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2019-2020年高考數(shù)學專題復習導練測 第七章 第1講 不等關系與不等式 理 新人教A版
一、選擇題
1.已知則( )
A. B. C. D.
解析 因為,都小于1且大于0,故排除C,D;又因為都是以4為底的對數(shù),真數(shù)大,函數(shù)值也大,所以,故選B.
答案 B
2．設0
0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有 ( )．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
解析 運用倒數(shù)性質(zhì)，由a>b，ab>0可得<，②、④正確．又正數(shù)大于負數(shù)，①正確，③錯誤，故選C.
答案 C
4．如果a，b，c滿足cac B．c(b－a)>0
C．cb20，則A一定正確；B一定正確；D一定正確；當b＝0時C不正確．
答案 C
5．若a＞0，b＞0，則不等式－b＜＜a等價于( )．
A．－＜x＜0或0＜x＜ B．－＜x＜
C．x＜－或x＞ D．x＜－或x＞
解析 由題意知a＞0，b＞0，x≠0，
(1)當x＞0時，－b＜＜a?x＞；
(2)當x＜0時，－b＜＜a?x＜－.
綜上所述，不等式－b＜＜a?x＜－或x＞.
答案 D
6．若a、b均為不等于零的實數(shù)，給出下列兩個條件．條件甲：對于區(qū)間[－1,0]上的一切x值，ax＋b>0恒成立；條件乙：2b－a>0，則甲是乙的 ( )．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析 當x∈[－1,0]時，恒有ax＋b>0成立，
∴當a>0時，ax＋b≥b－a>0，
當a<0時，ax＋b≥b>0，∴b－a>0，b>0，∴2b－a>0，
∴甲?乙，乙推不出甲，例如：a＝b，b>0時，
則2b－a＝b>0，
但是，當x＝－1時，a(－1)＋b＝－b＋b＝－b<0，
∴甲是乙的充分不必要條件．
答案 A
二、填空題
7．若a10.
答案 a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
8．現(xiàn)給出三個不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________個．
解析 因為a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；對于②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恒成立；對于③，因為(＋)2－(＋)2＝2－2>0，且＋>0，＋>0，所以＋>＋，即③恒成立．
答案 2
9．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，則z＝2x－3y的取值范圍是________(用區(qū)間表示)．
解析 ∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z∈[3,8]．
答案 [3,8]
10．給出下列四個命題：
①若a>b>0，則>；
②若a>b>0，則a－>b－；
③若a>b>0，則>；
④設a，b是互不相等的正數(shù)，則|a－b|＋≥2.
其中正確命題的序號是________(把你認為正確命題的序號都填上)．
解析?、僮鞑羁傻茫?，而a>b>0，則<0，此式錯誤．②a>b>0，則<，進而可得－>－，所以可得a－>b－正確．③－＝＝＝<0，錯誤．④當a－b<0時此式不成立，錯誤．
答案?、?
三、解答題
11．已知a∈R，試比較與1＋a的大?。?
解析?。?1＋a)＝.
①當a＝0時，＝0，∴＝1＋a.
②當a＜1且a≠0時，＞0，∴＞1＋a.
③當a＞1時，＜0，∴＜1＋a.
綜上所述，當a＝0時，＝1＋a；
當a＜1且a≠0時，＞1＋a；
當a＞1時，＜1＋a.
12．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍．
解 由題意，得解得
所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)．
因為－4≤f(1)≤－1，所以≤－f(1)≤，
因為－1≤f(2)≤5，所以－≤f(2)≤.
兩式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范圍是[－1,20]．
13． (1)設x≥1，y≥1，證明
x＋y＋≤＋＋xy；
(2)設1＜a≤b≤c，證明
logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
證明 (1)由于x≥1，y≥1，所以
x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
將上式中的右式減左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
從而所要證明的不等式成立．
(2)設logab＝x，logbc＝y(tǒng)，由對數(shù)的換底公式得
logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
于是，所要證明的不等式即為
x＋y＋≤＋＋xy
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要證明的不等式成立．
14．已知f(x)是定義在(－∞，4]上的減函數(shù)，是否存在實數(shù)m，使得f(m－sin x)≤
f對定義域內(nèi)的一切實數(shù)x均成立？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
思維啟迪：不等式和函數(shù)的結(jié)合，往往要利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域．
解 假設實數(shù)m存在，依題意，
可得
即
因為sin x的最小值為－1，且－(sin x－)2的最大值為0，要滿足題意，必須有
解得m＝－或≤m≤3.
所以實數(shù)m的取值范圍是∪.
探究提高 不等式恒成立問題一般要利用函數(shù)的值域，m≤f(x)恒成立，只需m≤f(x)min.
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