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2019-2020年高中數學《空間向量的坐標運算》說課稿 新人教A版 各位評委、老師：大家好! 我是來自南安一中的數學教師，很榮幸能夠參加此次的說課活動，希望各位評委、老師對我的說課內容提出寶貴意見． 今天我說課的題目是《空間向量的坐標運算》，下面我將從教材分析、學生情況、教學目標、教學方法、教學過程和教學設計說明六個方面來介紹我對本節(jié)課的教學設想. 一、教材分析 1.地位和作用 空間向量的坐標運算是在學生學習了空間向量幾何形式及其運算、空間向量基本定理的基礎上進一步學習的知識內容．是平面向量坐標運算及其研究方法在空間的推廣和拓展,溝通了代數與幾何的關系，豐富了學生的認知結構．為學生學習立體幾何提供了新的視角、新的觀點和新的方法，給學生的思維開發(fā)提供了更加廣闊的空間．為運用向量坐標運算解決立體幾何問題奠定了知識和方法基礎． 2.教學結構的調整 在教學中我對教材做了適當的調整：第一節(jié)，用類比的方式探索新知識，并作簡單的應用；第二節(jié)，例題講解、習題處理．今天我的說課內容是調整后的第一課時． 3.重點、難點 教學重點：空間坐標系、空間向量的坐標運算規(guī)律、距離和夾角公式． 教學難點：空間向量坐標的確定． 二、學生情況 本課的學習對象高二學生,他們已掌握了平面向量坐標運算及規(guī)律，并學會了空間向量的幾何形式及其運算；數學基礎較為扎實，學習上具備了一定觀察、分析、解決問題的能力，但在探究問題的內部聯系和內在發(fā)展上還有所欠缺.所以通過教師的引導,學生的自主探索,不斷地完善自我的認知結構. 三、教學目標 1.知識教學點: 掌握空間右手直角坐標系、空間向量的坐標運算規(guī)律，平行向量與垂直向量坐標之間的關系、距離與夾角公式． 2.能力培養(yǎng)點:通過空間坐標系的建立和空間向量坐標運算規(guī)律的探索，發(fā)展學生的空間想象能力、探究能力，進一步熟悉類比、由一般到特殊、由直覺猜想到推理論證等思維方法，提高學生的科學思維素養(yǎng)． 3.德育滲透點:通過教師的引導、學生探究，激發(fā)學生求知欲望和學習興趣，使學生經歷數學思維全過程，品嘗到成功的喜悅． 四、教學方法 本節(jié)課我將采用了“啟發(fā)探究”和“類比”的教學方法，根據本課教材的特點和學生的實際情況在教學中重點突出以下兩點：(1)由教材的特點確立類比思維為教學的主線．(2)由學生的特點確立自主探索式的學習方法． 在教學中通過創(chuàng)設問題情境，啟發(fā)引導學生運用科學的思維方法進行自主探索．將學生的獨立思考、自主探究、交流討論等探索活動貫穿于課堂教學的全過程，突出學生的主體地位． 除使用常規(guī)的教學手段外，還將使用多媒體投影和計算機來輔助教學．多媒體投影為師生的交流和討論提供了平臺；計算機演示則有助于提高學生的空間想象能力和幫助他們化解難點. 五、教學過程 啟 思 演 結 練 教學 環(huán)節(jié) 教 學 程 序 設 計 意 圖 啟 啟 | | | 創(chuàng) 設 情 境 ， 引 出 課 題 問題的提出：在正方體的同一個面內任取兩點，如何求出這兩點間的距離？請同學積極思考并列出求解步驟． 學生回答： （1）可用尺子直接測量出來． （2）建立直角坐標系，求出A、 B兩點坐標，再利用距離公式求出． （3）在上述直角坐標系的基礎之上， 求A、B兩點的坐標，求出，再求其模長． 教師點評：（1）數學上的AB距離是指它們之間的精確長度，若直接測量誤差會偏大．那么(2)與(3)兩種求法有沒有內在的聯系呢？ 其實平面兩點間距離的坐標公式就是平面向量的模長推導出來的，所以(2)的方法實際就是建立在(3)的基礎之上的，所以分析問題應該抓住其主要的根源入手． 那么我們就請同學們說說方法(3)的具體操作步驟是什么？教師點評后總結： （1）確定理論依據——平面向量的基本定理. （2）建立平面坐標系:在平面內任取一點O 和一組不共線的向量為基底，建立坐標系XOY；為了簡化運算，特殊地，取一組正交的單位基底，和任意一點O建立直角坐標系XOY. （3）確定M、N點的坐標：分別把、投影到X軸和Y軸上（由二維到一維），即用，來線性表示、，并由平面向量的基本定理可知，這種線性表示是唯一的.因此平面向量與二維坐標之間建立了一一對應的關系. ， （4）求向量: （5）求的模長： 問題的延伸：在正方體的不同面上任取兩點，如何求出這兩點間的距離？根據上述情況，請同學們通過類比,提出解決的方案． 從實際問題引入，使學生了解數學來源于實際。同時教具的輔助作用，使新課的引入顯得生動自然、易于接受. 把實際問題抽象成數學模型是學生形成和掌握概念的前提，也是培養(yǎng)學生觀察分析能力的重要一步. 通過動畫的演示讓學生直觀地認識到把向量投影到坐標軸上,體會從二維到一維的轉化過程. 通過平面兩間距離公式的推導讓學生回顧平面直角坐標系的建立方法及平面向量坐標運算及其規(guī)律. 通過類比使學生能較深刻地把握概念的本質。容易聯想到類比,激發(fā)學生的探索欲望，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。 思 | | | 啟 發(fā) 思 考 ， 自 主 探 究 思 將學生分為四人一小組進行討論， 讓他們自主地提出解決的可行性方案．教師在學生討論設計方案的同時，深入學生當中，了解學生的設計過程，并給予個別指導和訂正． 在學生展示交流后，教師給予以下明確的操作過程： P O Q （1）確定理論依據：空間向量基本定理（即：如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組使．） （2）建立空間坐標系: 在空間中任取一點O和一組不共面的向量為基底，建立空間 坐標系O-XYZ；為了簡化 運算，特殊地，選取空間內任意一點O和一組單位正交基底、、建立空間直角坐標系O-XYZ. 本例以為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸正方向上的單位向量，建立空間直角坐標系. （3）確定M、N點的坐標：把投影到坐標平面XOY上（由三維到二維），再進一步把投影到坐標方向上（二維到一維）.從而把以為基底進行分解，并同空間向量的基本定理可知，這種線性表示是唯一的，因此空向量與三維坐標之間建立了一一對應的關系. 同理可求出： （4）求向量： （5）求模長： 給學生提供自主活動的空間，讓主體主動構建自己的認知結構，充分體現了學生的主體地位和教師的主導作用。讓學生在自主探索、自由想象和合作交流的過程中，充分感受到成功與失敗的情感體驗，發(fā)現事物發(fā)展的內在聯系即二維平面幾何過渡到三維空間幾何,深刻地領悟到轉化的數學思想在解決問題中所起的重要作用。同時又培養(yǎng)了學生的空間想象能力、邏輯思維能力和樂于探索，大膽創(chuàng)新的科學精神。 由于不同的人對同一個問題有不同的體驗和理解。通過交流和協(xié)作,人們可以得到相互啟發(fā)，從而不斷完善自己的認知結構。 借助于課件演示空間直角坐標系的建立，空間向量的坐標確定來提高學生的空間想象能力，對教學上的難點進行化解，讓學生對教學重點有一個清晰的認識. 在教學活動中，適時地用激勵性評語給學生予充分的肯定，為學生今后的學習打下良好的心理基礎。 演 | | | 知 識 演 練 ， 擴 充 推 廣 演 | | | 知 識 演 練 ， 擴 充 推 廣 例：在邊長為1的正方體中，M、N分別是平面和平面的中心，求MN的距離. 解：以D為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸正方向上的單位向量，建立空間直角坐標系D-XYZ，則 = = 推廣：請根據平面向量的坐標運算規(guī)律，填寫下表： 平面向量 空間向量 坐標 運算 距離 公式 夾角 公式 平行 垂直 在上面表格的填寫過程中，只是一種直觀的猜測，接下來我們應當給予嚴格的邏輯推理過程。 證明一：∵ ， ∴ 證明二：空間向量的數量積的公式證明： ∵ 把上述的問題進行量化,演變?yōu)橐坏览}，讓學生體會從實物到純數學的一個數學建模過程;并以此突出重點與難點，強化學生對知識點的掌握. 教學中引導學生大膽地“由舊猜新”即由平面向量的公式猜想出空間向量相應的公式，讓學生在猜想的過程發(fā)現從二維到三維的內在聯系，并根據學生的實際情況進行有針對性的指導，對普遍出現的問題組織全班性的討論． 猜想只是直覺上的感知，不一定都是正確的，接下來引導學生對猜想進行嚴格的邏輯推理過程.讓學生學會事物發(fā)展的內在動力并非人為主觀性而是客觀存在的規(guī)律. 證明之前引導學生分析公式之間的內在聯系，使學生認識到空間向量的線性運算比較簡單，而夾角公式、距離公式、垂直的充要條件均由向量的數量積公式推出，因此抓住問題的主要矛盾，著重證明空間向量的數量積公式. 練 練習：長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,點E、F、G分別是DD1、AB、CC1 的中點，則異面直線A1E 與GF所成的角是( ) A、 B、 C、 D、 通過一道高考題,讓學生與高考進行一次“親密的接觸”,并檢測學生對本節(jié)課的掌握情況，加深對知識內容的記憶. 結 | | | 梳 理 知 識 , 構 建 網 絡 （1）回顧求解空間兩點間距離的五個步驟： ①確定理論依據②建立空間坐標系③確定M、N點的坐標 ④求向量⑤求模長 幾何形式 坐標形式 幾何運算 坐標運算 幾何問題 代數問題 空間向量基本定理 空間直角坐標 空間直角坐標 空間直角坐標 （2）通過空間直角坐標系的建立，實現了空間向量幾何形式與代數形式的轉化，可以將空間向量的運算轉化為坐標運算，在此基礎上實現了立體幾何問題向代數問題的轉化．其次是引導學生應用類比思維記憶空間向量坐標運算規(guī)律、夾角和距離公式． 學生的體會是多方位的，多角度的，所以小結主要是把學生在本節(jié)課在知識技能等方面形成過程中，用到的技能和數學思想方法進行小結，從而學生對本節(jié)有一個整體的把握。 將學生的思維激活，激發(fā)引導學生會大膽的想象，思維的發(fā)散是形成知識的網絡化的有效途徑。從而使學生從二維提升到三維，從幾何問題到代數問題的轉化都有一個較為明確的知識網結. 作業(yè)布置: (1)梳理知識點,整理課堂筆記． (2)書面作業(yè):P39 練習10，P42習題9． (3)選做題:棱長為的正方體中,、分別是的中點，求和點到直線的距離. 作業(yè)布置注意分層，滿足不同層次學生的需要. 六、教學設計說明 本節(jié)課力求體現的教學特色有3個: ①以問題為教學線索:問題是數學的心臟,本課教學終始以問題的解決為線索.在教師的引導下,使學生的思維從問題開始由問題深化. ②以學生為課堂主體:重視學生的自主參與能力,重視學生探究能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng),激勵學生積極思維,大膽思考, 動手實踐 ③以類比為教學方法:在學生原有的知識體系上,通過類比逐步引導學生從平面向量向空間向量的過渡,發(fā)現兩者之間的內在聯系,并通過類比方式強化空間向量坐標運算及其規(guī)律. 附:板書設計 9.6空間向量的坐標運算 平面兩點距離推 導的五個步驟： ① ② ③ ④ ⑤ 空間兩點距離推 導的五個步驟： ① ② ③ ④ ⑤ 例題：********** 練習：**********