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2019-2020年高考數學 中等生百日捷進提升系列（綜合提升篇）專題02 概率統(tǒng)計解答題 理（含解析） 以隨機事件概率為背景離散型隨機變量的分布列、均值 【背一背重點知識】 1.隨機變量所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的,各事件概率之和為1. 2.求隨機事件概率為背景的離散型隨機變量的均值與方差公式 3. 注意事件中所包含關鍵詞,如至少,至多,恰好,都是,不都是,都不是等的含義. 【講一講提高技能】 1. 必備技能：分類討論要保證不重不漏,且相互互斥.靈活運用排列組合相應方法進行計數.等可能性是正確解題的關鍵,在計數及求概率過程中嚴格保證事件的等可能性. 2. 典型例題： 例1某中學高一年級共8個班，現從高一年級選10名同學組成社區(qū)服務小組，其中高一（1）班選取3名同學，其它各班各選取1名同學．現從這10名同學中隨機選取3名同學，到社區(qū)老年中心參加“尊老愛老”活動（每位同學被選到的可能性相同）． （1）求選出的3名同學來自不同班級的概率； （2）設X為選出同學中高一（1）班同學的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望． 【答案】（1）；（2）詳見解析． 【解析】 ，∴隨機變量的分布列是 隨機變量的數學期望 ． 例2 一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分． （1）設拋擲5次的得分為，求的分布列和數學期望； （2）求恰好得到分的概率． 【答案】（1）分布列見解析，；（2）． 【解析】 試題解析：（1）所拋5次得分的概率為， 其分布列如下 【練一練提升能力】 1.（本小題滿分12分）某社區(qū)舉辦防控甲型H7N9流感知識有獎問答比賽，甲、乙、丙三人同時回答一道衛(wèi)生知識題，三人回答正確與錯誤互不影響。已知甲回答這題正確的概率是，甲、丙兩人都回答錯誤的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是. (I)求乙、丙兩人各自回答這道題正確的概率； (II)用表示回答該題正確的人數，求的分布列和數學期望. 【答案】（Ⅰ) 乙回答這題正確的概率是，丙回答這題正確的概率是； （Ⅱ）的分布列為： 0 1 2 3 . 【解析】（I）記“甲、乙、丙回答正確這道題”分別為事件A、B、C， 則，且， 1分 ， 2分 即=， 3分 ， 4分 ， 5分 ， 6分 的分布列為 0 1 2 3 ∴的數學期望=. ………………………………………………12分 2.（本小題滿分12分）如圖，從到有6條網線，數字表示該網線單位時間內可以通過的最大信息量，現從中任取3條網線且使每條網線通過最大信息量，設這三條網線通過的最大信息之和為. （1）當時，線路信息暢通，求線路信息暢通的概率； （2）求的分布列和數學期望． 【答案】（1）；（2）見解析. 【解析】（1）三條網線共有20種選擇，其中的有5種∴ （2） 分布列： 10 11 12 13 14 15 . 以二項分布為背景離散型隨機變量的分布列、均值 【背一背重點知識】 1.若隨機變量服從二項分布,則對應的事件是兩兩獨立重復的,概率為事件成功的概率. 2.求二項分布為背景的離散型隨機變量的均值與方差公式:若,則 3.區(qū)別超幾何分布. 若,則 【講一講提高技能】 1.必備技能：利用離散型隨機變量的均值與方差的定義,也可求出二項分布為背景的離散型隨機變量的均值與方差,但計算較繁.因此判斷隨機變量是否服從二項分布是解決問題的關鍵.判斷方法有兩個,一是從字面上理解是否符合獨立重復條件,二是通過計算,歸納其概率規(guī)律是否滿足二項分布. 2.典型例題： 例1某市一高中經過層層上報，被國家教育部認定為xx全國青少年足球特色學校．該校成立了特色足球隊，隊員來自高中三個年級，人數為50人．視力對踢足球有一定的影響，因而對這50人的視力作一調查．測量這50人的視力（非矯正視力）后發(fā)現他們的視力全部介于4．75和5．35之間，將測量結果按如下方式分成6組：第一組，第二組，…，第6組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．又知：該校所在的省中，全省喜愛足球的高中生視力統(tǒng)計調查數據顯示：全省100000名喜愛足球的高中生的視力服從正態(tài)分布． （1）試評估該校特色足球隊人員在全省喜愛足球的高中生中的平均視力狀況； （2）求這50名隊員視力在5．15以上（含5．15）的人數； （3）在這50名隊員視力在5．15以上（含5．15）的人中任意抽取2人，該2人中視力排名（從高到低）在全省喜愛足球的高中生中前130名的人數記為，求的數學期望． 參考數據：若～N（， 2），則 0．6826， ， 【答案】（1）；（2）人；（3）． 【解析】 所以全省喜愛足球的高中生中前130名的視力在5．25以上．這50人中視力在5．25以上的有0．150=5人，這50名隊員視力在5．15以上（含5．15）的人分為兩部分:5人在5．25以上，5人在5．155．25． 隨機變量可取0，1，2，于是 ，，． ． 例2.某市政府為了確定一個較為合理的居民用電標準，必須先了解全市居民日常用電量的分布情況．現采用抽樣調查的方式，獲得了n位居民在xx年的月均用電量（單位：度）數據，樣本統(tǒng)計結果如下圖表： 分 組 頻 數 頻 率 [0， 10） 0．05 [10，20） 0．10 [20，30） 30 [30，40） 0．25 [40，50） 0．15 [50，60] 15 合 計 n 1 （1）求月均用電量的中位數與平均數估計值； （2）如果用分層抽樣的方法從這n位居民中抽取8位居民，再從這8位居民中選2位居民，那么至少有1位居民月均用電量在30至40度的概率是多少？ （3）用樣本估計總體，把頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用電量在30至40度的居民數X的分布列． 【答案】（1），；（2）;（3）略． 【解析】 所以中位數的估計值為； 平均數的估計值為 【練一練提升能力】 1.為貫徹“激情工作，快樂生物”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選—題答—題的方式進行，每位選手最多有5次選答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進入決賽，答錯3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為. （1）求選手甲答題次數不超過4次可進入決賽的概率； （2）設選手甲在初賽中答題的個數，試寫出的分布列，并求的數學期望。 【答案】（1）（2） 【解析】 因此，有 ∴. 2. 計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立. （1）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率； （2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數受年入流量限制，并有如下關系: 年入流量 發(fā)電量最多可運行臺數 1 2 3 若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？ 【答案】（1）（2）欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺. 【解析】 因此.由此得的分布列如下： 4200 10000 0.2 0.8 所以. ③安裝3臺發(fā)電機. 依題意，當時，一臺發(fā)電機運行，此時， 因此； 當時，兩臺發(fā)電機運行，此時， 此時， 當時，三臺發(fā)電機運行，此時， 因此， 由此得的分布列如下： 34 9200 15000 0.2 0.8 0.1 所以. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺. 以莖葉圖為背景分布列、均值 【背一背重點知識】 1.莖葉圖只便于表示兩位有效數字的數據,而且莖葉圖只方便記錄兩組數據,兩組以上的數據雖然能夠記錄,但是沒有表示兩組數據時那么直觀,清晰.根據莖葉圖會估計兩組數據均值及方差的大小. 2. 莖葉圖不能直觀反映總體的分布情況,這就需要通過莖葉圖給出的數據求出數據的數字特征,進一步地估計總體. 3. 莖葉圖主要考查識圖能力及處理數據能力. 【講一講提高技能】 1.必備技能：根據莖葉圖數據的分布情況, 估計兩組數據均值及方差的大小關系.從數據分布上下,可比較兩組數據均值大小.從數據分布的密疏,可估計兩組數據的方差大小. 2.典型例題： 例1（本小題滿分12分） 在數學趣味知識培訓活動中，甲、乙兩名學生的6次培訓成績如下莖葉圖所示： (Ⅰ)從甲、乙兩人中選擇1人參加數學趣味知識競賽，你會選哪位？請運用統(tǒng)計學的知識說明理由； (II)從乙的6次培訓成績中隨機選擇2個，記被抽到的分數超過115分的個數為，試求的分布列和數學期望． 分析：（I）根據莖葉圖，寫出兩個同學的成績，對于這兩個同學的成績求出平均數，結果兩人的平均數相等，再比較兩個人的方差，得到乙的方差較小，這樣可以派乙去，因為乙的成績比較穩(wěn)定．（II）由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的所有事件是從乙的6次培訓成績中隨機選擇2個，滿足事件的恰好有2次，記被抽到的分數超過115分的個數為，由題意值可取0,1,2，根據古典概型的概率公式求出對應的概率，寫出分布列，求出期望. 【解析】 (II)； ；. 的分布列為： 0 1 2 所以數學期望. 例2（本小題滿分12分）為調查高三學生的視力情況，某高中學生會從全體學生中隨機抽取16名學生，經校醫(yī)用視力表檢測得到每個學生的視力狀況的莖葉圖（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉），如圖，若視力測試結果不低于5．0，則稱為“好視力”。 （1）寫出這組數據的眾數和中位數； （2）從這16人中隨機選取3人，求至少有2人是“好視力”的概率； （3）以這16人的樣本數據來估計整個學校的總體數據，若從該校（人數很多）任選3人，記X表示抽到“好視力”學生的人數，求X的分布列及數學期望 【答案】（1）眾數為，中位數為；（2）；（3）詳見解析． 【解析】 由于該校人數很多，故X近似服從二項分布 ．X的分布列為 0 1 2 3 X的數學期望 ． 【練一練提升能力】 1.（本小題滿分12分）省少年籃球隊要從甲、乙兩所體校選拔隊員?，F將這兩所體校共20名學生的身高繪制成如下莖葉圖（單位：cm）:若身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”. （Ⅰ）用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，如果從這5人中隨機選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？ （Ⅱ）若從所有“高個子”中隨機選3名隊員，用表示乙校中選出的“高個子”人數，試求出的分布列和數學期望. 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）的分布列如下： 0 1 2 3 的期望為：. 【解析】 （Ⅱ）依題意知，從乙校中選出“高個子”的人數的所有可能值為0，1，2，3. 因此，的分布列如下： 0 1 2 3 所以的期望為：. 2. 砷是廣泛分布于自然界中的非金屬元素， 長期飲用高砷水會直接危害群眾的身心健康和生命安全，而近水農村地區(qū)，水質情況更需要關注．為了解甲、乙兩地區(qū)農村居民飲用水中砷含量的基本情況，分別在兩地隨機選取10個村子，其砷含量的調查數據如下（單位:）: 甲地區(qū)的10個村子飲用水中砷的含量: 52 32 41 72 43 35 45 61 53 44 乙地區(qū)的10個村子飲用水中砷的含量: 44 56 38 61 72 57 64 71 58 62 （Ⅰ）根據兩組數據完成下面莖葉圖，試比較兩個地區(qū)中哪個地區(qū)的飲用水中砷含量更高，并說明理由； （Ⅱ）國家規(guī)定居民飲用水中砷的含量不得超過50，現醫(yī)療衛(wèi)生組織決定向兩個地區(qū)中每個砷超標的村子派駐一個醫(yī)療救助小組．用樣本估計總體，把頻率作為概率，若從乙地區(qū)隨機抽取3個村子，用表示派駐的醫(yī)療小組數，試寫出的分布列并求的期望． 【答案】（Ⅰ）乙地區(qū)的飲用水中砷含量更高（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）莖葉圖中間為十位數字，個位數字列兩邊，利用平均數確定砷含量高低，也可由莖葉圖分布確定其含量高低，（Ⅱ）因為乙地區(qū)的10個村子超過50有8個，所以從乙地區(qū)隨即抽取一個村子，需要派駐醫(yī)療小組的概率．隨機變量，且，因此. 試題解析：（Ⅰ） 甲 乙 5 2 5 4 3 1 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 4 6 7 8 1 2 4 1 2 （Ⅱ）由題可知若從乙地區(qū)隨即抽取一個村子，需要派駐醫(yī)療小組的概率 的分布列為 0 1 2 3 以頻率分布直方圖為背景的分布列、均值 【背一背重點知識】 1. 頻率分布直方圖中,縱軸表示頻率/組距.橫軸表示樣本數據. 2. 頻率分布直方圖中各小長方形的面積表示相應組的頻率,各小長方形的面積總和為1. 3. 頻率分布直方圖中主要考查結構特點及處理數據能力. 【講一講提高技能】 1.必備技能：頻率分布直方圖主要提取的信息為頻率,計算對應小長方形的面積是解題的關鍵,也是考查的主要知識點.利用各小長方形的面積總和為1,可對頻率分布直方圖進行補形或填空. 2.典型例題： 例1.xx春節(jié)期間，高速公路車輛較多．某調查公司在一服務區(qū)從七座以下小型汽車中，按進服務區(qū)的先后每間隔輛就抽取一輛的抽樣方法，抽取了名駕駛員進行調查，將他們在某段高速公路上的車速（km/t）分成6段：，，，，，后得到如圖４的頻率分布直方圖．問： （1）該公司在調查取樣中，用到的是什么抽樣方法？ （2）求這40輛小型汽車車速的眾數和中位數的估計值； （3）若從車速在中的車輛中任取2輛，求抽出的這兩輛車中速度在中的車輛數的分布列及其數學期望． 【答案】（1）系統(tǒng)抽樣；（2）眾數與中位數的估計值均為；（3）詳見解析． 【解析】 的分布列如下： 例2隨機觀測生產某種零件的某工廠名工人的日加工零件數（單位：件），獲得數據如下：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，根據上述數據得到樣本的頻率分布表如下： 分組 頻數 頻率 （1）確定樣本頻率分布表中、、和的值； （2）根據上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖； （3）根據樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取人，至少有人的日加工零件數落在區(qū)間的概率. 分析：（1），， ，；（2）根據頻率分布表繪制；（3）根據樣本頻率分布直方圖，每人的日加工零件數落在區(qū)間的概率， 設所取的人中，日加工零件數落在區(qū)間的人數為，可得 ， . 【解析】 【練一練提升能力】 1.某班同學利用國慶節(jié)進行社會實踐，對 [25，55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數頻率分布直方圖： （1）補全頻率分布直方圖并求n、a、p的值； （2）從[40，50）歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取18人參加戶外低碳體驗活動，其中選取3人作為領隊，記選取的3名領隊中年齡在[40，45）歲的人數為X，求X的分布列和期望E（X）． 【答案】（1）；（2）相見解析． 【解析】 2. 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上件產品作為樣本稱出它們的重量(單位：克)，重量的分組區(qū)間為，，…，，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示． （1）根據頻率分布直方圖，求重量超過克的產品數量； （2）在上述抽取的件產品中任取件，設為重量超過克的產品數量，求的分布列； （3）從該流水線上任取件產品，求恰有件產品的重量超過克的概率． 【答案】（1）(件)；（2）Y的分布列為 0 1 2 P （3）. 【解析】 與變量間的相關關系與獨立性檢驗為背景離散型隨機變量的分布列、均值 【背一背重點知識】 1. 線性回歸方程恒過定點 2. 函數關系是一種確定關系，而相關關系是一種非確定關系.回歸分析是對具有線性相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的常用方法. 3.獨立性檢驗是利用隨機變量來確定在多大程度上可以認為“兩個變量有關”的一種方法. 【講一講提高技能】 1.必備技能：線性回歸方程恒過定點線性相關系數絕對值越大，相關性越強.相關指數越大，擬合效果越好.小概率事件發(fā)生的原因可認為某些因素產生了影響. 2.典型例題： 例1某地區(qū)xx年至xx農村居民家庭純收入y（單位：千元）的數據如下表： 年份 xx xx xx xx xx xx xx 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （Ⅰ）求y關于t的線性回歸方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析xx年至xx該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)xx農村居民家庭人均純收入. 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為： ， 分析：本題第（Ⅰ）問，由給出的與公式求出與，從而求出回歸直線方程；對第（Ⅱ）問，由第（Ⅰ）問求出的回歸直線方程進行預測，令，可得的近似值. 【解析】 例2在一次聯考后，某校對甲、乙兩個文科班的數學考試成績進行分析，規(guī)定：大于或等于分為優(yōu)秀，分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯表，且已知在甲、乙兩個文科班全部人中隨機抽取人為優(yōu)秀的概率為. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計 甲班 乙班 合計 （1）請完成上面的列聯表； （2）根據列聯表的數據，能否有的把握認為成績與班級有關系？ （3）在甲、乙兩個理科班優(yōu)秀的學生中隨機抽取兩名學生，用表示抽得甲班的學生人數，求的分布列. 分析：（1）先根據題中條件確定乙班優(yōu)秀的人數，然后根據甲乙兩班的總人數將表中其它的數據補充上；（2）先提出假設“成績與班級無關”，根據表中數據求出的值，然后利用臨界值表確定犯錯誤的概率，進而確定是否有的把握認為成績與班級有關系；（3）先確定隨機變量的可能取值，然后根據超幾何分布的方法求出隨機變量在相應的取值下的概率，并列出相應的分布列. 【解析】（1）列聯表如下表所示： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計 甲班 乙班 合計 所以的分布列為： 【練一練提升能力】 1.某校高三4班有50名學生進行了一場投籃測試，其中男生30人，女生20人．為了 了解其投籃成績，甲、乙兩人分別都對全班的學生進行編號（1~50號），并以不同的方法進行數據抽樣，其中一人用的是系統(tǒng)抽樣，另一人用的是分層抽樣．若此次投籃考試的成績大于或等于80分視為優(yōu)秀，小于80分視為不優(yōu)秀，以下是甲、乙兩人分別抽取的樣本數據： 編號 性別 投籃成績 2 男 90 7 女 60 12 男 75 17 男 80 22 女 83 27 男 85 32 女 75 37 男 80 42 女 70 47 女 60 編號 性別 投籃成績 1 男 95 8 男 85 10 男 85 20 男 70 23 男 70 28 男 80 33 女 60 35 女 65 43 女 70 48 女 60 甲抽取的樣本數據 乙抽取的樣本數據 （Ⅰ）觀察乙抽取的樣本數據，若從男同學中抽取兩名，求兩名男同學中恰有一名非優(yōu)秀的概率． （Ⅱ）請你根據乙抽取的樣本數據完成下列22列聯表，判斷是否有95%以上的把握認為投籃成績和性別有關？ 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計 男 女 合計 10 （Ⅲ）判斷甲、乙各用何種抽樣方法，并根據（Ⅱ）的結論判斷哪種抽樣方法更優(yōu)？說明由. 下面的臨界值表供參考： 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （參考公式：，其中） 分析：（Ⅰ）首先明確“事件”記“兩名同學中恰有一名不優(yōu)秀”為事件A，乙抽取的樣本數據中，男同學有4名優(yōu)秀，記為a，b，c，d，2名不優(yōu)秀，記為e，f . 計算從男同學中抽取兩名，總的基本事件有15個，利用列舉法確定事件A包含的基本事件數為8，進一步得到=． （Ⅱ）設投籃成績與性別無關，由乙抽取的樣本數據，得列聯表，利用“卡方公式”，計算的觀測值并與臨界值表比較，得到結論.（Ⅲ）對照系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的定義．確定抽樣方法，由（Ⅱ）的結論，并且從樣本數據能看出投籃成績與性別有明顯差異，得到結論. 【解析】 （Ⅱ）設投籃成績與性別無關，由乙抽取的樣本數據，得列聯表如下： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計 男 4 2 6 女 0 4 4 合計 4 6 10 6分 的觀測值4.4443.841， 8分 所以有95%以上的把握認為投籃成績與性別有關． 9分 （Ⅲ）甲用的是系統(tǒng)抽樣，乙用的是分層抽樣． 10分 由（Ⅱ）的結論知，投籃成績與性別有關，并且從樣本數據能看出投籃成績與性別有明顯差異，因此采用分層抽樣方法比系統(tǒng)抽樣方法更優(yōu)． 12分 2.某公司的廣告費支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有下列對應數據 x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （1）畫出散點圖，并判斷廣告費與銷售額是否具有相關關系； （2）根據表中提供的數據，用最小二乘法求出y與x的回歸方程； （3）預測銷售額為115萬元時，大約需要多少萬元廣告費。 參考公式:回歸方程為其中， 【答案】（1）具有相關關系；（2）；（3）15 【解析】 （2） ， == == == == ∴線性回歸方程為 （3）由題得：， ，得 解答題（共10題） 1.（本小題滿分12分）袋中有8個大小相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球. （I）若從袋中一次摸出2個小球，求恰為異色球的概率； （II）若從袋中一次摸出3個小球，且3個球中，黑球與白球的個數都沒有超過紅球的個數，記此時紅球的個數為，求的分布列及數學期望E. 【解析】 （Ⅱ）符合條件的摸法包括以下三種：一種是有1個紅球，1個黑球，1個白球， 共有種 ………………………………7分 一種是有2個紅球，1個其它顏色球， 共有種， ………………………………8分 一種是所摸得的3小球均為紅球，共有種不同摸法， 故符合條件的不同摸法共有種. 10分 由題意知，隨機變量的取值為，，.其分布列為： 1 2 3 ……………………12分 2.某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調查，在高三的全體1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖． （1）若直方圖中后四組的頻數成等差數列，試估計全年級視力在5．0以下的人數； （2）學習小組成員發(fā)現，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學習成績是否有 關系，對年級名次在名和名的學生進行了調查，得到右表中數據，根據表中的數據， 能否在犯錯的概率不超過0．05的前提下認為視力與學習成績有關系? （3）在（2）中調查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了9人，進一步調查他們良好 的護眼習慣，并且在這9人中任取3人，記名次在的學生人數為，求的分布列和數學期望． 附： 【答案】（1）820；（2） 在犯錯誤的概率不超過0．05的前提下認為視力與學習成績有關系；（3）分布列見解析，數學期望是． 【解析】 （2） 因此在犯錯誤的概率不超過0．05的前提下認為視力與學習成績有關系． （3）依題意9人中年級名次在名和名分別有3人和6人， 可取0、1、2、3 ， ， ， 的分布列為 0 1 2 3 的數學期望 3.某市有小型超市72個，中型超市24個，大型超市12個，現采用分層抽樣方法抽取9個超市對其銷售商品質量進行調查. （I）求應從小型、中型、大型超市分別抽取的個數； （II）若從抽取的9個超市中隨機抽取3個做進一步跟蹤分析，記隨機變量X為抽取的小型超市的個數，求隨機變量X的分布列及數學期望E(X) . 【解析】 （2） ; ; -------------------------------10分 分布列為 X 0 1 2 3 P --------------------------------11分 所以 --------------------------------12分 4. 一盒中裝有9張各寫有一個數字的卡片，其中4張卡片上的數字是1,3張卡片上的數字 是2,2張卡片上的數字是3，從盒中任取3張卡片. （Ⅰ）求所取3張卡片上的數字完全相同的概率; （Ⅱ）表示所取3張卡片上的數字的中位數，求的分布列與數學期望. （注：若三個數滿足 ，則稱為這三個數的中位數）. 【解析】（Ⅰ）由古典概型中的概率計算公式知所求概率為 （Ⅱ）的所有可能值為1，2，3，且 ,. 故的分布列為 1 2 3 從而 5. 網上購物逐步走進大學生活，某大學學生宿舍4人積極參加網購，大家約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去哪家購物，擲出點數為5或6的人去淘寶網購物，擲出點數小于5的人去京東商城購物，且參加者必須從淘寶網和京東商城選擇一家購物。 （1）求這4個人中恰有1人去淘寶網購物的概率； （2）用分別表示這4個人中去淘寶網和京東商城購物的人數，集，求隨機變量的分布列與數學期望 【答案】（1）；（2）分布列詳見解析，． 【解析】 （Ⅰ）這4個人中恰有1人去淘寶網購物的概率 ． （II）易知的所有可能取值為． , , ． 所以的分布列是 0 3 4 P 隨機變量ξ的數學期望． 6.某學生參加某高校的自主招生考試，須依次參加五項考試，如果前四項中有兩項不合格或第五項不合格，則該考生就被淘汰，考試即結束；考生未被淘汰時，一定繼續(xù)參加后面的考試．已知每一項測試都是相互獨立的，該生參加四項考試不合格的概率均為，參加第五項不合格的概率為， （1）求該生被錄取的概率； （2）記該生參加考試的項數為，求的分布列和期望． 【答案】（1）；（2）該生參加考試的項數的分布列為： 【解析】 試題解析：（1）該生被錄取，則四項考試答對道或道，并且答對第五項． 所以該生被錄取的概率為， （2）該生參加考試的項數的所有取值為：． 該生參加考試的項數ξ的分布列為： 7. 某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能性相同）． （Ⅰ）求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率； （Ⅱ）設為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量的分布列和數學期望． 【解析】 隨機變量的分布列為 0 1 2 3 隨機變量的數學期望． 8.一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為，，，，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）， （Ⅰ）求的值，并根據樣本數據，試估計盒子中小球重量的眾數與平均值； （Ⅱ）從盒子中隨機抽取個小球，其中重量在內的小球個數為，求的分布列和數學期望. (以直方圖中的頻率作為概率). 【答案】（Ⅰ）;眾數約為20（克）; 均值約為克; （Ⅱ）的分布列為： . 【解析】 （Ⅱ）利用樣本估計總體，該盒子中小球重量在內的概率為， 則.的可能取值為、、、， ，， ，. 的分布列為： .（或者） 9.為了解心肺疾病是否與年齡相關，現隨機抽取了40名市民，得到數據如下表： 患心肺疾病 不患心肺疾病 合計 大于40歲 16 小于等于40歲 12 合計 40 已知在全部的40人中隨機抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率為 （1）請將列聯表補充完整； （2）已知大于40歲患心肺疾病市民中，經檢查其中有4名重癥患者，專家建議重癥患者住院治療，現從這16名患者中選出兩名，記需住院治療的人數為，求的分布列和數學期望； （3）能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為患心肺疾病與年齡有關？ 下面的臨界值表供參考： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （參考公式：，其中） 【答案】（1）詳見解析（2） 0 1 2 P （3）所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為患心肺疾病與年齡有關 【解析】 （3）利用公式求得，與臨界值6.635比較，如果大于他說明有關，即可得到結論．此題比較基礎，尤其是最后一問，相關性的判定，要會看臨界值，就不成問題，比較基礎. 試題解析：（1） 患心肺疾病 不患心肺疾病 合計 大于40歲 16 4 20 小于等于40歲 8 12 20 合計 24 16 40 （2）可以取0,1,2 0 1 2 P （3） 所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為患心肺疾病與年齡有關 10.某市為準備參加省中學生運動會，對本市甲、乙兩個田徑隊的所有跳高運動員進行了測試，用莖葉圖表示出甲、乙兩隊運動員本次測試的跳高成績（單位：cm，且均為整數），同時對全體運動員的成績繪制了頻率分布直方圖．跳高成績在185cm以上（包括185cm）定義為“優(yōu)秀”，由于某些原因，莖葉圖中乙隊的部分數據丟失，但已知所有運動員中成績在190cm以上（包括190cm）的只有兩個人，且均在甲隊． （Ⅰ）求甲、乙兩隊運動員的總人數a及乙隊中成績在[160,170）（單位：cm）內的運動員人數b； （Ⅱ）在甲、乙兩隊全體成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的運動員的跳高成績的平均數和方差； （Ⅲ）在甲、乙兩隊中所有的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的運動員中隨機選取2人參加省中學生運動會正式比賽， 求所選取兩名運動員均來自甲隊的概率． 【解析】 成績平均數 ， 方差 .