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角的平分線的性質(zhì) 基礎(chǔ)鞏固 一、填空題 1．如圖1，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分線交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，則點(diǎn)D到AB的距離是 。 圖1 圖2 2．如圖2所示，在△ABC中，∠A＝90，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，則點(diǎn)D到BC的距離為________cm． 3．如圖3，已知BD是∠ABC的內(nèi)角平分線，CD是∠ACB的外角平分線，由D出發(fā)，作點(diǎn)D到BC、AC和AB的垂線DE、DF和DG，垂足分別為E、F、G，則DE、DF、DG的關(guān)系是 。 圖3 圖4 4．如圖4，已知AB∥CD，O為∠A、∠C的角平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于E，且OE=2，則兩平行線間AB、CD的距離等于 。 5．已知△ABC中，∠A=80，∠B和∠C的角平分線交于O點(diǎn)，則∠BOC= 。 二、選擇題 6．如圖5，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點(diǎn)，設(shè)PB＝，PC＝，AB＝，AC＝，則與的大小關(guān)系是（ ） A、＞ B、＜ C、＝ D、無(wú)法確定 圖5 圖6 7．已知Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，則D到AB邊的距離為( ) A．18 B．16 C．14 D．12 8．如圖6，AE⊥BC于E，CA為∠BAE的角平分線，AD=AE，連結(jié)CD，則下列結(jié)論不正確的是( ) A．CD=CE B．∠ACD=∠ACE C．∠CDA =90 D．∠BCD=∠ACD 9．在△ABC中，∠B=∠ACB，CD是∠ACB的角平分線，已知∠ADC=105，則∠A的度數(shù)為( ) A．40 B．36 C．70 D．60 10．在以下結(jié)論中，不正確的是( ) A．平面內(nèi)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)一定在角平分線上 B．角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊的距離一定相等 C．一個(gè)角只有一條角平分線 D．角的平分線有時(shí)是直線，有時(shí)是線段 三、解答題 11．如圖7所示，AE是∠BAC的角平分線，EB⊥AB于B，EC⊥AC于C，D是AE上一點(diǎn)，求證：BD=CD。 圖7 圖8圖9 12．如圖8，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。求證：點(diǎn)D在∠BAC的角平分線上。 13．如圖9，∠AOP=∠BOP，AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD與BC交于點(diǎn)P。求證：AP=BP。 綜合提高 一、填空題 圖11 14．如圖10，已知相交直線AB和CD，及另一直線EF。如果要在EF上找出與AB、CD距離相等的點(diǎn)，方法是 ，這樣的點(diǎn)至少有 個(gè)，最多有 個(gè)。 圖10 15．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周長(zhǎng)為23cm，BC=4 cm，則△DEF的邊中必有一條邊等于______。 16．在△ABC中，∠C=90，BC=4CM，∠BAC的平分線交BC于D，且BD︰DC=5︰3，則D到AB的距離為_____________。 17．∠B=∠C=90，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，∠CED=35，如圖11，則∠EAB的度數(shù)是 。 18．△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的角平分線的交點(diǎn)為O，連結(jié)AO，若S△AOB=6cm2，則S△AOB= 。 二、選擇題 19．如圖12所示，已知△ABC中，∠C=90，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB=6 cm,則△DEB的周長(zhǎng)為( )。 A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能確定 圖12 20．下列命題中正確的是（ ） A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中線相等 C．全等三角形的角平分線相等 D．全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線相等 圖13 21．如圖13， ∠AOB和一條定長(zhǎng)線段A，在∠AOB內(nèi)找一點(diǎn)P，使P 到OA、OB的距離都等于A，做法如下：（1）作OB的垂線NH，使NH=A，H為垂足．（2）過(guò)N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分線OP，與NM交于P．（4）點(diǎn)P即為所求．其中（3）的依據(jù)是（ ） A．平行線之間的距離處處相等 B．到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上 C．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 A D C B 圖14 E F D．到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上 22．如圖14，P是∠BAC的平分線AD上一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列結(jié)論中不正確的是（　?。? A．DE=DF　 　 B．AE=AF C．△ADE≌△ADF　　D．AD=DE+DF 23．直角三角形兩銳角的角平分線所交成的角的度數(shù)是（ ） A．45 B．135 C．45或135 D．都不對(duì) A B F C D 圖15 三、解答題 24．如圖15，△ABC的邊BC的中垂線DF交△BAC的外角平分線AD于D, F為垂足, DE⊥AB于E，且AB>AC，求證：BE－AC=AE． 25．如圖16所示，已知AD為等腰三角形ABC的底角的平分線，∠C＝90，求證：AB＝AC＋CD． 圖16 拓展探究 一、解答題 26．如圖17， △ABC的邊BC的中垂線DF交△BAC的外角平分線AD于D， F為垂足， DE⊥AB于E， 且AB>AC 求證：BE－AC=AE． 圖19 圖17圖18 27．如圖18，已知AD∥BC， ∠DAB和∠ABC的平分線交于E， 過(guò)E的直線交AD于D， 交BC于C， 求證: DE=EC． 28．如圖19，已知AC∥BD、EA、EB分別平分∠CAB和△DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． 參考答案 基礎(chǔ)鞏固 一、填空題 1. 15； 2. 2； 3. DE=DF=DG； 4. 4； 5. 130 二、選擇題 6.A 7.C 8.D 9.A 10.D 三、解答題 11．證：先證Rt△ACE≌Rt△ABE，推出AB=AC。再證△ABD≌△ACD(或△DCE≌△DBE)，得出DC=DB。 12．證：在△DBE和△DCF中， 所以△DBE≌△DCF(AAS)。∴DE=DF。 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴點(diǎn)D在∠BAC的角平分線上。 13．證：∵∠AOP=∠BOP，AD⊥OB，BC⊥OA，∴PC=PD 在△ACP和△BDP中，，∴△APC≌△BPD ∴AP=BP。 綜合提高 一、填空題 14. 作∠AOD、∠AOC(或∠BOD)的平分線與EF的交點(diǎn)；1；2 15. 4cm或9.5cm 16. 1.5cm 17. 35 18. 6cm2 二、選擇題 19.C 20.D 21.B 22.D 23.C 三、解答題 24．證：過(guò)D作DN⊥AC, 垂足為N, 連結(jié)DB、DC則DN=DE，DB=DC，又∵DE⊥AB, DN⊥AC, ∴Rt△DBE≌Rt△DCN， ∴BE=CN．又∵AD=AD，DE=DN，∴Rt△DEA≌Rt△DNA，∴AN=AE，∴BE=AC+AN=AC+AE，∴BE－AC=AE． B A C E D 圖1 25．證一（截長(zhǎng)法）：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)D作BD⊥AB于E， ∵AD是∠BAC的平分線 ∴∠CAD＝∠EAD，又∠DEA＝∠DCA且AD公共，∴△ADE≌△ACD（AAS），∴　AE＝AC，CD＝DE 在△DEB中，∵∠B＝45，∠DEB＝90， ∴△EBD是等腰直角三角形．∴DE＝EB，∴CD＝EB． ∴AC＋CD＝AE＋EB，即AC＋CD＝AB． 證法二（補(bǔ)短法）： 如圖2所示，在AC的延長(zhǎng)線上截取CM＝CD，連結(jié)DM． A B C M D 圖2 在△MCD中，∠MCD＝90，CD＝CM ∴△MCD是等腰直角三角形．∴∠M＝45 又∵在等腰直角三角形中，∠B＝45 ∴∠M＝∠B＝45　又∵AD平分∠CAD ∴在△MAD與△BAD中 ∴△MAD≌△BAD（AAS）∴MA＝AB，即AC＋CD＝AB． 拓展探究 一、解答題 26．證：過(guò)D作DN⊥AC， 垂足為N， 連結(jié)DB、DC，則DN=DE， DB=DC 又∵DE⊥AB， DN⊥AC， ∴Rt△DBE≌Rt△DCN， ∴BE=CN 又∵AD=AD， DE=DN，∴Rt△DEA≌Rt△DNA ∴AN=AE ∴BE=AC+AN=AC+AE ∴BE－AC=AE 圖3 27．證：在AB上截取AF=AD?！逜E是∠DAF的平分線(已知) ∴∠DAE=∠FAE(角平分線定義) 在△DAE和△FAE中，∴△DAE≌△FAE(SAS) ∴DE=FE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)∴∠D=∠AFE(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等) ∵∠AFE+∠BFE=1800(鄰補(bǔ)角定義) 又AD∥BC(已知) ∴∠D+∠C=1800(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)) ∴∠BFE=∠C(等角的補(bǔ)角相等) ∵BE是∠ABC的平分線(已知)∴∠FBE=∠CBE(角平分線定義) 在△FBE和△CBE中∴△FBE≌△CBE(AAS) ∴FE=CE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等) ∴DE=EC． 圖4 28．結(jié)果：相等． 證法一：如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結(jié)EF． 在△ACE和△AFE中， ∴△ACE≌△AFE（SAS） ∠6=∠D 在△EFB和△BDE中， ∴△EFB≌△EDB（AAS） ∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB 證法二：如圖（2），延長(zhǎng)BE，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F ∠F=∠3 在△AEF和△AEB中， ∴△AEF≌△AEB（AAS）∴AB=AF，BE=FE 在△BED和△FEC中， ∴△BED≌△FEC（ASA） ∴BD=FC ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．