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數(shù)學(xué)物理方法,傅立葉變換,傅里葉生平,1768年生于法國 1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)的級數(shù)表示” 1822年發(fā)表“熱的分析理論”，首次提出“任何非周期信號都可用正弦函數(shù)的積分表示”,傅立葉變換,傅立葉級數(shù) 傅立葉變換 狄拉克函數(shù) 本章小結(jié),傅立葉級數(shù),三角級數(shù) 定義 由周期為2π的正弦和余弦函數(shù)的線性組合而成的無窮級數(shù),基本函數(shù)族 組成：1，cos(nx)，sin(nx) 性質(zhì)：任意兩個在一個周期上的積分等于0，稱為正交性；,傅立葉級數(shù),傅立葉展開 傅立葉展開定理： 周期為2π的函數(shù)f(x) 可以展開為三角級數(shù)， 展開式系數(shù)為,狄利克雷收斂定理 收斂條件 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點； 在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點。 收斂結(jié)果 當(dāng)x是連續(xù)點時，級數(shù)收斂于該點的函數(shù)值； 當(dāng)x是間斷點時，級數(shù)收斂于該點左右極限的平均值。,傅立葉級數(shù),展開舉例 對稱函數(shù) 對奇函數(shù)：,對偶函數(shù)：,典型周期函數(shù)(周期為2π),傅立葉級數(shù),傅立葉展開的意義： 理論意義：把復(fù)雜的周期函數(shù)用簡單的三角級數(shù)表示； 應(yīng)用意義：用三角函數(shù)之和近似表示復(fù)雜的周期函數(shù)。 例如：對稱方波的傅立葉展開,傅立葉級數(shù),重要推廣 推廣1： 問題：把周期為T=2L的函數(shù)f(t)的展開： 方法：對基本公式作變換x→πt/L，,傅立葉級數(shù),推廣2 問題：把定義在 [-L, L] 上的函數(shù) f(t)展開； 方法：先把它延拓為周期函數(shù)(即把它當(dāng)成是一個周期 為2L的函數(shù)的一部分)， 再按推廣1展開； 注意：所得到的級數(shù)僅在原定義范圍中與f(t)一致。 延拓前 延拓后,傅立葉級數(shù),推廣3 問題：把定義在 [0, L] 上的函數(shù) f(x)展開； 方法：先把它延拓為[-L, L]上的奇函數(shù)或偶函數(shù)， 再按推廣2把它延拓為周期函數(shù)， 最后按推廣1展開； 注意：所得到的級數(shù)僅在原定義范圍中與f(x)一致。 公式：,傅立葉級數(shù),展開的復(fù)數(shù)形式 展開公式：,基本函數(shù)族：,正交性：,展開系數(shù)：,傅立葉變換,非周期函數(shù)的傅立葉展開 問題： 把定義在（－∞，∞）中的非周期函數(shù) f (x)展開； 思路： 把該函數(shù)定義在（－L，L）中的部分展開，再令L→∞； 實施： 展開公式,展開系數(shù)：,困難 展開系數(shù) cn 為無窮?。?冪指數(shù) n?x/L 不確定。,傅立葉變換,解決方法： 把 nπ/L 作為新變量，即定義ωn = nπ/L ； 把 cnL/π作為新的展開系數(shù)，即定義F(ωn)=cnL/π. 公式的新形式： 展開公式：,展開系數(shù)：,取極限： 傅立葉變換：,傅立葉積分：,傅立葉變換,例題1 矩形函數(shù)的定義為,求矩形脈沖 x (t) = rect(t/2T1)的傅立葉變換。 解：,傅立葉變換,例題2 將矩形脈沖 f (t) = h rect(t/2T)展開為傅立葉積分。 解： 先求出 f (t) 的傅立葉變換,代入傅立葉積分公式，得,例題3 求對稱指數(shù)函數(shù)f(t)的傅立葉變換,傅立葉變換,傅立葉變換,傅立葉變換的意義 數(shù)學(xué)意義 從一個函數(shù)空間(集合)到另一個函數(shù)空間(集合)的映射； f(x)稱為變換的原函數(shù)(相當(dāng)于自變量)，F(xiàn)(ω)稱為象函數(shù)。 應(yīng)用意義 把任意函數(shù)分解為簡單周期函數(shù)之和，F(xiàn)(ω)的自變量為頻率，函數(shù)值為對應(yīng)的振幅。 物理意義 把一般運動分解為簡諧運動的疊加； 把一般電磁波(光)分解為單色電磁波(光)的疊加。 物理實現(xiàn) 分解方法：棱鏡光譜儀、光柵光譜儀； 記錄方式：(用照相底版)攝譜儀、(用光電探測器)光度計。,傅立葉變換,傅立葉變換的性質(zhì) 一般假定 f(x) → F(ω)， g(x) → G(ω) 奇偶虛實性 f(x)為偶函數(shù)，F(xiàn)(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)為實函數(shù)； f(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)為虛函數(shù) 線性性質(zhì) k f(x) → k F(ω)； f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω) 分析性質(zhì) f ’(x) → iωF(ω)；,傅立葉變換,位移性質(zhì) f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ； exp(iφx)f(x) → F(ω-φ) 相似性質(zhì) f(ax) → F(ω/a)/a； f(x/b)/b → F(bω) 。 卷積性質(zhì) f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω)； f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ 對稱性質(zhì) 正變換與逆變換具有某種對稱性； 適當(dāng)調(diào)整定義中的系數(shù)后，可以使對稱性更加明顯。,傅立葉變換,應(yīng)用舉例,傅立葉變換,推廣 推廣1 問題：把定義在 [0, ∞) 上的函數(shù) f(t)展開； 方法：先把它延拓為(-∞,∞)上的奇函數(shù)或偶函數(shù)， 再按公式進(jìn)行傅立葉變換； 注意： 偶函數(shù)滿足條件f’(0)=0，形式為 f(|t|)； 奇函數(shù)滿足條件f(0)=0，形式為 sgn(t)f(|t|). 結(jié)果：所得到的傅立葉積分僅在原定義范圍中與f(t)一致。,傅立葉變換,推廣2 問題：多元函數(shù)的傅立葉變換 公式：,狄拉克函數(shù),概念 問題 質(zhì)點的密度函數(shù)如何表示？ 思路 質(zhì)點是物體在尺度趨于零時的理想模型； 一個位于原點的單位質(zhì)點，可以看成一個線密度為h rect(hx)的物體在寬度d=1/h趨向零時的極限； 極限密度為δ(x)=lim h→∞ h rect(hx) 一般定義,狄拉克函數(shù),狄拉克函數(shù),性質(zhì) 奇偶性質(zhì) δ(-x)=δ(x)， δ’(-x)=δ’(x) 分析性質(zhì),選擇性質(zhì) ∫f(x)δ(x-a)dx=f(a)，∫f ’(x)δ(x-a)dx=-f’(a) 變換性質(zhì),狄拉克函數(shù),狄拉克函數(shù)的應(yīng)用 描述功能 位于x=a處質(zhì)量為m的質(zhì)點，質(zhì)量線密度為mδ(x-a)； 位于x=a處電量為q的點電荷，電荷線密度為qδ(x-a)； 位于t=a時刻強度為I的脈沖信號，信號函數(shù)為Iδ(t-a)； 分解功能 質(zhì)量密度為ρ(x)的物體，可分解為質(zhì)點的空間疊加 ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da 電荷密度為ρ(x)的帶電體，可分解為點電荷的空間疊加 ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da 信號函數(shù)為ρ(t)的信號，可分解為脈沖信號的時間疊加 ρ(t) = ∫ρ(a)δ(a-t)da,狄拉克函數(shù),計算功能 計算函數(shù)在間斷點的導(dǎo)數(shù)； 計算特別函數(shù)的傅立葉變換。 例題1 計算f(x) = sgn(x)的導(dǎo)函數(shù)。 解： sgn(x) = 2 H(x) - 1 sgn’(x) = 2 H’(x) = 2δ(x) 例題2 計算 f(x) = |x| 的傅立葉變換。 解：,狄拉克函數(shù),狄拉克函數(shù)的推廣 問題： 三維空間中的質(zhì)點的密度、點電荷的電荷密度。 三維狄拉克函數(shù)： δ(r)=δ(x,y,z)=δ(x)δ(y)δ(z) 應(yīng)用 位于r=a處質(zhì)量為m的質(zhì)點，質(zhì)量體密度為mδ(r-a)； 位于r=a處電量為q的點電荷，電荷體密度為qδ(r-a)；,本章小結(jié),傅立葉級數(shù) 周期函數(shù)的三角展開公式； 基本三角函數(shù)的性質(zhì)。 傅立葉變換 非周期函數(shù)的三角展開公式； 傅立葉變換的性質(zhì)。 狄拉克函數(shù) 狄拉克函數(shù)概念； 狄拉克函數(shù)性質(zhì)； 狄拉克函數(shù)功能。,作 業(yè),P73 6-2 6-4:(3) 6-5:(1) 6-6:(3) 6-7:(1),