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2019-2020年高中數學 第5章 矩陣的特征值與特征向量（一）同步練習 北師大版選修4-2 1、矩陣的特征值是( ) A、 B、 C、 D、 2、零為矩陣A的特征值是A為不可逆的( ) A、充分條件 B、必要條件 C、充要條件 D、非充分非必要條件 3、給定矩陣及向量，對任意的向量，則 。 4、矩陣的特征值是 。 5、已知矩陣有特征值及對應特征向量，并有特征值及對應向量，則矩陣A= 。 6、，則。 7、的特征值為_____________。 8、求矩陣的特征值和特征向量。 9、給定矩陣M=及向量， (1)求M的特征值及對應的特征向量； (2)確定實數a,b使向量可表示為； (3)利用(2)中表達式間接計算。 10、對下列兔子、狐狐貍模型進行分析： ① ② (1)分別確定以上模型對應矩陣的特征值； (2)分別確定以上模型最大特征值對應的特征向量,及較小特征值對應的特征向量: (3)如果初始種群中兔子與狐貍的數量,分別把第n年種群中兔子與狐貍的數量表示為和的線性組合,即； (4)利用(3)中表達式分析當n越來越大時, 的變化趨勢。 參考答案： 1、A 2、C 3、 4、 5、 6、 7、 8、；屬于特征值的一個特征向量為，的一個特征向量為。 解：矩陣M的特征值滿足方程： 解得矩陣M的兩個特征值： 。 （1）設屬于特征值的特征向量為，則它滿足方程，即 ，亦即， 則可取作為屬于特征值的一個特征向量。 （2）同理可得的一個特征向量為。 9、（1）；的一個特征向量為，的特征向量為； （2）； （3）； 。 10、令，則模型①可表示為， （1）矩陣M有兩個特征值：； （2）屬于最大特征值的特征向量，屬于較小特征值的特征向量??； （3）由則 即 （4）當n越來越大時，越來越大，并趨向于無窮大，則和分別越來越大，趨向于無窮大。說明在此模型下，兔子和狐貍的數量將隨時間增加而增加。