求不定積分的幾種基本方法.ppt
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5.2 求不定積分的幾種基本方法,一、 第一類換元法(湊微分法),.,先看下例:,例1 求,解,設(shè),則,一般地,如果,是,的一個原函數(shù),則,而如果,又是另一個變量,的函數(shù),且,可微,那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法,有,由此得,是具有原函數(shù),于是有如下定理:,定理1 設(shè),可導(dǎo),則,有換元公式,(5-2),由此可見,一般地,如果積分,不能直接,利用利用基本積分公式計算,而其被積表達(dá)式,能表示為,的形式,且,較易計算,那么可令,代入后有,這樣就得到了,的原函數(shù).這種積分稱為第一類換元法.,由于在積分過程中,先要從被積表達(dá)式中湊出一個積分,因子,因此第一類換元法也稱為湊微分法.,例2 求,解,再以,代入,即得,例3 求,解 被積函數(shù),可看成,與,構(gòu)成的復(fù)合,函數(shù),雖沒有,這個因子,但我們可以湊出這個因子:,,,如果令,便有,,,一般地,對于積分,總可以作變量代換,,把它化為,,,例4 求,解 令,則,,,例5 求,解 令,則,有,湊微分與換元的目的是為了便于利用基本積分公式在,比較熟悉換元法后就可以略去設(shè)中間變量和換元的步驟,例7 求,例6 求,解,解,解,例8 求,例9 求,解,類似地可得,例10 求,解,例11 求,解,類似地可得,類似地可得,例12 求,解,例13 求,解,第一類換元法有如下幾種常見的湊微分形式:,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),二、 第二類換元法,第一類換元法是通過變量代換,,將積分,化為積分,第二類換元法是通,過變量代換,,將積分,化為積分,在求出后一個積分后,再以,反函數(shù),代回去,這樣換元積分公式可表示為:,上述公式的成立是需要一定條件的,首先等式右邊,的不定積分要存在,即被積函數(shù),的,有原函數(shù);其次,的反函數(shù),要存在.我們有下面的定理,定理2 設(shè)函數(shù),連續(xù),單調(diào)、可導(dǎo),并且,,則有換元公式,(5-3),下面舉例說明公式(5-3)的應(yīng)用,例14 求,解 遇到根式中是一次多項式時,可先通過適當(dāng)?shù)膿Q,元將被積函數(shù)有理化,然后再積分,令,則,,故,例15 求,解 令,,則,則有,例16 求,解 為使被積函數(shù)有理化利用三角公式,令,則它是,的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),,具有反函數(shù),且,因而,例17 求,解 令,則,于是,其中,例18 求,解 被積函數(shù)的定義域為,令,,這時,故,其中,當(dāng),時,可令,類似地可得到相同形式的結(jié)果,以上三例中所作的變換均利用了三角恒等式,稱之為,三角代換,可將將被積函數(shù)中的無理因式化為三角函數(shù),的有理因式一般地,若被積函數(shù)中含有,時,可,作代換,或,;含有,時,可作,代換,;含有,時,可作代換,利用第二類換元法求不定積分時,還經(jīng)常用到倒代換,即,等,例19 求,解 令,則,因此,當(dāng),時,,有,當(dāng),時,,有,綜合起來,得,在本節(jié)的例題中,有幾個積分結(jié)果是以后經(jīng)常會遇到,的所以它們通常也被當(dāng)作公式使用這樣,常用的積分,公式,除了基本積分表中的以外,再添加下面幾個(其中,常數(shù)a0).,(14),(15),(16),(17),(18),(19),(20),(21),例20 求,解,利用公式(18),可得,例21 求,解,利用公式(21),可得,三 分部積分法,.,一、 分部積分公式的推導(dǎo),思考:,諸如此類的不定積分,用換元積分法都不能求解,特點(diǎn): 被積函數(shù)是兩種不同類型的函數(shù)的乘積.,需要用到求不定積分的另一種基本方法分部積分法,設(shè)函數(shù),及,具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)那么,,移項,得,對這個等式兩邊求不定積分,得,(5-4),公式(5-4)稱為分部積分公式.,如果積分,不易求,而積分,比較容易時,分部積分公式就可用了.,為簡便起見,也可把公式(5-4)寫成下面的形式:,(5-5),現(xiàn)在通過例子說明如何運(yùn)用這個重要公式.,例22 求,解 由于被積函數(shù),是兩個函數(shù)的乘積,選其中一,那么另一個即為,如果選擇,則,個為,得,如果選擇,則,得,上式右端的積分比原積分更不容易求出,由此可見,如果,和,選取不當(dāng),就求不出結(jié)果,所以應(yīng)用分部積分法時,恰當(dāng)選取,和,是關(guān)鍵,,一般以,比,易求出為原則,例23 求,解,例24 求,解,由上面的三個例子知道,如果被積函數(shù)是指數(shù)為正整,數(shù)的冪函數(shù)和三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮,用分部積分法,并選擇冪函數(shù)為,經(jīng)過一次積分,就,可以使冪函數(shù)的次數(shù)降低一次,例25 求,解,例26,求,解,例27 求,解,總結(jié)上面四個例子可以知道,如果被積函數(shù)是冪函數(shù),和反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮用分部積分,法,并選擇反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為,一般地,如果被積函數(shù)是兩類基本初等函數(shù)的乘積,在多數(shù)情況下,可按下列順序: 反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、,冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù),將排在前面的那類函,數(shù)選作,,后面的那類函數(shù)選作,下面兩例中使用的方法也是比較典型的.,例28 求,解,等式右端的積分與原積分相同,把它移到左邊與原積分,合并,可得,例29 求,解,所以,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 不定積分 基本 方法
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