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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題05 平面向量（含解析） 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1. 向量加法：利用“平行四邊形法則”或“三角形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量. 2. 向量的減法：用“三角形法則”，要注意：減向量與被減向量的起點(diǎn)相同. 3. 向量平移具有坐標(biāo)不變性，相等向量的坐標(biāo)是一樣的. 4. 相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等. 5. 兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合. 6. 平行向量無“傳遞性”（因?yàn)橛?. 7. 三點(diǎn)A、B、C共線 共線. 8. 當(dāng)判定兩個(gè)向量的關(guān)系時(shí)，特別注意以下兩種特殊情況： (1)零向量的方向及與其他向量的關(guān)系； (2)單位向量的長(zhǎng)度及方向． 9.已知，判斷兩向量平行和垂直的充要條件容易混淆.應(yīng)為 ， ，使用時(shí)要注意區(qū)分清楚． 【講一講提高技能】 1.必備技能：（1）向量的基本概念是向量的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意不要把向量與實(shí)數(shù)盲目類比；向量的運(yùn)算包括兩種形式：(1)向量式；(2)坐標(biāo)式；在學(xué)習(xí)時(shí)要學(xué)會(huì)靈活選用，解題時(shí)應(yīng)善于將向量用一組基底（不共線向量）來表示，要會(huì)應(yīng)用向量共線、垂直的充要條件來解題. （2）平面向量基本定理是向量坐標(biāo)形式表示的理論基礎(chǔ)，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考的重點(diǎn)，通?？疾閮蓚€(gè)向量平行、垂直的位置關(guān)系；另外平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，在解析幾何、三角函數(shù)中出現(xiàn)較多. （3）在中，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，應(yīng)作為公式記?。? （4） 在一般向量的線性運(yùn)算中，只要把其中的一個(gè)向量當(dāng)作一個(gè)字母看待即可．其運(yùn)算方法類似于合并同類項(xiàng)，在計(jì)算時(shí)可進(jìn)行類比． 2.典型例題： 例1．設(shè)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：因?yàn)槭撬谄矫鎯?nèi)一點(diǎn)， ，所以P是AC的中點(diǎn)，則. 例2下列各組平面向量中，可以作為基底的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】 例3在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，且. （1） 若，求； （2）用表示，并求的最大值. 分析：（1）由，且，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而求出的值； （2）因?yàn)?，所以，即，兩式相減得： 令，點(diǎn)在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值1，故的最大值為1. 【解析】： 【練一練提升能力】 1.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若 ()，則=. 【答案】4 【解析】 以向量的交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系， 則， 由，得，即解得，. 2.已知點(diǎn),則與向量同方向的單位向量為 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 3. 在平行四邊形中，為一條對(duì)角線，，，則＝（ ） A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1） 【答案】C． 【解析】 試題分析：． 平面向量的數(shù)量積 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1. 數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量. 2.向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)相關(guān)概念的區(qū)別： (1)表示方法的區(qū)別:數(shù)量積的記號(hào)是，不能寫成，也不能寫成. (2)相關(guān)概念及運(yùn)算的區(qū)別： ①若為實(shí)數(shù)，且，則有或，但卻不能得出或. ③若，則(結(jié)合律)成立，但對(duì)于向量，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律． ④若，則，但對(duì)于向量，卻有，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立． 3.設(shè)兩個(gè)非零向量，，其夾角為，則： ①； ②當(dāng)，同向時(shí)，＝，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，＝－；當(dāng)為銳角時(shí)，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件； 4.數(shù)量積的運(yùn)算要注意： （1）時(shí)，，但時(shí)不能得得到或，因?yàn)闀r(shí)，也有. （2）若，則；但對(duì)于向量，就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量滿足 ()，則不一定有，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量． （3）平面向量的數(shù)量積有定義式和坐標(biāo)運(yùn)算，應(yīng)注意靈活選擇計(jì)算方法. 【講一講提高技能】 1.必備技能：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)； （2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即. （3）已知非零向量 則有，是非常重要的性質(zhì)，它是解決平面幾何中有關(guān)垂直問題的有力工具，應(yīng)熟練掌握． 2.典型例題： 例1如圖在平行四邊形中，已知，，則的值是 . A D C B P 分析：利用平面向量的線性運(yùn)算法則，及，建立的方程，進(jìn)一步求解. 解析：由題意，，， 所以， 即，解得． 例2在邊長(zhǎng)為的等邊中，分別在邊BC與AC上，且， 則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 例3已知向量與的夾角為，且，若，且，則實(shí)數(shù)的值為_____. 分析：注意到題目中給出了向量與的夾角為，且，所以應(yīng)注意應(yīng)用平面向量數(shù)量積的定義式，并應(yīng)用向量垂直的充要條件. 把轉(zhuǎn)化為的形式，為應(yīng)用及提供了熟悉的解題途徑. 解析：由得 所以 【練一練提升能力】 1.已知向量則 A．2或3 B．－1或6 C．6 D．2 【答案】D 【解析】 試題分析：由得 2. 設(shè)向量滿足，，則（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 試題分析：由已知得，，，兩式相減得，，故． 平面向量的長(zhǎng)度與角度問題 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍是[]． 2.的幾何意義：等于的長(zhǎng)度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積. 在方向上的投影是一個(gè)數(shù)量||cosθ，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為0. 3.在中，與的夾角不是而是其補(bǔ)角． 【講一講提高技能】 1.必備技能： （1）利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度與角度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法： 設(shè)，基本公式為： ||＝， cos〈〉＝. 另外=，，是實(shí)現(xiàn)向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化的有力工具. （2）已知與為不共線向量，且與的夾角為θ，則 ① ； ② ； ③ . 特別的：在利用兩向量的夾角公式判斷夾角的取值范圍時(shí)，要注意兩向量是否共線． 2.典型例題： 例1若平面向量，滿足，，，則與的夾角是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 例2平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則 . 分析：利用公式〈〉＝，將與、 與的夾角余弦用表示出來，建立方程即得. 解析：由題意得： 【練一練提升能力】 1.已知非零向量滿足，且，則與的夾角是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】 試題分析：因?yàn)?，所以，所以，又，所以，故選C. 2. 已知向量，.若向量的夾角為，則實(shí)數(shù)=（ ） （A） （B） （C）0 （D） 【答案】 【解析】因?yàn)樗越獾?，故選. （一） 選擇題（12*5=60分） 1.已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，邊的中點(diǎn)為，若，其中，則點(diǎn)一定在（ ） A．邊所在的直線上 B．邊所在的直線上 C．邊所在的直線上 D．的內(nèi)部 【答案】C 【解析】 2.已知與為互相垂直的單位向量，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】需滿足：且不共線.由；當(dāng)共線時(shí)得，因此. 3.已知向量，，則與夾角的余弦值為( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得，所以，，，所以. 4.已知平面向量，，且，則實(shí)數(shù)的值等于（ ） A．2或 C．－2或 B． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：因?yàn)?，則，解得或，故選B． 5.設(shè)、都是非零向量,下列四個(gè)條件中,一定能使成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 6.已知向量，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：設(shè)．因?yàn)?，所以由向量的加法及?shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得，解得．故選A． 7.設(shè),且,則銳角為 A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】因?yàn)?.所以.即.又因?yàn)闉殇J角.所以.所以.本題主要考察向量的平行知識(shí)，通過向量平行的坐標(biāo)公式來求解.本提較基礎(chǔ). 8.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則＝（ ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【解析】 9.正三角形內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 10.若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足，則△ABC的形狀為（ ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】因?yàn)椋? 即， 所以是等腰三角形，選C. 11.已知為內(nèi)一點(diǎn)，滿足, ,且,則的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：為三角形的重心，由得， 所以的面積為 12.在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)滿足，則點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積是（） A． B． C． D． 【答案】D （二）填空題（4*5=20分） 13.已知向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)的值是 ． 【答案】 【解析】 試題分析：， ，又共線，則 ,即：； 14.在四邊形中， ，，則四邊形的面積是__________． 【答案】 【解析】 15.在中，，，，則 . 【答案】. 【解析】，即，所以，. 故答案為. 16.已知中，若為的重心，則 ． 【答案】4 【解析】∵中，∴， ∵為的重心，∴， 又∵， ∴， 故答案為4.