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2019-2020年高考數(shù)學 中等生百日捷進提升系列 專題12 概率與統(tǒng)計（含解析） 古典概型、幾何概型 【背一背重點知識】 1.古典概型：具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型， ①有限性試：驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等，簡稱古典概型．如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P(A)＝.從集合的角度去看待古典概型，在一次試驗中，等可能出現(xiàn)的全部結果組成一個集合I，基本事件的個數(shù)n就是集合I的元素個數(shù)，事件A是集合I的一個包含m個元素的子集．故. 2.幾何概型：事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關，滿足以上條件的試驗稱為幾何概型．在幾何概型中，事件A的概率定義為：，其中μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量，μA表示子區(qū)域A的幾何度量．要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點：①無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結果有無限多個；②等可能性：每個結果的發(fā)生具有等可能性。 【講一講提高技能】 1.必備技能：(1)解答有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關知識． (2)在求基本事件的個數(shù)時，要準確理解基本事件的構成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性． (3)當構成試驗的結果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解． 2． 典型例題： 例1從、、、、、、、、、中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是的概率為 . 分析：本題屬于古典概型，上述十個數(shù)中比小的數(shù)有個，比大的數(shù)有個，要使得所選的七個數(shù)的中位數(shù)為，則應該在比大的數(shù)中選擇個，在比大的數(shù)中也選擇個，應用公式計算即得. 【解析】上述十個數(shù)中比小的數(shù)有個，比大的數(shù)有個，要使得所選的七個數(shù)的中位數(shù)為，則應該在比大的數(shù)中選擇個，在比大的數(shù)中也選擇個，因此所求事件的概率為. 例2兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去，則兩人會面的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【練一練提升能力】 1.從n個正整數(shù)1，2，…，n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n=________. 【答案】8 【解析】從n個正整數(shù)1，2，…，n中任意取出兩個不同的數(shù)，所有的取法有種取法，而取出的兩數(shù)之和等于5的取法只有兩種，即、，所以其概率為，解得，解得. 2. 已知是所在平面內一點，，現(xiàn)將一粒紅豆隨機撒在內，則紅豆落在內的概率是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：令，，， 則，， 即是的重心， 條件概率與二項分布（理） 【背一背重點知識】 1.條件概率：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“________”來表示，其計算公式為P(B|A)＝.古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)＝＝，其中，在實際應用中P(B|A)＝是一種重要的求條件概率的方法． 2.相互獨立事件：對于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A與B是相互獨立事件．若A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(A∩B)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B).若A與B相互獨立，則A與、與B、與也都相互獨立，反之，若P(A∩B)＝P(A)P(B)，則A與B是相互獨立事件． 注意：“互斥事件”與“相互獨立事件”的區(qū)別與聯(lián)系：相同點為二者都是描述兩個事件間的關系.不同點是針對問題的角度不同. 互斥事件是針對一次試驗下的兩個事件A,B能不能同時發(fā)生, 相互獨立事件是針對兩次或更多次不同試驗下出現(xiàn)的兩個事件A,B，一個事件對另一個事件發(fā)生的概率有沒有影響.具體來說,相互獨立事件,不是一個事件對另一個事件發(fā)生沒有影響,而是一個事件對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.互斥事件不一定是相互獨立事件,相互獨立事件不一定是互斥事件。若存在不可能事件即概率為0的情況，如在數(shù)軸上取一個數(shù)，設事件A=“取到的數(shù)是1”，事件B=“取到的數(shù)是2”，則A、B既互斥又相互獨立；但若A、B互斥，且P(A)>0 ，P(B)>0，則它們不可能互相獨立：因為A發(fā)生的條件下，B不可能發(fā)生，即，所以A、B不是相互獨立事件． 3．概率的計算公式： ①等可能事件的概率計算公式：； ②互斥事件的概率加法公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)； ③對立事件的概率計算公式是：P()=1－P(A)； ④相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式是：P(A?B)＝P(A)?P(B)； ⑤獨立事件重復試驗的概率計算公式是：。 4．離散型隨機變量及其分布列： 離散型隨機變量的分布列的概念：如果隨機試驗的結果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗的結果的不同而變化的，那么這樣的變量X叫做隨機變量；如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．設離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 為離散型隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列，具有性質： （?。﹑i_0，i＝1,2，…，n；（ⅱ）p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1. 5．二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：（其中），于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作～B（np），其中n，p為參數(shù)，并記.二項分布實際上是對n次獨立重復試驗而言的，關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布。當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列。 （8）數(shù)學期望與方差. ①期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為 … … P … … 則稱為ξ的數(shù)學期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學期望又簡稱期望.數(shù)學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平. ②方差、標準差的定義：當已知隨機變量ξ的分布列為時，則稱為ξ的方差. 顯然，故為ξ的根方差或標準差.隨機變量ξ的方差與標準差都反映了隨機變量ξ取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動越小. ③均值與方差的常用性質： E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；若已知隨機變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)的均值、方差和標準差，可直接用ξ的均值、方差的性質求解. ④期望與方差的關系：(ⅰ)如果和都存在，則； (ⅱ)設和是互相獨立的兩個隨機變量，則,（不作要求）； (ⅲ)期望與方差的轉化：； (ⅳ) （因為為一常數(shù)）。 【講一講提高技能】 1.必備技能： （1）求相互獨立事件和獨立重復試驗的概率的注意點 ①求復雜事件的概率，要正確分析復雜事件的構成，看復雜事件能轉化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解． ②一個復雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對立事件進行求解．對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解． ③注意辨別獨立重復試驗的基本特征：①在每次試驗中，試驗結果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同． （2）解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路： ①明確隨機變量可能取哪些值． ②結合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值． ③根據(jù)概率分布和期望、方差公式求解． 2.典型例題： 例1某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 分析：設A=“某一天的空氣質量為優(yōu)良”，B=“隨后一天的空氣質量為優(yōu)良”，則,，按公式計算即得. 【解析】設A=“某一天的空氣質量為優(yōu)良”，B=“隨后一天的空氣質量為優(yōu)良”，則，故選A. 例2從中任取個不同的數(shù)，事件＝“取到的個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件＝“取到的個數(shù)均為偶數(shù)”，則＝（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【練一練提升能力】 1. 2015年4月21日上午10時，省會首次啟動重污染天氣II級應急響應，正式實施機動車車尾號限行，當天某報社為了解公眾對“車輛限行”的態(tài)度，隨機抽查了50人，將調查情況進行整理后制成下表： 年齡（歲） 頻數(shù) 5 10 15 10 5 5 贊成人數(shù) 4 6 9 6 3 4 （1）完成被調查人員的頻率分布直方圖； （2）若從年齡，的被調查者中各隨機選取兩人進行追蹤調查，記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望． 【答案】（1）詳見解析；（2） 【解析】 （2）的所有可能取值為：0,1,2,3 所以的分布列是： 0 1 2 3 所以的數(shù)學期望是． 2甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判.設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結束相互獨立，第1局甲當裁判. （Ⅰ）求第4局甲當裁判的概率； （Ⅱ）表示前4局中乙當裁判的次數(shù)，求的數(shù)學期望. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）. 【解析】 抽樣方法 【背一背重點知識】 1. 簡單隨機抽樣：一般地，從元素個數(shù)為N的總體中逐個不放回地抽取容量為n的樣本，如果每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法．簡單隨機抽樣適用范圍是：總體中的個體性質相似，無明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較小。 2.系統(tǒng)抽樣：假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，第一步，先將總體的N個個體編號；第二步，確定分隔間距，對編號進行分段，當(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝；當(n是樣本容量)不是整數(shù)時，先用簡單隨機抽樣剔除-[]個個體，取k＝[]；第三步，在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l (l≤k)；第四步，按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號，再加k得到第3個個體編號，依次進行下去，直到獲取整個樣本．系統(tǒng)抽樣的適用范圍是：元素個數(shù)很多且均衡的總體；各個個體被抽到的機會均等。 3.分層抽樣：當總體由有明顯差別的幾部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常采用分層抽樣，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不交叉的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣．分層抽樣的應用范圍是：總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時可采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣． 【講一講提高技能】 1必備技能：在系統(tǒng)抽樣的過程中，要注意分段間隔，需要抽取幾個個體，樣本就需要分成幾個組，則分段間隔即為 (為樣本容量)，首先確定在第一組中抽取的個體的號碼數(shù)，再從后面的每組中按規(guī)則抽取每個個體．解決此類題目的關鍵是深刻理解各種抽樣方法的特點和適用范圍．但無論哪種抽樣方法，每一個個體被抽到的概率都是相等的，都等于樣本容量和總體容量的比值． 2典型例題： 例1某初級中學有學生人，其中一年級人，二、三年級各人，現(xiàn)要利用抽樣方法取人參加某項調查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2， ……，270；使用系統(tǒng)抽樣時，將學生統(tǒng)一隨機編號1，2， ……，270，并將整個編號依次分為段 如果抽得號碼有下列四種情況： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 關于上述樣本的下列結論中，正確的是（ ） A．②、③都不能為系統(tǒng)抽樣 B．②、④都不能為分層抽樣 C．①、③都可能為分層抽樣 D．①、④都可能為系統(tǒng)抽樣 【答案】C 【解析】 例2某單位有840名職工, 現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法, 抽取42人做問卷調查, 將840人按1, 2, …, 840隨機編號, 則抽取的42人中, 編號落入?yún)^(qū)間[481, 720]的人數(shù)為 （ ） (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 分析：840人中按系統(tǒng)抽樣抽取42人,即要把840人分成42組，那么每組人數(shù)為人，區(qū)間[481, 720]長度為，占組． 【解析】840人中按系統(tǒng)抽樣抽取42人，即每20人中抽取1人由題設可知區(qū)間[481, 720]長度為240，落在區(qū)間內的人數(shù)為12人.此類問題主要掌握系統(tǒng)抽樣方法就可解決. 【練一練提升能力】 1. 某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應從一年級本科生中抽取_______名學生． 【答案】60． 【解析】應從一年級抽取名． 2.某校現(xiàn)有高一學生210人，高二學生270人，高三學生300人，用分層抽樣的方法從這三個年級的學生中隨機抽取n名學生進行問卷調查，如果已知從高一學生中抽取的人數(shù)為7，那么從高三學生中抽取的人數(shù)應為（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【解析】 頻率分布直方圖與莖葉圖 【背一背重點知識】 1. ①頻率分布直方圖：在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據(jù)落在各小組內的頻率用各長長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1．連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精細的反映出總體的分布規(guī)律． 2．頻率分布直方圖的步驟如下：(ⅰ)求極差；(ⅱ)確定組距和組數(shù)；(ⅲ)將數(shù)據(jù)分組；(ⅳ)列頻率分布表；(ⅴ)畫頻率分布直方圖．頻率分布直方圖能很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀． 3．莖葉圖：莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù)． 莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個突出的優(yōu)點： 其一是統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)的損失，所有信息都可以從這個莖葉圖中得到，其二是在比賽時隨時記錄，方便記錄與表示． 4．當樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留原始信息，而且可以隨時記錄，給記錄和表示都帶來方便． 【講一講提高技能】 1必備技能： (1)在頻率分布直方圖中估計中位數(shù)和平均數(shù)的方法 ①中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等． ②平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，平均數(shù)等于圖中每個小矩形面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和． (2)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)波動的大?。畼藴什睢⒎讲钤酱?，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定． 2典型例題： 例1某種樹木的底部周長的取值范圍是，它的頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有 株樹木的底部周長小于100 cm. 分析：根據(jù)頻率分布直方圖計算底部周長小于的株數(shù)為． 【解析】由題意在抽測的60株樹木中，底部周長小于的株數(shù)為． 例2下面莖葉圖表示的是甲，乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【練一練提升能力】 1. 某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6組： [40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學生600名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于60分的學生人數(shù)為（ ） （A）588 （B）480 （C）450 （D）120 【答案】B 【解析】 試題分析：該模塊測試成績不少于60分的學生人數(shù)為．故B正確． 2.某學校隨機抽取個班，調查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.以組距為將數(shù)據(jù)分組成，，…，，時，所作的頻率分布直方圖是（ ） 【答案】A 【解析】由莖葉圖，有 組別 頻數(shù) 1 1 4 2 4 3 3 2 上表對應的頻率分布直方圖為A，故選A. 樣本的數(shù)字特征、變量間的相關關系與獨立性檢驗 【背一背重點知識】 1.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征： ①平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，即. ②樣本方差、標準差： 方差，標準差 2．標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小．標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差．通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差． 3．兩個變量間的相關關系： ①有關概念：相關關系與函數(shù)關系不同．函數(shù)關系中的兩個變量間是一種確定性關系．相關關系是一種非確定性關系，即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系．如果一個變量的值由小變大時另一個變量的值由小變大，這種相關稱為正相關；如果一個變量的值由小變大時另一個變量的值由大變小，這種相關稱為負相關；如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系． ②回歸方程：求回歸直線，使“離差平方和為最小”的方法叫做最小二乘法，用最小二乘法求得回歸方程是兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)的回歸方程，其中是待定參數(shù)．從與的計算公式與 可以看出：(ⅰ)回歸直線必過點；(ⅱ)與符號相同。 ③回歸分析：是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法，主要判斷特定量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學表達式。比如線性回歸分析就是分析求出的回歸直線是否有意義，而判斷的依據(jù)就是|r|的大?。簗r|≤1，并且|r|越接近1，線性相關程度越強；|r|越接近0，線性相關程度越弱。從散點圖來看，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。 線性相關檢驗的步驟如下： (ⅰ)作統(tǒng)計假設：x與Y不具有線性相關關系; (ⅱ)根據(jù)小概率0.05與n－2在附表中查出r的一個臨界值； （ⅲ）根據(jù)樣本相關系數(shù)計算公式求出r的值； （ⅳ）作統(tǒng)計推斷，如果|r|>，表明有95%的把握認為x與Y之間具有線性相關關系； 如果|r|≤，我們沒有理由拒絕原來的假設。這時尋找回歸直線方程是毫無意義的。 4．獨立性檢驗：22列聯(lián)表 B 合計 A n11 n12 n1＋ n21 n22 n2＋ 總計 n＋1 n＋2 n 構造一個隨機變量，利用隨機變量χ2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗： 若，則有95%把握認為A與B有關；若，則有99%把握認為A與B有關； 其中是判斷是否有關系的臨界值，應判斷為沒有充分證據(jù)顯示A與B有關，而不能作為小于95%的量化值來判斷． 注意：線性回歸分析以散點圖為基礎，具有很強的直觀性，有散點圖作比較時，擬合效果的好壞可由直觀性直接判斷，沒有散點圖時，只須套用公式求r，再作判斷即可．獨立性檢驗沒有直觀性，必須依靠作判斷． 【講一講提高技能】 1必備技能： (1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應的頻率，各小長方形的面積的和為1. (2)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的異同 眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量． (3)當總體的個體數(shù)較少時，可直接分析總體取值的頻率分布規(guī)律而得到總體分布；當總體容量很大時，通常從總體中抽取一個樣本，分析它的頻率分布，以此估計總體分布． ①總體期望的估計，計算樣本平均值. ②總體方差(標準差)的估計：，標準差， 方差(標準差)較小者較穩(wěn)定. 2典型例題： 例1一名小學生的年齡和身高（單位：cm）的數(shù)據(jù)如下表： 由散點圖可知，身高與年齡之間的線性回歸方程為，則的值為（ ） A．65 B．74 C．56 D．47 【答案】A 【解析】 例2某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)（單位:小時） （Ⅰ）應收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)？ （Ⅱ）根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：.估計該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率. （Ⅲ）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時.請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 分析：（1）利用分層抽樣的應用可以算出，記應收集90位女生的樣本數(shù)據(jù).（2）根據(jù)頻率分布直方圖可得.（3）根據(jù)題意300位學生中有人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時.又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關于男生的，90份是關于女生的.可以畫出每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，計算.則有的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”. 【解析】 由（2）知，300位學生中有人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時.又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關于男生的，90份是關于女生的.所以每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表如下： 每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表 男生 女生 總計 每周平均體育運動時間不超過4小時 45 30 75 每周平均體育運動時間超過4小時 165 60 225 總計 210 90 300 結合列聯(lián)表可算得. 有的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”. 【練一練提升能力】 1. 為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對本班50人進行了問卷調查得到了如下的列聯(lián)表： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 5 女生 10 合計 50 已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學生的概率為． （1）請將上面的列聯(lián)表補充完整； （2）是否有99.5%的把握認為喜愛打籃球與性別有關？說明你的理由； 下面的臨界值表供參考： p（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （參考公式：，其中n=a+b+c+d） 【答案】（1） 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合計 30 20 50 （2）有99.5%的把握認為喜愛打籃球與性別有關 【解析】 列聯(lián)表補充如下： 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合計 30 20 50 （2）∵ ∴有99.5%的把握認為喜愛打籃球與性別有關． 2. 某地區(qū)xx年至xx農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表： 年份 xx xx xx xx xx xx xx 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （Ⅰ）求y關于t的線性回歸方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析xx年至xx該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)xx農(nóng)村居民家庭人均純收入. 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為： ， 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在xx至xx該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入在逐年增加，平均每年增加千元；元. 【解析】 （一） 選擇題（12*5=60分） 1.有個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學不在同一個興趣小組的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：甲乙同學各自在一個小組時共有6種可能，甲乙同學在同一組時共有3種可能， 則這兩位同學不在同一個興趣小組的概率為．故C正確． 2.抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的5次訓練成績（單位：環(huán)），結果如下： 則成績較穩(wěn)定（方差較小）的那位運動員成績的方差為 . 【答案】2 【解析】由表中數(shù)據(jù)知，乙運動員成績穩(wěn)定，平均成績， 方差. 3.四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論： ① y與x負相關且； ② y與x負相關且； ③ y與x正相關且； ④ y與x正相關且. 其中一定不正確的結論的序號是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D． ①④ 【答案】 D 【解析】由正負相關的定義知，①錯，表達式表示的是正相關，④錯，表達式表示的負相關，故①④一定錯,選D. 4.名同學參加投籃比賽，每人投20球，投中的次數(shù)用莖葉圖表示（如圖），設其平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為，則有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 5.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則（ ） A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差 【答案】C 【解析】 又圖形可知，，甲成績的方差為，乙成績的方差為.故選C. 6.采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取人做問卷調查，為此將他們隨機編號為,，……，，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為.抽到的人中，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，其余的人做問卷.則抽到的人中，做問卷的人數(shù)為 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由系統(tǒng)抽樣的原知將960人分30組，所以第一組抽450/30=15人，第二組抽（750-450）/30=10，第三組抽32-15-10=7人.故選A. 7.袋中裝有完全相同的5個小球，其中有紅色小球3個，黃色小球2個，如果不放回的依次摸出2個小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 8.一組數(shù)據(jù)、、、、、的方差為1，則、、、、、的方差為（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 設原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)為， 則又方差公式有， 新數(shù)據(jù)的平均數(shù)， 所以新數(shù)據(jù)的方差，選D. 9.設函數(shù)，．若在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，的概率為，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 10.分別在區(qū)間,內各任取一個實數(shù)依次為,則的概率是（ ） A．0.3 B．0.667 C．0.7 D．0.714 【答案】C 【解析】該題有兩個變量，所以考慮構造點，因基本事件總數(shù)是無限，可考慮幾何概型求概率，所有點構成一個長，寬分別為5和3的矩形，在此矩形內取點，則點落在的概率為. 11.下圖是兩組各名同學體重（單位：）數(shù)據(jù)的莖葉圖．設，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為和，標準差依次為和，那么（ ） （注：標準差，其中為的平均數(shù)） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】 12.給出下列五個命題: ①某班級一共有52名學生,現(xiàn)將該班學生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容易為4的樣本,已知7號,33號,46號同學在樣本中,那么樣本另一位同學的編號為23; ②一組數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同; ③一組數(shù)據(jù)a、0、1、2、3,若該組數(shù)據(jù)的平均值為1,則樣本標準差為2; ④根據(jù)具有線性相關關系的兩個變量 的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為y=ax+b中,b=2,,則a=1; ⑤如圖是根據(jù)抽樣檢測后得出的產(chǎn)品樣本凈重(單位:克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克,并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是90. 【答案】B 【解析】填空題（4*5=20分） 13.從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示. （Ⅰ）直方圖中的值為_________； （Ⅱ）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間內的戶數(shù)為_________. 【答案】 （1）0.0044 （2）70 【解析】,用戶落在間的概率, 故在這個區(qū)間的用戶人. 14.甲乙二人玩猜字游戲，先由甲在心中想好一個數(shù)字，記作，然后再由乙猜甲剛才所想到的數(shù)字，并把乙猜到的數(shù)字記為，二人約定：、，且當時乙為勝方，否則甲為勝方．則甲取勝的概率是______． 【答案】 【解析】 15. 某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關系，統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，數(shù)據(jù)如下表 氣溫（℃） 18 13 10 用電量（度） 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)可得線性回歸方程中的，預測當氣溫為℃時，該單位用電量的度數(shù)約為 度． 【答案】 【解析】 試題分析：先根據(jù)表格算出樣本中心點的坐標，代入回歸方程后求出的值，然后再將代入回歸方程即可求得用電量的預測值．由表格數(shù)據(jù)可得樣本中心點的坐標是，代入方程可求得，所以當時預測用電量度，故應填：． 16.某市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參廣場的宣傳活動，應從第3，4，5組各抽取　　　名志愿者？ （2） 在（1）的條件下，該市決定在第3,4組的志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，則第4組至少有一名志愿者被抽中的概率是　　　　　　. 【答案】（1）第3,4,5組中分別抽取3人,2人,1人；（2）. 【解析】 參考： 17．（本小題滿分12分） 某國際會議在北京召開，為了搞好對外宣傳工作，會務組選聘了16名男記者和14名女記者擔任對外翻譯工作，調查發(fā)現(xiàn)，男、女記者中分別有10人和6人會俄語． （Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下22列聯(lián)表： 會俄語 不會俄語 總計 男 女 總計 30 并回答能否在犯錯的概率不超過0.10的前提下認為性別與會俄語有關？ 參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d 參考數(shù)據(jù)： P(K2≥k0) 0.40 0.25 0.10 0.010 k0 0.708 1.323 2.706 6.635 （Ⅱ）會俄語的6名女記者中有4人曾在俄羅斯工作過，若從會俄語的6名女記者中隨機抽取2人做同聲翻譯，求抽出的2人都在俄羅斯工作過的概率． 17解：（Ⅰ） 15種，其中2人都在俄羅斯工作過的是AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種，所以抽出的女記者中，2人都在俄羅斯工作過的概率是P＝＝．