，則Tr+1=（﹣）r??x4﹣2r， 令4﹣2r=0得r=2． ∴展開式中常數(shù)項(xiàng)為：（﹣）2?=． 故答案為：． 點(diǎn)評： 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，利用通項(xiàng)公式化簡是關(guān)鍵，屬于中檔題． 10．（5分）（x2﹣2sinx）dx=18． 考點(diǎn)： 微積分基本定理． 專題： 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)微積分基本定理計(jì)算即可． 解答： 解：（x2﹣2sinx）dx=（x3+2cosx）|=33+2cos3﹣（﹣3）3﹣2cos（﹣3）=9+9=18 故答案為：18 點(diǎn)評： 本題考查了微積分基本定理，關(guān)鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題 11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，則x+4y的最小值為9． 考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)⊥，得到x+y=xy，由x+4y≥4結(jié)合“=”成立的條件，求出此時(shí)x，y的值，從而得到答案． 解答： 解：∵⊥，（x＞0，y＞0）， ∴?=﹣1+=0， ∴+=1， ∴x+4y=（x+4y）（+）=1+++4≥5+2=9， 當(dāng)且僅當(dāng)=即x2=4y2時(shí)“=”成立， 故答案為：9 點(diǎn)評： 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題． 12．（5分）已知圓C：x2+y2+8x+ay﹣5=0經(jīng)過拋物線E：x2=4y的焦點(diǎn)，則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得的弦長為4． 考點(diǎn)： 拋物線的簡單性質(zhì)． 專題： 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 求出拋物線E：x2=4y的焦點(diǎn)為（0，1），準(zhǔn)線為y=﹣1，確定圓的方程，即可求出拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得的弦長． 解答： 解：拋物線E：x2=4y的焦點(diǎn)為（0，1），準(zhǔn)線為y=﹣1． （0，1）代入圓C：x2+y2+8x+ay﹣5=0，可得1+a﹣5=0，∴a=4 ∴圓C：x2+y2+8x+4y﹣5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25， ∴圓心到直線的距離為d=1， ∴拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得的弦長為2=4． 故答案為：4． 點(diǎn)評： 本題考查圓的方程，考查拋物線的性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)． 13．（5分）設(shè)P是函數(shù)y=lnx圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x的距離的最小值為． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 專題： 計(jì)算題；作圖題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： 由題意作圖，從而可得點(diǎn)P（1，0）時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x的距離的有最小值；從而求解． 解答： 解：由題意作圖如下， 令y′==1得， x=1，y=0； 故點(diǎn)P（1，0）時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x的距離的有最小值； 故d==； 故答案為：． 點(diǎn)評： 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題． 三、【坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題】（共1小題，每小題5分，滿分5分） 14．（5分）在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρcosθ=與曲線C2：ρ2cos2θ=1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=2． 考點(diǎn)： 簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 專題： 坐標(biāo)系和參數(shù)方程． 分析： 曲線C1：ρcosθ=化為x=．曲線C2：ρ2cos2θ=1化為ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，可得x2﹣y2=1，聯(lián)立解得即可． 解答： 解：曲線C1：ρcosθ=化為x=． 曲線C2：ρ2cos2θ=1化為ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，∴x2﹣y2=1， 聯(lián)立，解得． ∴|AB|=2． 故答案為：2． 點(diǎn)評： 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、弦長問題，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 四、【幾何證明選講選做題】（共1小題，每小題0分，滿分0分） 15．如圖，在Rt△ABC中，∠A=30，∠C=90，D是AB邊上的一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)E．若BC=6，則DE的長為4． 考點(diǎn)： 與圓有關(guān)的比例線段． 專題： 立體幾何． 分析： 連接OE，由已知得∠AEO=90，OA=2OE，OD=AD，由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得DE=OD，由此能求出DE的長． 解答： 解：連接OE，∵AC是⊙O的切線，∴∠AEO=90， ∵∠A=30，∴OA=2OE， ∵OA=OD+AD，OD=OE，∴OD=AD， ∴DE=OD（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）， ∵∠C=90，∠A=30，BC=6， ∴AB=2BC=12， ∵AB=OB+OD+AD=3OD=12， ∴OD=4， ∴DE=OD=4． 故答案為：4． 點(diǎn)評： 本題考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用． 三、解答題 16．（12分）函數(shù)f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π． （1）求f（）的值； （2）若sinx0=，且x0∈（0，），求f（x0）的值． 考點(diǎn)： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 專題： 計(jì)算題；三角函數(shù)的求值． 分析： （1）由已知可求ω的值，從而可得解析式，即可根據(jù)誘導(dǎo)公式求值． （2）由已知可求得cos2x0的值，即可求sin2x0的值，由兩角和的正弦公式展開所求代入即可求值． 解答： 解：（1）∵f（x）的周期是π，即T=π，…（1分） ∴ω==2，即． …（3分） ∴． …（5分） （2）由得，…（7分） 又，∴2x0∈（0，π），…（8分） ∴，…（9分） ∵ =． ∴． …（12分） 點(diǎn)評： 本小題主要考查了三角函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?）的圖象與性質(zhì)，同角三角函數(shù)的關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，兩角和與差和二倍角的三角函數(shù)公式，考查了簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 17．（12分）空氣質(zhì)量指數(shù)（簡稱AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其數(shù)值越大說明空氣污染越嚴(yán)重，為了及時(shí)了解空氣質(zhì)量狀況，廣東各城市都設(shè)置了實(shí)時(shí)監(jiān)測站．下表是某網(wǎng)站公布的廣東省內(nèi)21個(gè)城市在xx12月份某時(shí)刻實(shí)時(shí)監(jiān)測到的數(shù)據(jù)： 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 城市 AQI數(shù)值 廣州 118 東莞 137 中山 95 江門 78 云浮 76 茂名 107 揭陽 80 深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇慶 48 清遠(yuǎn) 47 佛山 160 惠州 113 汕頭 88 汕尾 74 陽江 112 韶關(guān) 68 梅州 84 （1）請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，完成下列表格： 空氣質(zhì)量 優(yōu)質(zhì) 良好 輕度污染 中度污染 AQI值范圍 [0，50） [50，100） [100，150） [150，200） 城市個(gè)數(shù) （2）統(tǒng)計(jì)部門從空氣質(zhì)量“良好”和“輕度污染”的兩類城市中采用分層抽樣的方式抽取6個(gè)城市，省環(huán)保部門再從中隨機(jī)選取3個(gè)城市組織專家進(jìn)行調(diào)研，記省環(huán)保部門“選到空氣質(zhì)量“良好”的城市個(gè)數(shù)為ξ”，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 考點(diǎn)： 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；分層抽樣方法． 專題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： （1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，能完成表格． （2）按分層抽樣的方法，抽出的“良好”類城市為4個(gè)，抽出的“輕度污染”類城市為2個(gè)．根據(jù)題意ξ的所有可能取值為：1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解答： 解：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，完成表格如下： 空氣質(zhì)量 優(yōu)質(zhì) 良好 輕度污染 中度污染 AQI值范圍 [0，50） [50，100） [100，150） [150，200） 城市頻數(shù) 2 12 6 1 …（2分） （2）按分層抽樣的方法，從“良好”類城市中抽取個(gè)，…（3分） 從“輕度污染”類城市中抽取個(gè)，…（4分） 所以抽出的“良好”類城市為4個(gè)，抽出的“輕度污染”類城市為2個(gè)． 根據(jù)題意ξ的所有可能取值為：1，2，3． ∵， ， ．…（8分） ∴ξ的分布列為： ξ 1 2 3 p 所以． …（11分） 答：ξ的數(shù)學(xué)期望為2個(gè)．…（12分） 點(diǎn)評： 本題主要考察讀圖表、分層抽樣、概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決簡單實(shí)際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力． 18．（14分）在三棱錐P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最長的邊．三棱錐P﹣ABC的三視圖如圖1所示，其中側(cè)視圖和俯視圖均為直角三角形． （1）請?jiān)趫D2中，用斜二測畫法，把三棱錐P﹣ABC的直觀圖補(bǔ)充完整（其中點(diǎn)P在xOz平面內(nèi)），并指出三棱錐P﹣ABC的哪些面是直角三角形； （2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值； （3）求點(diǎn)C到面PAB的距離． 考點(diǎn)： 二面角的平面角及求法． 專題： 空間位置關(guān)系與距離；空間角． 分析： （1）由已知條件能用出三棱錐P﹣ABC直觀圖，由三視圖知△ABC和△PCA是直角三角形． （2）過P作PH⊥BC交BC于點(diǎn)H，由三視圖知△PBC為等腰三角形，取PC的中點(diǎn)E，過E作EF⊥PA且交PA于點(diǎn)F，連接BE，BF，∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角，由此能求出二面角B﹣PA﹣C的正切值． （3）記C到面PAB的距離為h，由VP﹣ABC=VC﹣PAB，能求出C到面PAB的距離． 解答： 解：（1）三棱錐P﹣ABC直觀圖如圖1所示； 由三視圖知△ABC和△PCA是直角三角形．…（3分） （2）如圖2，過P作PH⊥BC交BC于點(diǎn)H， 由三視圖知△PBC為等腰三角形， ∵BC=4，，∴PB=PC=BC=4， 取PC的中點(diǎn)E，過E作EF⊥PA且交PA 于點(diǎn)F，連接BE，BF， 因?yàn)锽E⊥PC，由三視圖知AC⊥面PBC， 且BE?面PBC，∴AC⊥BE， 又由AC∩PC=C，∴BE⊥面PAC， 由PA?面PAC，∴BE⊥PA，BE∩EF=E，∴PA⊥面BEF， 由BF?面BEF，∴PA⊥BF， 所以∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角．…（6分） ∵△PEF∽△PAC，∴， ∵，∴，…（8分），∴在直角△BFE中，有． 所以，二面角B﹣PA﹣C的正切值為． …（9分） （3）記C到面PAB的距離為h， 由（1）、（2）知，∴， PB=4，VC﹣PAB==，…（12分） 三棱錐P﹣ABC的體積，…（13分） 由VP﹣ABC=VC﹣PAB，得C到面PAB的距離． …（14分） 點(diǎn)評： 本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，三視圖及幾何體的直觀圖，二面角，三棱錐的體積，空間坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力． 19．（14分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)大于0，公差d=1，且+=． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列{bn}滿足：b1=﹣1，b2=λ，bn+1=bn+，其中n≥2． ①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn； ②是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由． 考點(diǎn)： 數(shù)列與不等式的綜合． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）由已知得=，從而，由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． （2）①由已知得=+1，令cn=，則c2=λ，cn+1=cn+1，由此能求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． ②若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則有，由此能求出存在實(shí)數(shù)λ=1，使得數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． 解答： 解：（1）∵數(shù)列{an}的首項(xiàng)大于0，公差d=1，且+=，…（2分） ∴=，…（3分） 整理得，解得a1=1或a1=﹣3（舍去）．…（4分） 因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n．…（5分） （2）①∵bn+， ∴=+1．…（6分） 令cn=，則有c2=λ，cn+1=cn+1，（n≥2）． ∴當(dāng)n≥2時(shí)，cn=c2+（n﹣2）=n﹣2+λ，．…（8分） ∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn=．…（9分） ②∵b1=﹣1，b2=λ，，…（10分） ∴若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則有=b1b3， 即，解得λ=1或．…（11分） 當(dāng)時(shí)，（n≥2）， 不是常數(shù)，數(shù)列{bn}不是等比數(shù)列， 當(dāng)λ=1時(shí)，b1=﹣1，，（n≥2），數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． 所以，存在實(shí)數(shù)λ=1，使得數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．…（14分） 點(diǎn)評： 本題考查了等差數(shù)列的基本量的計(jì)算、遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列裂項(xiàng)求和公式、等比數(shù)列的定義，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想． 20．（14分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，過左焦點(diǎn)傾斜角為45的直線被橢圓截得的弦長為． （1）求橢圓E的方程； （2）若動(dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過點(diǎn)M（1，0）作l的垂線垂足為Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程． 考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的綜合問題． 專題： 圓錐曲線中的最值與范圍問題． 分析： （1）由橢圓E的離心率為，可得=，解得a2=2b2，可得c=b．故橢圓E的方程可設(shè)為x2+2y2=2b2，則橢圓E的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣b，0），過左焦點(diǎn)傾斜角為45的直線方程為l′：y=x+b．與橢圓方程聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦長公式|AB|===，解得b即可得出． （2）當(dāng)切線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，根據(jù)直線l和橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可得△=0，m2=2k2+1．由于直線MQ與l垂直，可得直線MQ的方程為：y=﹣，聯(lián)立，解得，消去m，k即可得出． 解答： 解：（1）∵橢圓E的離心率為， ∴=，解得a2=2b2， ∴c2=a2﹣b2=b2，即c=b． 故橢圓E的方程可設(shè)為x2+2y2=2b2，則橢圓E的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣b，0），過左焦點(diǎn)傾斜角為45的直線方程為l′：y=x+b． 設(shè)直線l′與橢圓E的交點(diǎn)記為A，B，聯(lián)立，消去y，得3x2+4bx=0， 解得x1=0，x2=﹣， ∴|AB|===，解得b=1． 故橢圓E的方程為． （2）（ i）當(dāng)切線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m， 聯(lián)立，消去y并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0， ∵直線l和橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0， 化簡并整理，得m2=2k2+1． ∵直線MQ與l垂直，∴直線MQ的方程為：y=﹣， 聯(lián)立，解得， ∴x2+y2====2．（*） （ ii）當(dāng)切線l的斜率為0時(shí)，此時(shí)Q（1，1），符合（*）式． （ iii）當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)Q 或，符合（*）式． 綜上所述，點(diǎn)Q的軌跡方程為x2+y2=2． 點(diǎn)評： 本題主要考查軌跡方程和橢圓的定義、直線方程、直線與橢圓相切的位置關(guān)系，弦長問題，考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題． 21．（14分）已知定義在[﹣2，2]上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）=x（x﹣2）． （1）求f（x）的解析式和值域； （2）設(shè)g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常數(shù)a＞0． ①試指出函數(shù)F（x）=g（f（x））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； ②若當(dāng)1+是函數(shù)F（x）=g（f（x））的一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的常數(shù)a記為ak，其中k=1，2，…，n． 證明：a1+a2+…+an＜（n∈N*）． 考點(diǎn)： 數(shù)列與函數(shù)的綜合． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）由奇函數(shù)性質(zhì)得f（0）=0，當(dāng)x∈[﹣2，0）時(shí)，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2），由此能求出f（x）的解析式和值域． （2）①當(dāng)t=0時(shí)，方程f（x）=t有三個(gè)實(shí)根，當(dāng)t=1或t=﹣1時(shí)，方程f（x）=t只有一個(gè)實(shí)根，當(dāng)t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）時(shí)，方程f（x）=t有兩個(gè)實(shí)根．設(shè)h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0，，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)F（x）=g（f（x））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． ②由已知得g（f（1+））=0，g（f（1+））=g（）=ln（﹣ak（）=0，從而，記m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明a1+a2+…+an＜（n∈N*）． 解答： （1）解：∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=0． 當(dāng)x∈[﹣2，0）時(shí)，﹣x∈（0，2]，則f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2）， ∴f（x）=． ∵x∈[0，2]時(shí)，f（x）∈[﹣1，0]，x∈[﹣2，0），f（x）∈[0，1]， ∴f（x）的值域?yàn)閇﹣1，1]． （2）①解：函數(shù)f（x）的圖象如圖a所示，當(dāng)t=0時(shí)，方程f（x）=t有三個(gè)實(shí)根， 當(dāng)t=1或t=﹣1時(shí)，方程f（x）=t只有一個(gè)實(shí)根， 當(dāng)t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）時(shí)，方程f（x）=t有兩個(gè)實(shí)根． 由g（x）=0，解得a=， ∵f（x）的值域?yàn)閇﹣1，1]， ∴只需研究函數(shù)y=在[﹣1，1]上的圖象特征． 設(shè)h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0， ， 令h′（x）=0，得x=e﹣2∈（0，1），h（e﹣2）=． ∵當(dāng)﹣1＜x＜e﹣2時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)e﹣2＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0， 又∵ln23＜ln32，即， 由h（0）=，h（1）=，得h（0）＜h（1）， ∴h（x）的大致圖象如圖b所示． 根據(jù)圖象b可知，當(dāng)0＜a＜、、a=時(shí)， 直線y=a與函數(shù)y=h（x）的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)， 則函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上僅有一個(gè)零點(diǎn)，記零點(diǎn)為t， 則t分別在區(qū)間（﹣1，0）、（0，1）上，根據(jù)圖象a， 方程f（x）=t有兩個(gè)交點(diǎn)， 因此函數(shù)F（x）=g（f（x））有兩個(gè)零點(diǎn)． 類似地，當(dāng)a=時(shí)，函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上僅有零點(diǎn)0， 因此函數(shù)F（x）有﹣1、0、1這三個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)a=時(shí)，函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)是1， 另一個(gè)零點(diǎn)在（0，1）內(nèi)，因此函數(shù)Y（x）有三個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)， 且這兩個(gè)零點(diǎn)均在（0，1）內(nèi)，因此函數(shù)F（x）有四個(gè)零點(diǎn)． 當(dāng)a＞時(shí)，函數(shù)g（x）在[﹣1，1]上沒有零點(diǎn)，因此函數(shù)F（x）沒有零點(diǎn)． ②證明：∵1+是函數(shù)F（x）=g（f（x））的一個(gè)零點(diǎn)， ∴有g(shù)（f（1+））=0，∵1+∈（0，2），∴f（1+）=， ∴g（f（1+））=g（）=ln（）﹣ak（）=0， ∴，k=1，2，…，n． 記m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=， ∵當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，m′（x）＜0， ∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，m（x）＜m（0）=0，即ln（x+1）＜x． 故有l(wèi)n（）＜，則＜=，k=1，2，…，n． 當(dāng)n=1時(shí)，a1． 當(dāng)n≥2時(shí)，∵＜=﹣， ∴a1+a2+a3+…+an＜+…+ ＜ = =＜． 綜上，有a1+a2+…+an＜（n∈N*）． 點(diǎn)評： 本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、分段函數(shù)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、一元二次方程的求解、連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，放縮法證明數(shù)列不等式，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，以及計(jì)算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識．