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2019-2020年高二數(shù)學下學期第一次月考試題 理(I)
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋
1)時，第一步應驗證不等式( )
A．1＋<2 B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3
2. 由“正三角形的內切圓切于三邊的中點”可類比猜想：“正四面體的內切球切于四個面________．”( )
A．各正三角形內一點 B．各正三角形的某高線上的點
C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某點
3. 不等式a＞b與＞同時成立的充要條件為( )
A．a＞b＞0 B．a＞0＞b
C. ＜＜0 D.＞＞0
4. 下列推理是歸納推理的是( )
A．A，B為定點，動點P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的軌跡為橢圓
B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式
C．由圓x2+y2=r2的面積πr2,猜想出橢圓的面積S=πab
D．科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇
5. 用反證法證明命題時，對結論：“自然數(shù)中至少有一個是偶數(shù)”正確的假設為( )
A．都是奇數(shù) B．都是偶數(shù)
C．中至少有兩個偶數(shù) D．中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)
6. 4. 若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為3x－y＋1＝0，則( )
A．f′(x0)＜0 B．f′(x0)＞0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
7. 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是( )．
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
8. 函數(shù)y＝xe－x，x∈[0,4]的最小值為( )．
A．0 B. C. D.
9. 函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內有極小值點( )．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
10. 函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的函數(shù)圖象可能是( )
11. 已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖像如圖所示，它與x軸相切于原點，且x軸與函數(shù)圖像所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
12. 已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m、n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A．－13 B．－15 C．10 D．15
二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 曲線y＝x3－x＋3在點(1,3)處的切線方程為________．
14. 一同學在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的●的個數(shù)是 。
15. 已知，，試通過計算，，，的值，推測出＝___________.
16. 已知函數(shù)f(x)＝mx3＋nx2的圖象在點(－1,2)處的切線恰好與直線3x＋y＝0平行，若f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調遞減，則實數(shù)t的取值范圍是__________．
三、解答題：解答應寫文字說明，證明過程或演算步驟（共70分）
17. （10分）（1）. 求函數(shù)的極值.
（2）.求由直線和曲線所圍成的圖形的面積.
18. （12分）用分析法證明：若a＞0，則－≥a＋－2.(12分)
19. （12分） 用數(shù)學歸納法證明： 12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
20. （12分） 已知函數(shù)f(x)＝ax2＋blnx在x＝1處有極值.
(1)求a，b的值；
(2)判斷函數(shù)y＝f(x)的單調性并求出單調區(qū)間．
21. （12分）設函數(shù)f(x)＝x－－aln x(a∈R)．
(1)討論f(x)的單調性；
(2)若f(x)有兩個極值點x1和x2，記過點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
22. （12分） 已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝(x－a)2＋(lnx－a)2.
(1)求函數(shù)f(x)在A(1,0)處的切線方程；
(2)若g′(x)在[1，＋∞)上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)證明：g(x)≥.
寧夏育才中學孔德學區(qū)xx-2高二年級月考
數(shù)學 試卷
(試卷滿分 150 分，考試時間為 120 分鐘)
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋1)時，第一步應驗證不等式( )
A．1＋<2 B．1＋＋＜2
C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3
[答案] B
2. 由“正三角形的內切圓切于三邊的中點”可類比猜想：“正四面體的內切球切于四個面________．”( )
A．各正三角形內一點 B．各正三角形的某高線上的點
C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某點
[答案] C
[解析] 正三角形的邊對應正四面體的面，即正三角形表示的側面，所以邊的中點對應的就是正三角形的中心．故選C.
3. 不等式a＞b與＞同時成立的充要條件為( )
A．a＞b＞0 B．a＞0＞b
C. ＜＜0 D.＞＞0
[答案] B
[解析] ???a＞0＞b，故選B.
4. 下列推理是歸納推理的是( )
A．A，B為定點，動點P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的軌跡為橢圓
B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式
C．由圓x2+y2=r2的面積πr2,猜想出橢圓的面積S=πab
D．科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇
【答案】B
5. 用反證法證明命題時，對結論：“自然數(shù)中至少有一個是偶數(shù)”正確的假設為( )
A．都是奇數(shù) B．都是偶數(shù)
C．中至少有兩個偶數(shù) D．中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)
【答案】A
6. 4. 若曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為3x－y＋1＝0，則( )
A．f′(x0)＜0 B．f′(x0)＞0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
答案 B
7. 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是( )．
A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因為函數(shù)有極大值和極小值，
所以f′(x)＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以Δ＝4a2－43(a＋6)＞0，
解得a＜－3或a＞6.
答案 B
8. 函數(shù)y＝xe－x，x∈[0,4]的最小值為( )．
A．0 B. C. D.
解析 y′＝e－x－xe－x＝－e－x(x－1)
y′與y隨x變化情況如下：
x
0
(0,1)
1
(1,4)
4
y′
＋
0
－
y
0
當x＝0時，函數(shù)y＝xe－x取到最小值0.
答案 A
9. 函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內有極小值點( )．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
答案 A
10. 函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的函數(shù)圖象可能是( )
【解析】選B.由圖可得-1＜f′(x)＜1，則切線斜率k∈(-1，1).
11. 已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖像如圖所示，它與x軸相切于原點，且x軸與函數(shù)圖像所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
答案 A
解析 方法一：因為f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函數(shù)f(x)的圖像與x軸相切于原點，所以f′(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．因為函數(shù)f(x)的圖像與x軸所圍成區(qū)域的面積為，所以(－x3＋ax2)dx＝－，所以(－x4＋ax3)＝－，所以a＝－1或a＝1(舍去)，故選A.
方法二：因為f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，函數(shù)f(x)的圖像與x軸相切于原點，所以f′(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2.若a＝0，則f(x)＝－x3，與x軸只有一個交點(0,0)，不符合所給的圖像，排除B；若a＝1，則f(x)＝－x3＋x2＝－x2(x－1)，與x軸有兩個交點(0,0)，(1,0)，不符合所給的圖像，排除C；若a＝－2，則所圍成的面積為－ (－x3－2x2)dx＝(x4＋x3) ＝≠，排除D.故選A.
12. 已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m、n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A．－13 B．－15
C．10 D．15
解析：求導得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函數(shù)f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0，即－34＋2a2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，
f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上單調遞減，在(0,1)上單調遞增，
∴當m∈[－1，1]時，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口向下，且對稱軸為x＝1，∴當n∈[－1,1]時，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值為－13.
答案：A
二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 曲線y＝x3－x＋3在點(1,3)處的切線方程為________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 ∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝312－1＝2.
∴該切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
14. 一同學在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的●的個數(shù)是 。
答案：____14____
15. 已知，，試通過計算，，，的值，推測出＝___________.
答案：
16. 已知函數(shù)f(x)＝mx3＋nx2的圖象在點(－1,2)處的切線恰好與直線3x＋y＝0平行，若f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調遞減，則實數(shù)t的取值范圍是__________．
答案 [－2，－1]
解析 由題意知，點(－1,2)在函數(shù)f(x)的圖象上，
故－m＋n＝2. ①
又f′(x)＝3mx2＋2nx，則f′(－1)＝－3，
故3m－2n＝－3. ②
聯(lián)立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，
令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，
則[t，t＋1]?[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，
所以t∈[－2，－1]．
三、解答題：解答應寫文字說明，證明過程或演算步驟（共70分）
17. （10分）（1）. 求函數(shù)的極值.
（2）.求由直線和曲線所圍成的圖形的面積.
（1）解：.
令，即，解得，.
當變化時，，的變化情況如下表：
0
－
0
?。?
0
＋
/
極小值
因此，當時，有極小值，且.
（2）解：聯(lián)立，得，.
所以，，故所求面積.
18. （12分） 用分析法證明：若a＞0，則－≥a＋－2.(12分)
證明：要證－≥a＋－2，只需證＋2≥a＋＋.
∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（＋2）2≥（a＋＋）2，
只需證a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2（a＋），
只需證≥（a＋），只需證a2＋≥（a2＋＋2），
即證a2＋≥2，它顯然是成立，∴原不等式成立.
19. （12分） 用數(shù)學歸納法證明： 12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
[證明]?、賜＝1時，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立．
②假設n＝k時，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
當n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1時，等式也成立．
由①②得，等式對任何n∈N*都成立．
20. （12分） 已知函數(shù)f(x)＝ax2＋blnx在x＝1處有極值.
(1)求a，b的值；
(2)判斷函數(shù)y＝f(x)的單調性并求出單調區(qū)間．
答案 (1)a＝，b＝1 (2)單調遞減區(qū)間是(0,1)，單調遞增區(qū)間是(1，＋∞)
解析 (1)因為函數(shù)f(x)＝ax2＋blnx，
所以f′(x)＝2ax＋.
又函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，
所以即解得
(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定義域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
極小值
所以函數(shù)y＝f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,1)，單調遞增區(qū)間是(1，＋∞)．
21. （12分）設函數(shù)f(x)＝x－－aln x(a∈R)．
(1)討論f(x)的單調性；
(2)若f(x)有兩個極值點x1和x2，記過點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
思路分析 先求導，通分后發(fā)現(xiàn)f′(x)的符號與a有關，應對a進行分類，依據(jù)方程的判別式來分類．
解析 (1)f(x)的定義域為(0，＋∞)．
f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋1，其判別式Δ＝a2－4.
①當|a|≤2時，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
②當a＜－2時，Δ＞0，g(x)＝0的兩根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
③當a＞2時，Δ＞0，g(x)＝0的兩根為x1＝，
x2＝.
當0＜x＜x1時，f′(x)＞0，當x1＜x＜x2時，f′(x)＜0；
當x＞x2時，f′(x)＞0.故f(x)分別在(0，x1)，(x2，＋∞)上單調遞增，在(x1，x2)上單調遞減．
(2)由(1)知，a＞2.
因為f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝＝1＋－a.
又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a.
若存在a，使得k＝2－a，則＝1.
即ln x1－ln x2＝x1－x2.
由x1x2＝1得x2－－2ln x2＝0(x2＞1)．(*)
再由(1)知，函數(shù)h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上單調遞增，而x2＞1，所以x2－－2ln x2＞1－－2 ln 1＝0.這與(*)式矛盾．
故不存在a，使得k＝2－a.
22. （12分） 已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝(x－a)2＋(lnx－a)2.
(1)求函數(shù)f(x)在A(1,0)處的切線方程；
(2)若g′(x)在[1，＋∞)上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)證明：g(x)≥.
答案 (1)y＝x－1 (2)a≥－2 (3)略
解析 (1)因為f′(x)＝，所以f′(1)＝1.
故切線方程為y＝x－1.
(2)g′(x)＝2(x－＋－a)，
令F(x)＝x－＋－a，則y＝F(x)在[1，＋∞)上單調遞增．
F′(x)＝，則當x≥1時，x2－lnx＋a＋1≥0恒成立，
即當x≥1時，a≥－x2＋lnx－1恒成立．
令G(x)＝－x2＋lnx－1，則當x≥1時，G′(x)＝<0，
故G(x)＝－x2＋lnx－1在[1，＋∞)上單調遞減．
從而G(x)max＝G(1)＝－2.
故a≥G(x)max＝－2.
(3)證明：g(x)＝(x－a)2＋(lnx－a)2
＝2a2－2(x＋lnx)a＋x2＋ln2x，
令h(a)＝2a2－2(x＋lnx)a＋x2＋ln2x，則h(a)≥.
令Q(x)＝x－lnx，則Q′(x)＝1－＝，顯然Q(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，
則Q(x)min＝Q(1)＝1.
則g(x)＝h(a)≥.
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