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? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 受 扭 鋼 絲 軟 軸 的 強(qiáng) 度 及 剛 度 計(jì) 算 X 何 天 淳 1 , 姚 文 斌 2 (1. 昆 明 理 工 大 學(xué) ,云 南 昆 明 650093 ; 2. 昆 明 理 工 大 學(xué) 建 筑 工 程 學(xué) 院 ,云 南 昆 明 650093) 摘 要 : 將 鋼 絲 軟 軸 看 作 由 許 多 直 徑 不 同 的 螺 旋 鋼 絲 疊 套 在 一 起 組 成 的 彈 簧 鋼 絲 簇 . 再 將 螺 旋 鋼 絲 簡 化 為 受 力 矩 作 用 的 曲 桿 ,根 據(jù) 曲 桿 理 論 ,導(dǎo) 出 了 單 層 扭 轉(zhuǎn) 螺 旋 彈 簧 鋼 絲 的 應(yīng) 力 及 變 形 公 式 . 文 中 探 討 了 為 保 證 鋼 絲 軟 軸 的 正 常 工 作 ,并 同 時(shí) 發(fā) 揮 各 層 螺 旋 彈 簧 鋼 絲 的 作 用 ,各 層 鋼 絲 幾 何 參 數(shù) 應(yīng) 滿 足 的 條 件 ,并 最 終 獲 得 了 鋼 絲 軟 軸 的 應(yīng) 力 和 變 形 公 式 . 關(guān) 鍵 詞 : 鋼 絲 軟 軸 ;彈 簧 ;強(qiáng) 度 ;剛 度 ;應(yīng) 力 ;變 形 中 圖 分 類 號(hào) :O346 文 獻(xiàn) 標(biāo) 識(shí) 碼 :A 文 章 編 號(hào) :1007 - 855X(2000) 04 - 050 - 06 0 引 言 鋼 絲 軟 軸 由 于 其 具 有 良 好 的 撓 性 及 抗 沖 擊 性 ,因 而 被 廣 泛 應(yīng) 用 于 可 移 式 機(jī) 械 化 工 具 、 混 凝 土 振 動(dòng) 器 、 砂 輪 機(jī) 、 醫(yī) 療 器 械 以 及 里 程 表 、 遙 控 儀 等 傳 動(dòng) 中 . 鋼 絲 軟 軸 通 常 是 由 二 組 或 多 組 不 同 直 徑 的 鋼 絲 分 層 纏 繞 而 成 (如 圖 1) . 卷 繞 時(shí) ,把 幾 根 鋼 絲 并 排 地 緊 密 纏 繞 在 芯 桿 上 ,且 相 鄰 兩 層 鋼 絲 的 旋 向 相 反 . 繞 完 后 ,可 將 芯 桿 抽 出 ,也 可 保 留 . 最 外 層 鋼 絲 的 旋 向 為 左 旋 的 稱 為 左 旋 軟 軸 ,為 右 旋 的 稱 為 右 旋 軟 軸 . 在 傳 遞 動(dòng) 力 (扭 矩 )時(shí) ,其 轉(zhuǎn) 動(dòng) 方 向 必 須 與 最 外 層 鋼 絲 的 旋 向 相 反 . 圖 1 鋼 絲 軟 軸 的 繞 制 長 期 以 來 ,鋼 絲 軟 軸 設(shè) 計(jì) 計(jì) 算 往 往 根 據(jù) 粗 略 的 經(jīng) 驗(yàn) 方 法 . 有 關(guān) 設(shè) 計(jì) 手 冊(cè) 均 未 給 出 軟 軸 鋼 絲 的 應(yīng) 力 強(qiáng) 度 條 件 及 變 形 剛 度 條 件 ,至 于 軟 軸 各 層 鋼 絲 幾 何 參 數(shù) 之 間 的 關(guān) 系 及 結(jié) 構(gòu) 的 優(yōu) 化 等 問 題 幾 乎 未 見 相 關(guān) 研 究 和 報(bào) 道 . 顯 然 ,研 究 受 扭 鋼 絲 軟 軸 的 應(yīng) 力 和 變 形 ,將 是 鋼 絲 軟 軸 的 科 學(xué) 設(shè) 計(jì) 計(jì) 算 理 論 的 重 要 前 提 條 件 . 根 據(jù) 鋼 絲 軟 軸 的 結(jié) 構(gòu) 特 點(diǎn) ,筆 者 將 鋼 絲 軟 軸 看 成 是 由 兩 個(gè) (或 多 個(gè) ) 直 徑 不 同 的 圓 柱 螺 旋 鋼 絲 疊 套 在 一 起 組 合 而 成 的 彈 簧 鋼 絲 簇 ,且 近 似 認(rèn) 為 各 層 螺 旋 鋼 絲 之 間 不 產(chǎn) 生 相 互 擠 壓 和 摩 擦 . 這 樣 受 扭 鋼 絲 軟 軸 的 計(jì) 算 問 題 實(shí) 質(zhì) 上 就 簡 化 為 螺 旋 鋼 絲 受 扭 矩 作 用 下 的 強(qiáng) 度 、 剛 度 的 計(jì) 算 問 題 . 1 受 扭 圓 柱 螺 旋 鋼 絲 的 應(yīng) 力 及 變 形 分 析 為 便 于 研 究 ,取 單 層 圓 柱 螺 旋 鋼 絲 分 析 ,將 螺 旋 彈 簧 鋼 絲 簡 化 為 受 力 矩 作 用 的 曲 桿 來 考 慮 . 1. 1 單 層 螺 旋 彈 簧 鋼 絲 應(yīng) 力 及 變 形 的 近 似 計(jì) 算 圖 2 為 一 承 受 扭 矩 M 的 螺 旋 彈 簧 鋼 絲 . 取 鋼 絲 的 任 意 剖 面 B — B ,扭 矩 M 對(duì) 此 剖 面 作 用 的 載 荷 為 一 第 25 卷 第 4 期 昆 明 理 工 大 學(xué) 學(xué) 報(bào) Vol. 25 No. 4 2000 年 8 月 Journal of Kunming Unversity of Science and Technology Aug. 2000 X 收 稿 日 期 :1999 - 09 - 25 第 一 作 者 簡 介 :何 天 淳 ,男 ,1953 年 9 月 生 ,博 士 后 ,教 授 ;主 要 研 究 方 向 :工 程 力 學(xué) ,計(jì) 算 力 學(xué) ,材 料 微 觀 機(jī) 理 研 究 ? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 引 起 彎 曲 應(yīng) 力 的 力 矩 M cosα 及 一 引 起 扭 轉(zhuǎn) 剪 應(yīng) 力 的 扭 矩 T = M sinα . 因 α 很 小 ,故 T 的 作 用 可 以 忽 略 不 計(jì) . 而 M cosα ≈ M ,即 鋼 絲 剖 面 上 的 應(yīng) 力 ,可 以 近 似 地 按 受 彎 矩 的 梁 來 計(jì) 算 ,其 最 大 彎 曲 應(yīng) 力 及 變 形 為 : σ max = MW = 10. 2 Md3 (1) W — 圓 形 鋼 絲 抗 彎 載 面 模 量 , W = π d 3 32 ≈ 0. 1 d 3 . 扭 轉(zhuǎn) 鋼 絲 承 載 時(shí) 的 變 形 以 其 角 位 移 來 測 定 ,即 φ = 180 MD2 nEI (2) D2 — 螺 旋 彈 簧 中 徑 , n — 鋼 絲 圈 數(shù) , I — 慣 性 矩 . 扭 轉(zhuǎn) 剛 度 為 : K = Mφ = EI180 D 2 n = Ed 4 3 670 D2 n (3) 圖 2 螺 旋 鋼 絲 的 受 力 圖 圖 3 受 彎 矩 作 用 的 曲 桿 1. 2 螺 旋 鋼 絲 的 精 確 計(jì) 算 理 論 1. l 的 計(jì) 算 結(jié) 果 未 考 慮 螺 旋 鋼 絲 的 升 角 和 曲 率 的 影 響 ,因 而 不 能 直 接 用 來 計(jì) 算 鋼 絲 的 應(yīng) 力 和 變 形 . 為 獲 得 其 真 實(shí) 應(yīng) 力 及 變 形 ,將 螺 旋 鋼 絲 視 為 小 變 形 曲 桿 ,如 圖 3 所 示 . 考 察 單 元 體 abcd ,從 純 彎 曲 的 曲 桿 中 取 出 相 鄰 截 面 則 ad 及 bc ,此 二 截 面 間 的 夾 角 為 dφ ,設(shè) 曲 桿 中 心 線 半 徑 為 r , 其 中 性 軸 半 徑 為 r0 ,那 么 ,距 中 性 層 為 y 的 任 一 纖 維 1 — 1 的 原 長 為 ( r0 - y) dφ ,于 是 1 — 1 纖 維 的 應(yīng) 變 是 : ε = y △ (dφ )( r 0 - y) dφ (4) 忽 略 徑 向 應(yīng) 變 ,即 認(rèn) 為 各 纖 維 處 于 單 向 應(yīng) 力 狀 態(tài) ,故 任 一 纖 維 層 的 應(yīng) 力 為 : ·15·第 4 期 何 天 淳 ,姚 文 斌 : 受 扭 鋼 絲 軟 軸 的 強(qiáng) 度 及 剛 度 計(jì) 算 ? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. σ = Ey △ (dφ )( r 0 - y) dφ (5) 從 這 個(gè) 方 程 可 以 看 出 :纖 維 的 應(yīng) 變 和 應(yīng) 力 與 纖 維 至 中 性 層 的 距 離 y 成 雙 曲 線 關(guān) 系 . (5) 式 還 不 能 直 接 用 來 計(jì) 算 正 應(yīng) 力 ,因 為 ( r0 - y) 和 △ (dφ ) / dφ 尚 未 確 定 . 考 慮 靜 力 學(xué) 條 件 ,有 : ∫ σ d A = E △ (dφ )dφ ∫ yd Ar0 - y = 0 (6) d A 一 單 元 面 積 . M =∫ σ yd A = E △ (dφ )dφ ∫ y 2d A r0 - y = E △ d A dφ ∫ yd A (7) 由 (7) 式 有 : E △ (dφ ) dφ = M Ae (8) 代 入 (5) 式 得 : σ = M yAe ( r 0 - y) (9) 對(duì) 于 圓 截 面 螺 旋 鋼 絲 ,最 大 應(yīng) 力 出 現(xiàn) 在 r0 - y = r1 處 , 故 σ max = M ( r0 - r1)Aer 1 (10) 設(shè) 鋼 絲 截 面 直 徑 為 d ,則 由 (10) 式 得 : 圖 4 鋼 絲 截 面 圖 σ max = M ( d/ 2 - e)Ae ( r - d/ 2) (11) 上 式 中 e 值 待 定 ,為 求 e ,將 y = r0 - r1 代 入 方 程 (6) 則 ∫ r0 - r1r 1 d A = 0 (12) 由 (12) 式 得 : A =∫ r0r 0 - y d A (13) 由 圖 4 有 : y = d2 sinα - e , d y = d2 cosα dα , d A = d 2 2 cos 2α dα 代 入 (13) 式 得 : A =∫ π / 2 - π / 2 D2/ 2 - e D2 - dsinα d 2cos2α dα (14) 積 分 得 : A = π D2 - D22 - d2 D22 - e (15) 從 而 e = D24 - 14 D22 - d2 (16) 將 e 值 代 入 (11) 式 并 整 理 得 : σ max = 32 Mπ d3 · dD 2 · 2 dD 2 - 1 + 1 - dD 2 2 4 1 - dD 2 1 - 1 - d D2 2 (17) 令 λ = dD 2 ,由 (17) 式 得 : ·25· 昆 明 理 工 大 學(xué) 學(xué) 報(bào) 第 25 卷 ? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. σ max = 32 Mπ d3 · 2 + 2 1 - λ 2 - λ 4 (1 - λ ) (18) 因 λ = dD 2 ,當(dāng) d n D2 時(shí) ,λ 較 小 ,略 去 高 階 微 量 ,則 1 - λ 2 = 1 - λ 2 2 代 入 (18) 式 得 σ max = 32 Mπ d3 · 4 - λ - λ 2 4 (1 - λ ) (19) 令 c = 1λ = D2d , 則 由 (19) 式 得 : σ max = K1 · 32 Mπ d3 (20) 這 里 , K1 = 4 c 2 - c - 1 4 c ( c - 1) 稱 為 修 正 系 數(shù) , c 為 旋 繞 比 . 相 應(yīng) 地 ,螺 旋 鋼 絲 的 變 形 為 : φ =∫ l 0 M EI ds (21) l 為 螺 旋 鋼 絲 全 長 , l = π D2 n. 故 φ = 64 MD2 nEd4 (rad) (22a) φ ° = 3 670 MD2 nEd4 (° ) (22b) 扭 轉(zhuǎn) 剛 度 為 : K = Mφ ° = Ed 4 3 670 D2 n (23) 2 鋼 絲 軟 軸 的 強(qiáng) 度 、 剛 度 計(jì) 算 如 前 所 述 ,將 鋼 絲 軟 軸 視 為 螺 旋 鋼 絲 彈 簧 簇 . 為 保 證 其 正 常 工 作 ,并 充 分 發(fā) 揮 各 層 螺 旋 鋼 絲 的 作 用 , 應(yīng) 使 它 滿 足 以 下 幾 個(gè) 基 本 要 求 . (1) 各 層 鋼 絲 受 扭 矩 之 和 應(yīng) 等 于 總 的 外 加 扭 矩 ,即 M = M 1 + M 2 + … + M i + … + M m = ∑ m i = 1 M i (24a) (2) 各 層 鋼 絲 端 部 的 扭 轉(zhuǎn) 變 形 角 應(yīng) 相 等 φ ° 1 = φ ° 2 = … = φ ° i = … = φ ° m (24b) (3) 各 層 鋼 絲 的 應(yīng) 力 應(yīng) 相 等 σ 1 = σ 2 = … = σ i = … = σ m (24c) (4) 各 層 鋼 絲 的 并 緊 長 度 相 等 Hb = n1 d1 = n2 d2 = … = nm dm (24d) 根 據(jù) 以 上 關(guān) 系 ,可 計(jì) 算 出 組 合 螺 旋 鋼 絲 中 每 層 鋼 絲 所 受 的 扭 矩 ,然 后 再 進(jìn) 行 各 層 鋼 絲 其 它 參 數(shù) 的 計(jì) 算 . 以 下 推 導(dǎo) 鋼 絲 軟 軸 的 應(yīng) 力 及 變 形 . 設(shè) 鋼 絲 軟 軸 共 有 m 層 螺 旋 鋼 絲 ,第 i 層 鋼 絲 由 Zi 根 相 同 直 徑 的 鋼 絲 并 排 緊 密 纏 繞 而 成 . 將 (22a) 代 入 (24b) ,則 有 : 64 M 1 D21 n1 Ed41 = 64 M 2 D22 n2 Ed42 = … = 64 M mD2 m nm Ed4m = φ (25) M m 為 第 m 層 螺 旋 鋼 絲 每 根 鋼 絲 所 受 彎 矩 . 注 意 到 : Z1 n1 d1 = Z2 n2 d2 = … = Zm nm dm = Hb (25a) ·35·第 4 期 何 天 淳 ,姚 文 斌 : 受 扭 鋼 絲 軟 軸 的 強(qiáng) 度 及 剛 度 計(jì) 算 ? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 及 Z1 M 1 + Z2 M 2 + … + Zm M m = M (25b) 由 此 得 : M i = d 5 i ZiM D2 i ∑ m j = 1 Z2j d5j D2 j (25c) 從 而 得 第 i 層 螺 旋 鋼 絲 的 彎 曲 應(yīng) 力 σ i = Ki 32 d 2 i Zi M π D2 i ∑ m j = 1 Z2j d5j D2 j (25d) 將 (25c) 代 入 (25) ,則 得 鋼 絲 軟 軸 端 部 的 扭 轉(zhuǎn) 角 為 : φ = 64 HbM E ∑ m j = 1 Z2j d5j Dj (25e) 鋼 絲 軟 軸 的 扭 轉(zhuǎn) 剛 度 為 : K = Mφ = E ∑ m j = 1 Z2j d5j D2 j 64 Hb (25f) 鋼 絲 軟 軸 的 強(qiáng) 度 、 剛 度 條 件 為 : max{σ 1 ,σ 2 , … ,σ m } ≤ [σ ] , 3 670 M E ∑ m j = 1 Z2j d5j D2 j ≤ [φ ° ] 這 里 [φ ° ] 為 軟 軸 單 位 長 度 的 許 用 扭 轉(zhuǎn) 角 . 如 鋼 絲 軟 軸 中 各 根 鋼 絲 滿 足 等 強(qiáng) 度 條 件 ,則 K1 32 M 1π d3 1 = K2 32 M 2π d3 2 = … = Km 32 M mπ d3 m = σ (26) (25) ÷ (26) 得 : 2π D21 n1 K1 d1 E = 2π D22 n2 K2 d2 E = … 2π D2 m nm Km dm E = φ σ (27) 故 d2i = 4ξ D2 i (28) 這 里 ,ξ = π Hbσ2 K i Zi Eφ . 若 Ki 變 化 不 大 ,即 K1 = K2 = … = Km = K ,則 ξ = π σ Hb2 Kφ Z i E (28) 式 表 明 ,為 滿 足 等 強(qiáng) 度 條 件 ,鋼 絲 軟 軸 中 各 鋼 絲 層 的 材 料 截 面 直 徑 與 其 對(duì) 應(yīng) 的 中 徑 必 須 滿 足 拋 物 線 關(guān) 系 . 在 設(shè) 計(jì) 時(shí) ,先 假 定 旋 繞 比 C ,然 后 按 下 式 計(jì) 算 軟 軸 中 各 層 鋼 絲 直 徑 : di = 2π Hb[σ ] CE[φ ] Z i Ki 再 計(jì) 算 其 它 幾 何 尺 寸 . 3 算 例 分 析 混 凝 土 振 動(dòng) 器 鋼 絲 軟 軸 外 徑 D0 = 12. 3 mm ,該 軟 軸 由 四 層 相 同 材 料 的 細(xì) 鋼 絲 纏 繞 而 成 , E = 205 GPa ,各 層 纏 繞 的 鋼 絲 根 數(shù) 為 : Z1 = 3 , Z2 = 2 , Z3 = Z4 = 5 ,其 它 幾 何 參 數(shù) 為 : 軟 軸 取 樣 長 度 Hb = 120 ·45· 昆 明 理 工 大 學(xué) 學(xué) 報(bào) 第 25 卷 ? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. mm , d1 = 0. 8 mm , d2 = d3 = d4 = 1. 65 mm , D21 = 1. 6 mm , D22 = 4. 05 mm , D23 = 7. 35 mm , D24 = 10. 65 mm ,當(dāng) 鋼 絲 軟 軸 在 扭 轉(zhuǎn) 試 驗(yàn) 機(jī) 上 加 載 至 M = 6. 0 Nm 時(shí) 鋼 絲 軟 軸 開 始 屈 服 ,此 時(shí) 實(shí) 測 軟 軸 二 端 扭 轉(zhuǎn) 角 為 φ 測 = 145° . 由 (25d) 式 計(jì) 算 各 層 鋼 絲 的 彎 曲 應(yīng) 力 為 :σ 1 = 1. 415 621 × 103 MPa ,σ 2 = 1. 410 925 × 103 MPa ,σ 3 = 1. 614 564 × 103 MPa ,σ 4 = 1. 048 897 × 103 MPa ,由 (25e) 式 算 出 的 扭 轉(zhuǎn) 角 為 φ = 152. 982 7° ,抗 扭 剛 度 K = 0. 269 294 4 Nm2 . 從 以 上 計(jì) 算 結(jié) 果 可 知 ,鋼 絲 軟 軸 第 三 層 彎 曲 應(yīng) 力 最 大 ,第 一 層 、 第 二 層 次 之 ,第 四 層 彎 曲 應(yīng) 力 最 小 . 扭 轉(zhuǎn) 破 壞 試 驗(yàn) 結(jié) 果 表 明 :軟 輪 鋼 絲 首 先 從 第 三 層 破 壞 ,隨 后 因 承 載 能 力 下 降 ,第 二 層 ,第 一 層 鋼 絲 隨 之 斷 裂 . 經(jīng) 測 定 直 徑 d = 1. 65 mm 的 鋼 絲 屈 服 強(qiáng) 度 σ s = 1. 50 × 103 MPa ,抗 拉 強(qiáng) 度 σ b = 1. 75 × 103 MPa ,而 直 徑 d = 0. 8 mm的 鋼 絲 屈 服 強(qiáng) 度 σ s = 1. 70 × 103 MPa ,抗 拉 強(qiáng) 度 σ b = 2. 01 × 103 MPa ,與 本 文 結(jié) 果 基 本 吻 合 . 此 外 ,軟 軸 屈 服 時(shí) 測 試 扭 轉(zhuǎn) 角 與 試 驗(yàn) 角 也 能 吻 合 . 由 此 說 明 本 文 方 法 的 正 確 性 . 4 結(jié) 論 (1) 本 文 研 究 雖 未 考 慮 各 層 鋼 絲 之 間 的 相 互 摩 擦 和 擠 壓 ,但 計(jì) 算 結(jié) 果 與 實(shí) 測 結(jié) 果 基 本 符 合 ,能 滿 足 軟 軸 設(shè) 計(jì) 計(jì) 算 的 要 求 ; (2) 通 過 以 上 分 析 ,為 深 入 研 究 軟 軸 的 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 及 其 它 力 學(xué) 參 數(shù) (如 抗 彎 剛 度 、 抗 扭 剛 度 等 ) 奠 定 了 基 礎(chǔ) ; (3) 本 文 結(jié) 果 只 適 用 于 線 彈 性 范 圍 ,軟 軸 的 大 變 形 及 塑 性 分 析 尚 待 研 究 . 參 考 文 獻(xiàn) : [1 ] 蘇 翼 林 . 材 料 力 學(xué) . 北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,1979. 215～ 220. [2 ] [美 ]A· M· 沃 爾 . 機(jī) 械 彈 簧 . 譚 惠 民 等 譯 . 北 京 :國 防 工 業(yè) 出 版 社 ,1981. 335～ 339. [3 ] 徐 灝 . 新 編 機(jī) 械 設(shè) 計(jì) 師 手 冊(cè) . 北 京 :機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 ,1995. 1280～ 1300. Calculation of Strength and Stiffness of Flexiable Shaft Subjected to a Twisting Moment HE Tian - chun1 , YAO Wen - bin2 (1. Kunming University of Science and Technology , Kunming 650093 ,China ; 2. The Faculty of Architectural Engineering , Kunming University of Science and Technology , Kunming 650093 ,China) Abstract : Flexiable wire shaft may be considered as helical wire cluster composed of a number of different di2 ameters cylinder helical wire. Then the belical wire may be considered essentially as a curved bar subjected to a bending moment . According to the results of curved bar theory ,the formula of stress and deformation of heli2 cal torsion steel wire of single layer are produced. To assure smoothly work of flexiable shaft and make good use of each layer steel wire , the satisfied conditions of geometry parameters are given. Finally , the formula of stress and deformation of flexiable are obtained. Key words :flexiable shaft ; helical wire ; strength ; stress ;deformation ·55·第 4 期 何 天 淳 ,姚 文 斌 : 受 扭 鋼 絲 軟 軸 的 強(qiáng) 度 及 剛 度 計(jì) 算