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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理(IV) 一. 選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分) 1．從編號(hào)為0,1,2，… ，79的80件產(chǎn)品中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量為5的一個(gè)樣本，若編號(hào)為42的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最小編號(hào)為 ( ) A．8 B．10 C．12 D．16 2．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的m,n的比值＝ （ ） A．1 B． C． D． 3．如圖是某居民小區(qū)年齡在20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在[30，35)，[35，40)，[40，45]的上網(wǎng)人數(shù)呈現(xiàn)遞減的等差數(shù)列，則年齡在[35，40）的頻率為（ ） A．0．04 B．0．06 C．0．2 D．0．3 4．以下四個(gè)命題中 ①?gòu)膭蛩賯鬟f的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線(xiàn)上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這樣的抽樣是分層抽樣； ②對(duì)于命題：使得. 則： 均有； ③設(shè)隨機(jī)變量 ,若,則； ④兩個(gè)隨機(jī)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)就越接近于1. 其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．從中任取個(gè)不同的數(shù)，事件＝“取到的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件＝“取到的個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則＝（ ） A． B． C． D． 6．已知函數(shù)，若在區(qū)間上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，則使成立的概率為（ ） A． B． C． D． 7．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8．在極坐標(biāo)系中有如下三個(gè)結(jié)論： ①點(diǎn)P在曲線(xiàn)C上，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)滿(mǎn)足曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程； ②表示同一條曲線(xiàn)；　 ③ρ=3與ρ=-3表示同一條曲線(xiàn)。 在這三個(gè)結(jié)論中正確的是（ ） A.①③　　　 B.①　　　 C.②③　　　　 D. ③ 9．圓（為參數(shù)）被直線(xiàn)截得的劣弧長(zhǎng)為（ ） A. B. C. D. 10．已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為（ ） A. 8　 　　 B. 6　　 　 C. 4　　 　 D.2 11．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 12．設(shè)曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)的方程為，則曲線(xiàn)上到直線(xiàn)距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ） A．1 B.2 C.3 D.4 二．填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分） 13．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是 . 14. 已知：,則的最小值是 . 15. 已知函數(shù)，．若不等式的解集為R，則 的取值范圍是 ． 16．在直角坐標(biāo)系中,橢圓的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸)中,直線(xiàn)與圓的極坐標(biāo)方程分別為與.若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn),且與圓相切,則橢圓的離心率為_(kāi)_______________. 三．解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(本小題滿(mǎn)分12分） 已知點(diǎn)，參數(shù)，點(diǎn)Q在曲線(xiàn)C：上． （1）求點(diǎn)P的軌跡方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程； （2）求點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間距離的最小值． 18． (本小題滿(mǎn)分10分） 已知，不等式的解集為. (1)求; (2)當(dāng)時(shí)，證明：. 19．(本小題滿(mǎn)分12分） 如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)． P B E C D F A （1）證明：； （2）若,求二面角的余弦值． 20．（本小題滿(mǎn)分12分） 小王在某社交網(wǎng)絡(luò)的朋友圈中，向在線(xiàn)的甲、乙、丙隨機(jī)發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個(gè). （Ⅰ）若小王發(fā)放5元的紅包2個(gè)，求甲恰得1個(gè)的概率； （Ⅱ）若小王發(fā)放3個(gè)紅包，其中5元的2個(gè)，10元的1個(gè).記乙所得紅包的總錢(qián)數(shù)為X，求X的分布列和期望. 21．（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)橢圓C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，B為短軸端點(diǎn)，且S△BF1F2＝4，離心率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓C的方程， （Ⅱ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)M,N,且滿(mǎn)足？若存在，求出該圓的方程，若不存在，說(shuō)明理由． 22．（本題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù) （1）當(dāng)求的單調(diào)區(qū)間； （2）＞1時(shí)，求在區(qū)間上的最小值； （3）若使得成立，求的范圍． xx第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試 數(shù)學(xué)（理科）試卷答案 一．選擇題(每小題5分，共12小題，共60分) 1-6．B D C B B B 7-12. D D A C D B 二．填空題(每小題5分，共4小題，共20分) 13．180 14. 15. 16. 三．解答題(共6小題，共70分) 曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為 x+y=9． ………………3分 (2)半圓(x-1)2+y2=1(y≥0)的圓心(1，0)到直線(xiàn)x+y=9的距離為4，因此兩點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離減去圓的半徑。所以｜PQ｜min=4-1． ………………5分 18． 19．解：（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形． 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又，因此． 因?yàn)槠矫?，平面，所以? 而平面，平面且， 所以平面．又平面， 所以． ……………6分 （2）解法一：因?yàn)槠矫?，平面? 所以平面平面． 過(guò)作于，則平面， 過(guò)作于，連接， 則為二面角的平面角， 在中，，，又是的中點(diǎn)，在中，， 又，在中，， 即所求二面角的余弦值為． ……………12分 P B E C D F A y z x 解法二：由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點(diǎn)，所以 ， ，所以． 設(shè)平面的一法向量為， 則因此 取，則，因?yàn)椋?，? 所以平面，故為平面的一法向量．又， 所以． 因?yàn)槎娼菫殇J角，所以所求二面角的余弦值為． ……………12分 20．解：（Ⅰ）設(shè)“甲恰得一個(gè)紅包”為事件A，．……… 4分 （Ⅱ）X的所有可能值為0，5，10，15，20． ， ， ， ， ． ……… 10分 X的分布列： X 0 5 10 15 20 P E(X)＝0＋5＋10＋15＋20＝． ………12分 21．解：（1）因?yàn)闄E圓,由題意得 , ，， 所以解得所以橢圓的方程為 4分 （2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn),因?yàn)?，所以?設(shè)， 當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為，解方程組 得,即, 則△=,即 6分 要使,需,即, 所以,所以又,所以, 所以,即或,直線(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn), 所以圓的半徑為,,, 所求的圓為, 10分 此時(shí)圓的切線(xiàn)都滿(mǎn)足或, 而當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)切線(xiàn)為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn) 為或滿(mǎn)足, 綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓滿(mǎn)足條件． 12分 22．解：（1）當(dāng)定義域 2分 在 4分 （2），令，或 當(dāng)時(shí)， - 0 + 極小值 當(dāng)時(shí)，在 在， 綜上 8分 （3）由題意在區(qū)間上有解,即在上有解 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上有解 令 時(shí)， 時(shí)， 的取值范圍為 12分