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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(VI) 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。每小題各有四個選擇支，僅有一個選擇支正確。請用2B鉛筆把答題卡中所選答案的標(biāo)號涂黑。） 1．復(fù)數(shù)= （ ） A． B． C．0 D． 2.一個物體的運(yùn)動方程為其中的單位是米,的單位是秒,那么物體，在秒末的瞬時速度是（ ）米/秒 A．2 B．4 C.6 D.8 3. 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A． B． C． D． 4．若，則的值為(　　) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2. 5. 在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，則當(dāng)時左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上的項是（ ） A． B． C． D． 6.在彈性限度內(nèi)，彈簧所受的壓縮力與縮短的距離按 胡克定律計算.今有一彈簧原長，每壓縮需的壓縮力，若把這根彈簧從壓縮至（在彈性限度內(nèi)），外力克服彈簧的彈力做了（ ）功（單位：） A. B. C.0.686 D.0.98 7.直線與曲線相切于點（2,3），則的值為（ ） A.-3 B.9 C.-15 D.-7 8.已知，觀察下列各式：，，，．．．，類比有(),則( ) A． B． C． D． 9．下列說法正確的有幾個（ ） （1）回歸直線過樣本點的中心； （2）線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點，，中的一個點； （3）在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越寬，其模型擬合的精度越高； （4）在回歸分析中，為0.98的模型比為0.80的模型擬合的效果好. A.1 B.2 C.3 D. 4 10.已知實數(shù)a，b滿足≤a≤1，≤b≤1，則函數(shù)y＝x3－ax2＋bx＋5有極值的概率為(　　) A. B. C. D. 11. 定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x),且f(x)圖像連續(xù),當(dāng)x≠0時, ,則函數(shù)的零點的個數(shù)為（　?。? A.1 B.2 C.0 D.0或2 12. 對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”。某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心。設(shè)函數(shù)，則=( ) A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請把答案填在答題卡中相應(yīng)的位置上。） O -2 4 1 -1 -2 1 2 11.若是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為_______ 12.觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此規(guī)律，第7個等式為 。 13.如右圖，是定義域為R的函數(shù)的圖象，是 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為 14.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且時，函數(shù)取極值1;若對任意的，均有 成立，則s的最小值為__________ 三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。） 15．（本小題10分） 已知函數(shù) ⑴求的最小正周期及對稱中心; ⑵若,求的最大值和最小值. 16.(本小題滿分10分) 在等差數(shù)列中，，其前項和為，等比數(shù)列 的各項均為正數(shù)，，公比為，且，. （1）求與； （2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項和. 17．（本小題滿分12分） （第17題） 如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，，，面，設(shè)為中點，點在線段上且． （1）求證：平面； （2）設(shè)二面角的大小為， 若，求的長． 18. （本小題滿分12分） 一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1，2，3，4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為x1，x2，記X＝(x1－3)2+(x2－3)2． (1)分別求出X取得最大值和最小值時的概率； (2)求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 19.（本小題滿分12分） 已知橢圓的右焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，O為坐標(biāo)原點． （1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)經(jīng)過點M（0，2）作直線A B交橢圓C于A、B兩點，求△AOB面積的最大值 20．（本小題滿分14分） 已知， ，，其中是無理數(shù)且，. （1）若，求的單調(diào)區(qū)間與極值； （2）求證：在（1）的條件下，； （3）是否存在實數(shù)，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由. 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C A D A C D B C C B 11.___1__ 12. 13. 14. 15.解:⑴ ∴的最小正周期為, 令,則, ∴的對稱中心為; ⑵∵ ∴ ∴ ∴ ∴當(dāng)時,的最小值為;當(dāng)時,的最大值為 16.解（1）設(shè)的公差為. 因為所以……………………3分 解得 或（舍），.……………………5分 （2）由（1）可知，，……………………8分 所以. 故 17.解：（Ⅰ）由，得，． 又面，所以以分別為軸建立坐標(biāo)系如圖． 則 設(shè)，則 ． 設(shè)，得： ． 解得：，，， 所以． ……..5分 所以,，． 設(shè)面的法向量為，則，?。? 因為，且面，所以平面． ……..9分 （Ⅱ）設(shè)面法向量為， 因為，， 所以，取 ． …….. 11分 由，得． ，，所以． ….解：（Ⅰ）設(shè)，則，知. 18.解：(1)擲出點數(shù)x可能是：1，2，3，4.則x－3分別得：－2，－1，0，1.于是(x－3)2的所有取值分別為：0，1，4. 因此X的所有取值為0，1，2，4，5，8. 當(dāng)x1＝1且x2＝1時，X＝(x1－3)2＋(x2－3)2可取得最大值8，P(X＝8)＝＝. 當(dāng)x1＝3且x2＝3時，X＝(x1－3)2＋(x2－3)2可取得最小值0， P(X＝0)＝＝.……………4分 (2)由(1)知X的所有取值為0，1，2，4，5，8. ……………5分 P(X＝0)＝P(X＝8)＝； 當(dāng)X＝1時，(x1，x2)的所有取值為(2，3)，(4，3)，(3，2)，(3，4)， 即P(X＝1)＝＝； 當(dāng)X＝2時，(x1，x2)的所有取值為(2，2)，(4，4)，(4，2)，(2，4)， 即P(X＝2)＝＝； 當(dāng)X＝4時，(x1，x2)的所有取值為(1，3)，(3，1)， 即P(X＝4)＝＝； 當(dāng)X＝5時，(x1，x2)的所有取值為(2，1)，(1，4)，(1，2)，(4，1)， 即P(X＝5)＝＝. 所以X的分布列為 0 1 2 4 5 8 19.過點且與軸垂直的直線方程為，代入橢圓方程，有 ，解得. 于是，解得. 又，從而. 所以橢圓的方程為． …………………………………（4分） （Ⅱ）設(shè)，.由題意可設(shè)直線的方程為. 由消去并整理，得. 由，得. 由韋達(dá)定理，得. 點到直線的距離為，， . 設(shè)，由，知. 于是. 由，得.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立. 所以△面積的最大值為 20.解：（1）當(dāng)a=1時，，， （1分） 令，得x=1. 當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減； （2分） 當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增. （3分） 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，e），的極小值為. （4分） （2）由（1）知在上的最小值為1. （5分） 令，，所以. （6分） 當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增， （7分） 所以. 故在（1）的條件下，. （8分） （3）假設(shè)存在實數(shù)a，使（）有最小值-1. 因為， （9分） ①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，此時無最小值；（10分） ②當(dāng)時，當(dāng)時，，故在（0，a）單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故在（a，e）單調(diào)遞增； （11分） 所以，得，滿足條件； （12分） ③當(dāng)時，因為，所以，故在上單調(diào)遞減. ，得（舍去）； （13分） 綜上，存在實數(shù)，使得在上的最小值為-1. （14分）