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2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第五講立體幾何 第一節(jié)空間幾何體 文 三視圖和幾何體的結(jié)構(gòu)特征是新課標高考的必考點，.幾何體的表面積和體積也是高考命題的重點和熱點，幾乎年年出現(xiàn)，大多以小題出現(xiàn)，難度不大，大題中也有以三視圖為背景條件的求面積.體積及位置關(guān)系問題，總體難度一般控制在0.4~0.7之間.. 考試要求 （1）認識柱.錐.臺.球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；（2）能畫出簡單空間圖形（長方體，球，圓柱，圓錐，棱柱等簡單組合體）的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖；（3）會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；（4）會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸.線條等不作嚴格要求）（5）了解球.棱柱.棱錐.臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）； 俯視圖 正(主)視圖 側(cè)(左)視圖 2 3 2 2 圖5-1-1 題型一 三視圖 例1（1）右圖5-1-1，是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ） A． B． C． D． 點撥 識別上述三視圖表示的立體圖形 解 從三視圖可以看出該幾何體是由一個球和一個圓柱體組合而成的簡單幾何體，其表面積為： ，故選D. 易錯點 對原幾何體的下部分（圓柱體）的分析出錯，誤以為是長方體. （2）將正三棱柱截去三個角（如圖5-1-2所示，分別是三邊的中點）得到幾何體如圖5-1-3，則該幾何體按所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ ） 點撥: 底面和HGDE垂直，分析點B的位置 解：在左視圖中，E，D兩點重合，B，C兩點重合，且平面ADE與平面FDE夾角為直角，故選（A）. 易錯點 對于左視圖中點B的位置分析不正確. 變式與引申 1.（1）一個體積為的正三棱柱的三視圖如圖5-1-4所示， 則這個三棱柱的左視圖的面積為 （ ） A． B．8 C． D．12 （2）用若干個體積為1的正方體搭成一個幾何體，其正視圖.側(cè)視圖都是 如圖5-1-5所示的圖形，則這個幾何體的最大體積與最小體積的差是（ ）. A．6 B．7 C．8 D．9 題型二 與球有關(guān)組合體 pr Ar Br Cr or 圖5-1-6 例2 如圖5-1-6正三棱錐的高為1，底面邊長為，內(nèi)有一個球與四個面都相切. 求棱錐的表面積和球的半徑. 點撥 解決這類題的關(guān)鍵是根據(jù)空間想象能力和組合體的特點畫出截面圖. 解：如圖5-1-7過PA與球心O作截面PAE與平面PCB交于PE，與平面ABC交于AE， Ar Er or Fr Dr 圖5-1-7 pr 因△ABC是正三角形，易知AE即是△ABC中BC邊上的高，又是BC邊上的中線，作為正三棱錐的高PD通過球心，且D是三角形△ABC的重心，據(jù)此根據(jù)底面邊長為，即可算出 由△POF～△PED，知 ∴ ∴ 易錯點，立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決.，截面圖準確畫出是最關(guān)鍵，也是容易出錯的地方. 變式與引申 2．如圖5-1-8棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上， 若過該球球心的一個截面如圖所示，求圖中三角形（正四面體的 截面）的面積. 題型三：旋轉(zhuǎn)體問題 例3 一個圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，其中有一個高為cm的內(nèi)接圓柱： （1）求圓錐的側(cè)面積； （2）當為何值時，圓柱側(cè)面積最大？并求出最大值. r xr 圖5-1-9 點撥：充分利用軸截面，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，然后注意平 面幾何的性質(zhì). 例如相似圖形對應(yīng)邊成比例.直角三角形的勾股定理等. 解： （1）母線長 ∴側(cè)面積 （2）如圖5-1-9所示，在軸截面圖中設(shè)圓柱底面半徑為，則 ∴ ∴ （0＜＜6） ≤ 這時即 故當時，圓柱側(cè)面積最大，最大值為 易錯點： ①不能建立圓柱的側(cè)面積與的函數(shù)關(guān)系式； ②忽視的取值范圍； 變式與引申 3. 如圖5-1-10，△ABC的三邊之長分別是AC=3，BC=3，AB=5. 現(xiàn)以AB所在的直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周如圖5-1-11，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積. 題型四 ：割補應(yīng)用 B A C D E F 圖5-1-12 例4如圖5-1-12，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△AED.△BCF均為正三角形，EF∥AB， EF=2，求該多面體的體積. 點撥：這是一個五面體，由于EF與AB不等，這個幾何體不是很規(guī)則，如果我們過AD作EF直截面ADM，過BC作EF直截面GBC，則面ADM∥面GBC.這個五面體就分割成直三棱柱ADM-BCG和兩個三棱錐：E-ADM，F(xiàn)-BCG. 解：如圖5-1-13，過BC作EF的直截面BCG，過AD作EF的直截面ADM 則面BCG∥面ADM，ADM—BCG為直三棱柱. F—BCG與E—ADM是體積相等的兩個三棱錐， 取BC中點為O，由于BCF為正三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ 易錯點；“補”，“割”在解立幾問題中是比較重要的思想方法，將不規(guī)則幾何體怎樣“補”，“割” F E A B C D 圖5-1-14 成熟悉的幾何體是關(guān)鍵，本題如何“割”是易錯處. 變式與引申 4.如圖5-1-14已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體， E.F分別為棱AA1與CC1的中點，求四棱錐A1—EBFD1的體積. 本節(jié)主要考查 （1）知識點有識別三視圖和三視圖的還原.幾何體的結(jié)構(gòu)特征.幾何體的面積和體積.（2）技能技巧：割補法.等積變換等.（3）數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸的應(yīng)用以及觀察能力，歸納能力，空間想象能力，運算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力. 點 評 （1）三視圖是立體幾何的重點，也是新課標的一個重點內(nèi)容，也是高考的熱點，主要考察如何識別三視圖和還原成直觀圖（如例題1）； （2）在分析三視圖還原成幾何體過程中，還原幾何體是要注意①確定三視方向②分析組合體的組成形式，特點③交線位置和虛實；還原數(shù)據(jù)時要注意對應(yīng)：主，俯長對正；主，左高平齊；左，俯寬相等. （3）多面體的表面積是各個面的面積之和.圓柱.圓錐.圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理. （4）求錐體的體積，要選擇適當?shù)牡酌婧透?，然后?yīng)用公式進行計算即可.常用方法為：割補法和等積變換法：割補法：求一個幾何體的體積可以將這個幾何體分割成幾個柱體.錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積；等積變換法：利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面.①求體積時，可選擇容易計算的方式來計算；②利用“等積性”可求“點到面的距離”. 習(xí)題5－1 圖5-1-17 3. 已知某幾何體的俯視圖是如圖5-1-17所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8.高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6.高為4的等腰三角形． (1)求該兒何體的體積V； (2)求該幾何體的側(cè)面積S P B C A D E F 圖5-1-18 4. 如圖5-1-18所示，等腰△ABC的底邊，高CD=3，點E是線段BD上異于點B.D的動點，點F在BC邊上，且EF⊥AB現(xiàn)沒EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BE=表示四棱錐P—ACFE的體積. （1）求證：面PEF⊥面ACFE； （2）求的表達式，并求當為何值時取得最大值？ 【答案】 變式與引申： 1.（1）A 提示：設(shè)正三棱柱的底邊長為，則，解得，又由，解得，所以三棱柱的左視圖的面積為，故選A （2）A 提示：由正視圖、側(cè)視圖可知，體積最小時，底層有3個小正方體，上面有2個，共5個；體積最大時，底層有9個小正方體，上面有2個，共11個，故這個幾何體的最大體積與最小體積的差是6.故選A. 2．解：如圖5-1-1，ΔABE為題中的三角形， 圖5-1-1 由已知得AB=2，BE=，BF=，∴AF=，∴ΔABE的面積為 注：解決這類問題的關(guān)鍵是準確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)揮自己的空間想象能力，把立體圖和截面圖對照分析，找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系.與球有關(guān)的截面問題為了增加圖形的直觀性，解題時常常畫一個截面圓起襯托作用. B C A D 圖5-1-2 3. 解：如圖5-1-2所示，所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個底面重合的圓錐，高的和為AB=5， 而底面半徑為 ∴旋轉(zhuǎn)體的表面積為 體積為 習(xí)題5-1 1．B 2．32π 提示：如圖5-1-4，設(shè)球一條半徑與圓柱相應(yīng)的母線夾角為α，圓柱 側(cè)面積＝，當時， S取最大值，此時球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為． .解：由已知可得該幾何體是一個底面為矩形，高為4，頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD ； (1) (2) 該四棱錐有兩個側(cè)面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為， 另兩個側(cè)面VAB. VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為 因此