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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題 理(III) 一、選擇題：（每題5分，共60分） 1、若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于(　　)． A．－1 B．－2 C．2 D．0 2、函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是 (　　)． A．－2 B．0 C．2 D．4 3、若直線y＝m與y＝3x－x3的圖象有三個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)． A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 4、(ex＋2x)dx等于 (　　)． A．1 B．e－1 C．e D．e＋1 5、已知橢圓+=1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(-4,0),則m=　(　　) A.9 B.4 C.3 D.2 6、下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是（ ） A、 B、 C、 D、 7、在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式xf′(x)<0的解集為(　　)． A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 8、已知對任意實(shí)數(shù)，有，且時，，則時（ ） A． B． C． D． 9、如圖所示，曲線y＝x2和直線x＝0，x＝1及y＝，所圍成的圖形(陰影部分)的面積為 (　　)． A. B. C. D. 10、已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如右圖所示，則該函數(shù)的圖象是 (　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11、一物體在力F(x)＝(單位：N)的作用下沿與力F(x)相同的方向運(yùn)動了4米，力F(x)做功為 (　　)． A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J 12、函數(shù)y＝ln x(x>0)的圖象與直線y＝x＋a相切，則a等于(　　)． A．2ln 2 B．ln 2＋1 C．ln 2 D．ln 2－1 二、填空題：（每題5分，共20分） 13、若拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個焦點(diǎn),則p=　　　　　　. 14、定積分dx的值為________． 15、已知函數(shù)f(x)＝mx2＋ln x－2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 16、曲線f(x)＝ex－f(0)x＋x2 在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為________． 三、解答題：（共70分） 17、（10分）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bln x在x＝1處有極值. (1)求a，b的值； (2)判斷函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間． 18、（12分）設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－kx2. (1)當(dāng)k＝1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 19、（12分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍． 20、（12分）某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)． (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大． 21、（12分）已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,點(diǎn)(2,)在C上. (1)求C的方程. (2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸, l與C有兩個交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值. 22、（12分）已知函數(shù)f(x)＝(k為常數(shù)，e＝2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行． (1)求k的值； (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)設(shè)g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意x>0，g(x)<1＋e－2. 安徽省郎溪中學(xué)高二xx第二學(xué)期第一次月考 理科數(shù)學(xué)試題答案 一、選擇題： BCACC,CABDB,BD 二、填空題： 2， ， [1，＋∞)， y＝ex－ 三、解答題： 17、解　(1)f′(x)＝2ax＋，又f(x)在x＝1處有極值. ∴即 解得a＝，b＝－1. (2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定義域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝. 令f′(x)＝0，解得x＝1或－1(舍去)． 當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  極小值  所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)增區(qū)間是(1，＋∞)． 18、解　(1)當(dāng)k＝1時，f(x)＝(x－1)ex－x2， ∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)． 令f′(x)>0，即x(ex－2)>0， ∴x>ln 2或x<0. 令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴00)． 當(dāng)x變化時f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1)，(a，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(－1，a)． (2)由(1)知f(x)在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間(－1,0)內(nèi)單調(diào)遞減．從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)解得0＜a＜. 所以，a的取值范圍是. 20、解　(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為1002πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元． 又根據(jù)題意200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝(300－4r2)，從而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)． 因?yàn)閞>0，又由h>0可得r<5， 故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5)． (2)因?yàn)閂(r)＝(300r－4r3)， 所以V′(r)＝(300－12r2)． 令V′(r)＝0，解得r＝5或－5(因?yàn)閞＝－5不在定義域內(nèi)，舍去)． 當(dāng)r∈(0,5)時，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)； 當(dāng)r∈(5,5)時，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)． 由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時h＝8. 即當(dāng)r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大． 21、解(1) 由題意有，，解得，所以C的方程為. (2)設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0), A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 將y=kx+b代入得. ，. 于是直線的斜率，即 所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值. 22、解(1)由f(x)＝， 得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)． 由于曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線與x軸平行， 所以f′(1)＝0，因此k＝1. (3分) (2)由(1)知，f′(x)＝，x∈(0，＋∞)． 設(shè)h(x)＝－ln x－1，則h′(x)＝－－<0， 即h(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)， (5分) 由h(1)＝0知，當(dāng)00，從而f′(x)>0， 當(dāng)x>1時，h(x)<0，從而f′(x)<0. 綜上可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，＋∞)． (8分) (3)由(2)可知，當(dāng)x≥1時，g(x)＝xf′(x)≤0<1＋e－2， 故只需證明g(x)<1＋e－2在01，且g(x)>0， ∴g(x)＝<1－xln x－x. (10分) 設(shè)F(x)＝1－xln x－x，x∈(0,1)， 則F′(x)＝－(ln x＋2)， 當(dāng)x∈(0，e－2)時，F(xiàn)′(x)>0，當(dāng)x∈(e－2,1)時，F(xiàn)′(x)<0， 所以當(dāng)x＝e－2時，F(xiàn)(x)取得最大值F(e－2)＝1＋e－2. 所以g(x)0，g(x)<1＋e－2.