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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(I) 一、填空題：（共14小題，每小題5分，共70分） 1．“因?yàn)樗倪呅问蔷匦危运倪呅蔚膶?duì)角線互相平分且相等”，補(bǔ)充以上推理的大前提為 　 ． 2.“無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)，而是無(wú)限小數(shù)，所以是無(wú)理數(shù)?！? 這個(gè)推理是 _推理（在“歸納”、“類(lèi)比”、“演繹”中選擇填空） 3.已知,則x= . 4.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為_(kāi)_______. 5．用反證法證明命題：“在一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中，至少有二個(gè)銳角”時(shí)， 假設(shè)部分的內(nèi)容應(yīng)為_(kāi)___________________________． 7.已知平行四邊形OABC(逆時(shí)針）的頂點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù).O為復(fù)平面的原點(diǎn)， 那么頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是____________ 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，從推導(dǎo)時(shí)原等式的 左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是 ． 9.已知，且（為虛數(shù)單位），則的最大值為 . 10．從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個(gè)班擔(dān)任班主任（每班1位班主任）要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有_________種（用數(shù)字作答) 11.設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為,是內(nèi)任意一點(diǎn),且到三邊、、的距離分別為、、,則有為定值;由以上平面圖形的特性類(lèi)比到空間圖形:設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,是正四面體內(nèi)任意一點(diǎn),且到平面、平面、平面、平面的距離分別為、、、h4，則有+h4為定值___________________. 12.已知扇形的圓心角為2α（定值），半徑為r（定值），分別按圖一、二作扇形的內(nèi)接矩形，若按圖一作出的矩形面積的最大值為，則按圖二作出的矩形面積的最大值為_(kāi)_____． 13.觀察下面的數(shù)陣, 第30行第20個(gè)數(shù)是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 … … … … … … … … … 14.已知實(shí)數(shù)，從不等式， 啟發(fā)我們推廣為，則“（ ）”中應(yīng)填寫(xiě)___________． ww w.k s5 u.co m 二、解答題：（本大題共6小題，共90分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 15.（本題14分）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)為A， 實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)， （1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值； （2）若點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）求的最小值及此時(shí)實(shí)數(shù)的值． 16. （本題14分、第1題6分、第2題8分） （1）已知a,b都是正數(shù)，求證：。 （2）已知，證明：． 17．（本題共14分）試問(wèn)函數(shù)是否為周期函數(shù)？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 18.（本題16分、第一小題4分，第二小題6分，第三小題6分） 已知集合A= ⑴求集合A中復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足 的關(guān)系？并在復(fù) 平面內(nèi)畫(huà)出圖形 ⑵若，求的最大值、最小值，并求此時(shí)的復(fù)數(shù)z ⑶若B=，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 19．（本題共16分，第一小題6分，第二小題5分，第三小題5分） 用這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)． （1）共有多少個(gè)四位數(shù)？其中偶數(shù)有多少個(gè)？ （2）比4301大的四位數(shù)有多少個(gè)？ （3））求所有這些四位數(shù)之和． 注：以上結(jié)果均用數(shù)字作答 20．（本題共16分，第一小題8分，第二小題8分） 數(shù)列中，. （Ⅰ）求；（Ⅱ）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明. 一、填空題：（共14小題，每小題5分，共70分） 1．矩形的對(duì)角線互相平分且相等 2.演繹 3.1或3 4. 2 5．在一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中，至多有一個(gè)銳角 6.-1320 7. 3+5i 8. 2k 9. 10．420 11. 12． 13. 861 14. ww w.k s5 u.co m 二、解答題：（本大題共6小題，共90分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） 15.（本題14分）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)為A， 實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)， （1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值； （2）若點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）求的最小值及此時(shí)實(shí)數(shù)的值． 解：（1）由……………………2分 解得……………………………………2分 注：未舍解的扣2分 （2）由……………………………2分 解得或………………2分 （3） 令，……………2分 則………2分 所以當(dāng)即時(shí)，………………1分 有最小值．………………………1分 17. （本題14分、第1題6分、第2題8分） （1）已知a,b都是正數(shù)，求證：。 （2）已知，證明：． 證明： （2）要證 只要證 即要證 即要證 即要證 因?yàn)?，所? 所以． 17．（本題共14分） 試問(wèn)函數(shù)是否為周期函數(shù)？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 解：函數(shù)不是周期函數(shù)．………………………………………………3分 證明如下：（反證法） 假設(shè)函數(shù)的一個(gè)周期為，則有成立， 即對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立．……………………………………3分 取和得，………………………………………5分 此與相矛盾………………………………………………………………………1分 所以假設(shè)不成立…………………………………………………………………………1分 于是可知，函數(shù)不是周期函數(shù)………………………………………1分 18.已知集合A= ⑴求集合A中復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足 的關(guān)系？并在復(fù) 平面內(nèi)畫(huà)出圖形 ⑵若，求的最大值、最小值，并求此時(shí)的復(fù)數(shù)z ⑶若B=，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：⑴∵ ∣z∣= ∴ ≤1 ………………2分 ∴ +≤1（其中圖1分） …………………4分 ⑵的幾何意義表示： 圓+=1及其內(nèi)部的點(diǎn)到點(diǎn)A（1，1）的距離…………………6分 ∵ ⊙O的半徑r=1，OA= ∴ 最大值=，此時(shí)，z=--i………………8分 最小值=，此時(shí)，z=+i………………10分 ⑶∣z–ai∣≤2表示以C（0，a）為圓心，2為半徑的圓及其內(nèi)部………12分 ∵ ∴ OC≤R-r ………………14分 ∴ ∣a∣≤2-1 ∴ -1≤a≤1 ………………16分 19．（本題共3小題，第一小題6分，第二小題5分，第三小題5分，共16分） 用這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)． （1）共有多少個(gè)四位數(shù)？其中偶數(shù)有多少個(gè)？ （2）比4301大的四位數(shù)有多少個(gè)？ （3））求所有這些四位數(shù)之和．注：以上結(jié)果均用數(shù)字作答 解：（1）四位數(shù)：300個(gè)……………………………………………3分 四位偶數(shù)：156個(gè)…………………………………………3分 （2）83個(gè)……………………………………………………………5分 (3) （1+2+3+4+5）103 +(1+2+3+4+5)(102+10+1) = 1565328 = 979920 …5分 20．?dāng)?shù)列中，. （Ⅰ）求；（Ⅱ）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明. 解：（Ⅰ）∵，∴，即a1＝1………………………2分 ∵，即a1＋a2＝4―a2―1，∴a3＝1，　　　 ……………4分 ∵，即a1＋a2＋a3＝4―a3―，∴a3＝，…………………6分 ∵，即a1＋a2＋a3＋a4＝4―a4―，∴a3＝，…………8分 （Ⅱ）猜想 ………………………10分 證明如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，此時(shí)結(jié)論成立； …………………12分 ②假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）結(jié)論成立，即， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有 ,這就是說(shuō)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立. 綜上所述，對(duì)任何n∈N*時(shí). …………16分