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2019-2020年高考數(shù)學專題復習導練測 第四章 第2講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式 理 新人教A版 一、選擇題 1． cos＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析 cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－，故選C. 答案 C 2．已知tan θ＝2，則sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝ (　　)． A．－ B. C．－ D. 解析　由于tan θ＝2，則sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝＝＝. 答案　D 3．若＝，則tan 2α＝ (　　)． A．－ B. C．－ D. 解析　由＝，得＝，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝＝. 答案　B 4．已知f(cos x)＝cos 3x，則f(sin 30)的值為(　　)． A．0 B．1 C．－1 D. 解析　∵f(cos x)＝cos 3x， ∴f(sin 30)＝f(cos 60)＝cos 180＝－1. 答案　C 5．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩根，則m的值為(　　)． A．1＋ B．1－ C．1 D．－1－ 解析　由題意知：sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝， 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴＝1＋， 解得：m＝1，又Δ＝4m2－16m≥0， ∴m≤0或m≥4，∴m＝1－. 答案　B 6．若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N*)，則在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是 (　　)． A．16 B．72 C．86 D．100 解析　由sin ＝－sin ，sin ＝－sin ，…，sin ＝－sin ，sin ＝sin ＝0，所以S13＝S14＝0. 同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14個，所以在S1，S2，…，S100中，其余各項均大于0，個數(shù)是100－14＝86(個)．故選C. 答案　C 二、填空題 7．已知cosα＝－，且α是第二象限的角，則tan(2π－α)＝________. 解析 由α是第二象限的角，得sinα＝＝，tanα＝＝－，則tan(2π－α)＝－tanα＝. 答案 8．已知α為第二象限角，則cos α＋sin α＝________. 解析 原式＝cos α＋sin α ＝cos α＋sin α ＝cos α＋sin α＝0. 答案 0 9．已知sin α＝＋cos α，且α∈，則的值為________． 解析　依題意得sin α－cos α＝，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋2＝2，故(sin α＋cos α)2＝；又α∈，因此有sin α＋cos α＝，所以＝＝－(sin α＋cos α)＝－. 答案　－ 10． f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β均為非零實數(shù))，若f(2 012)＝6，則f(2 013)＝________. 解析　f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4＝6，∴asin α＋bcos β＝2，∴f(2 013)＝asin(2 013π＋α)＋bcos(2 013π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝2. 答案　2 三、解答題 11．已知＝3＋2， 求cos2(π－α)＋sin cos ＋2sin2(α－π)的值． 解析 由已知得＝3＋2， ∴tan α＝＝＝. ∴cos2(π－α)＋sin cos ＋2sin2(α－π) ＝cos2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin2α ＝cos2α＋sin αcos α＋2sin2α ＝ ＝ ＝＝. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值： (1)；(2)sin2α＋sin 2α. 解　法一　由sin(3π＋α)＝2sin，得tan α＝2. (1)原式＝＝＝－. (2)原式＝sin2α＋2sin αcos α＝ ＝＝. 法二　由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝＝－. (2)原式＝＝＝. 13．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由． 解　假設存在角α，β滿足條件， 則由已知條件可得 由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2. ∴sin2α＝，∴sin α＝.∵α∈，∴α＝. 當α＝時，由②式知cos β＝， 又β∈(0，π)，∴β＝，此時①式成立； 當α＝－時，由②式知cos β＝， 又β∈(0，π)，∴β＝，此時①式不成立，故舍去． ∴存在α＝，β＝滿足條件． 14．已知函數(shù)f(x)＝tan. (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)設α∈，若f＝2cos 2α，求α的大?。? 解　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.所以f(x)的定義域為，f(x)的最小正周期為. (2)由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α， ＝2(cos2α－sin2α)， 整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因為α∈，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝. 由α∈，得2α∈.所以2α＝，即α＝.