九年級數(shù)學上學期一元二次方程暑假導學案人教版.doc
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教學資料參考范本九年級數(shù)學上學期 一元二次方程暑假導學案 人教版撰寫人:_時 間:_【學習目標】1.一元二次方程的定義、各項系數(shù)的辨別,根的作用根的作用的理解 2.通過提出問題,建立一元二次方程的數(shù)學模型,再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念【自主探究一】1.如圖,有一塊矩形鐵皮,長100 cm,寬50 cm在它的四個角分別切去一個正方形,然后將四周突出的部分折起,就能制作一個無蓋方盒如果要制作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2,那么鐵皮各角應切去多大的正方形? 解:只列方程: 。2.再觀察下列各式:1. 2. 3. 4. 問題一:上面1、2題目中含有 個未知數(shù)?問題二:按照整式中的多項式的規(guī)定,它們最高次數(shù)是 次?類比一元一次方程的定義,那么上面的方程叫做 。方程的特點:(1)都只含一個未知數(shù)x;(2)它們的最高次數(shù)都是2次的;歸納一元二次方程定義:只含有 ,并且未知數(shù)的 為 的 方程,叫做一元二次方程【知識梳理】一般地,任何一個關于x的一元二次方程,經過整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a0)這種形式叫做一元二次方程的一般形式 一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0(a0)后,其中ax2是二次項,a是二次項系數(shù);bx是一次項,b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項【典例分析】例1.將方程化成一元二次方程的一般形式,并指出各項系數(shù)解:去括號得 ,移項,合并同類項,得一元二次方程的一般形式其中二次項系數(shù)是3,一次項系數(shù)是8,常數(shù)項是10【嘗試練習】1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出各項系數(shù)1. (2x-1)=7 2. 【自主探究二】1.什么是一元一次方程的解?一個一元一次方程有幾個解?2你能猜測方程的解是什么嗎?那一元二次方程應該有幾個解?【小試牛刀】1將方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項、二次項系數(shù);一次項、一次項系數(shù);常數(shù)項2你能根據(jù)所學過的知識解出下列方程的解嗎?(1);(2)【應用拓展】 求證:關于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不論m取何值,該方程都是一元二次方程 22.2降次解一元二次方程(1)(第2課時)【學習目標】1.本節(jié)課主要學習運用直接開平方法,即根據(jù)平方根的意義把一個一元二次方程“降次”,轉化為兩個一元一次方程2.運用開平方法解形如(m x+ n)2=p(p0)的方程3.通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程,知識遷移到解形如(m x+ n)2=p(p0)的方程體會由未知向已知轉化的思想方法【復習引入】1求出下列各式中x的值,并說說你的理由(1)x2=9 (2)x2=5 (3)x2=a(a0)【自主探究】一桶某種油漆可刷的面積為1 500 dm2,李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體的盒子的全部外表,你能算出盒子的棱長嗎?解:設, 列方程, 猜想上述方程的解為: 【嘗試練習】問題1:對照上述解方程的過程,你能解下列方程嗎?從中你能得到什么結論?(1);(提示:開平方得到)(2)【知識梳理】:1簡單的解一元二次方程的思想“降次”把二次降為一次,進而解一元一次方程即在解一元二次方程時通常通過“降次”把它轉化為兩個一元一次方程2如果方程能化成或的形式,那么直接開平方可得或【鞏固練習】解下列方程1x2-3=0 24x2-9=0 3. 4x2+4x+1=1 4. x2-6x+9=0【拓展練習】 市政府計劃2年內將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面積增長率 22.2降次解一元二次方程(2)配方法(第3課時)【學習目標】1.本節(jié)課主要學習運用配方法,即通過變形運用開平方法降次解方程。2.探索利用配方法解一元二次方程的一般步驟;能夠利用配方法解一元二次方程。滲透配方法是解決某些代數(shù)問題的一個很重要的方法【復習引入】請同學們解下列方程(1)3x2-1=5 (2)4(x-1)2-9=0 (3)4x2+16x+16=9知識歸納:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p0)的形式,那么可得x=或mx+n=(p0)如:4x2+16x+16=(2x+4)2【典例分析】例1,要使一塊矩形場地的長比寬多6 cm,并且面積為16 cm2,場地的長和寬分別是多少?分析:設場地的寬為x m,則長為 m,根據(jù)矩形面積為16 cm2,得到方程 16,整理得到x2+6x160,如何解方程x2+6x160?只要把上述方程左邊化成一個完全平方式的形式,問題就解決了,于是想到把方程左邊進行配方,對于代數(shù)式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式(x3)2,因此方程x2+6x=16可以化為x2+6x9=169,即 25,問題解決。小結:通過配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫作配方法;配方的目的是為了降次,把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程。例2. (配方法) 解:移項,得 由此可得, 所以,【小試牛刀】1. 2. 【階段總結】1.利用上面配方法解方程的過程,你能從中得到在配方時具有的規(guī)律嗎?(1)x28x + 1 = 0;(2);(3)(1)中經過移項可以化為,為了使方程的左邊變?yōu)橥耆椒绞?,可以在方程兩邊同時加上42,得到,得到(x4)2=15;(2)中二次項系數(shù)不是1,此時可以首先把方程的兩邊同時除以二次項系數(shù)2,然后再進行配方,即,方程兩邊都加上,方程可以化為;2.配方法解方程時應該遵循的步驟:(1)把方程化為一般形式;(2)把方程的常數(shù)項通過移項移到方程的右邊;(3)方程兩邊同時除以二次項系數(shù)a;(4)方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方;(5)此時方程的左邊是一個完全平方式,然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個一元一次方程來解【鞏固練習】解下列方程 (1)x2+2x-35=0 (2)2x2-4x-1=0【應用拓展】 例:如圖,在RtACB中,C=90,AC=8m,CB=6m,點P、Q同時由A,B兩點出發(fā)分別沿AC、BC方向向點C勻速移動,它們的速度都是1m/s,幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半 解:設x秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半 22.2降次解一元二次方程(3)(第4課時)【學習目標】1用公式法解一元二次方程。2掌握一元二次方程求根公式的推導,會運用公式法解一元二次方程3通過求根公式的推導,培養(yǎng)學生數(shù)學推理的嚴密性及嚴謹性【復習引入】1.用配方法解下列方程 (1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52【自主探索】提出問題:如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a0),你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根?例,已知ax2+bx+c=0(a0)且b2-4ac0,試推導它的兩個根為x1=,x2=提示:因為前面具體數(shù)字已做得很多,我們現(xiàn)在不妨把a、b、c也當成一個具體數(shù)字,根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去 解:移項,得: 二次項系數(shù)化為1,得 配方,得:x2+x+( )2=-+( )2 即(x+)2= 且4a20 0 直接開平方,得:x+= 即x= x1=,x2=注意: ()即是一元二次方程的求根公式。例2利用公式法解下列方程,從中你能發(fā)現(xiàn)什么?(1)(2)(3)總結步驟:1.確定的值、2.算出的值、3.代入求根公式求解(1)一元二次方程的根是由一元二次方程的系數(shù)確定的;(2)在解一元二次方程時,可先把方程化為一般形式,然后在的前提下,把的值代入 ()中,可求得方程的兩個根;(3)我們把公式()稱為一元二次方程的求根公式,用此公式解一元二次方程的方法叫公式法;(4)由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個實數(shù)根【鞏固練習】用公式法解下列方程(1)x2-5x-6=0 (2)7x2+2x-1=0 (3)3x2-5x+2=0(4)5x2+2x-6=0 (5)4x2-7x+2=0 (6)2x2-x-=0【應用拓展】例:某數(shù)學興趣小組對關于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0提出了下面的問題若使方程為一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程22.2降次解一元二次方程(4)(第5課時)【學習目標】1.用根的判別式b2-4ac來判別ax2+bx+c=0(a0)的根的情況及其運用。2.掌握b2-4ac0,ax2+bx+c=0(a0)有兩個不等的實根,反之也成立;b2-4ac=0,ax2+bx+c=0(a0)有兩個相等的實數(shù)根,反之也成立;b2-4ac0,方程有 ;(2)b2-4ac=12-12=0,方程 ;(3)b2-4ac=-441=0(0時,根據(jù)平方根的意義,等于一個具體數(shù),所以一元一次方程的x1=x1=,即有兩個不相等的實根當b2-4ac=0時,根據(jù)平方根的意義=0,所以x1=x2=,即有兩個相等的實根;當b2-4ac0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個不相等實數(shù)根即x1=,x2= (2)當b-4ac=0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個相等實數(shù)根即x1=x2= (3)當b2-4ac0時,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)沒有實數(shù)根22.2降次解一元二次方程(5)(第6課時)【學習目標】1應用分解因式法解一些一元二次方程2能根據(jù)具體一元二次方程的特征,靈活選擇方程的解法3體會“降次”化歸的思想?!緩土曇搿拷庀铝蟹匠蹋?)2x2+x=0(用配方法) (2)3x2+6x=0(用公式法)【自主探究】例題,仔細觀察方程特征,除配方法或公式法,你能找到其它的解法嗎?(1)上面兩個方程中有沒有常數(shù)項?(2)等式左邊的各項有沒有共同因式?上面兩個方程中都沒有常數(shù)項;左邊都可以因式分解:2x2+x= ,3x2+6x= 因此,上面兩個方程都可以寫成:(1)x(2x+1)=0 所以x=0或2x+1=0,因此,x1=0,x2=-你知道為什么嗎?我認為: 。(2)3x(x+2)=0解:【知識梳理】1.上述兩個方程中,其解法都不是用開平方降次,而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次,這種解法叫做因式分解法2.歸納:利用因式分解使方程化為兩個一次式乘積等于0的形式,再使這兩個一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次這種解法叫作因式分解法【小試牛刀】通過解下列方程,你能發(fā)現(xiàn)在解一元二次方程的過程中需要注意什么?(1);(2); (3);(4)【鞏固練習】1根據(jù)物理學規(guī)律,如果把一個物體從地面以10 m/s的速度豎直上拋,那么經過x s物體離地面的高度(單位:m)為 你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經過多少秒回到地面嗎?2 解下列方程112(2-x)2-9=0 2x2+x(x-5)=022.2降次解一元二次方程(6)(第7課時)十字相乘法分解因式【閱讀理解】閱讀:我們知道x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0就可轉化為(x-a)(x-b)=0,請你用上面的方法解下列方程(1)x2-3x-4=0 (2)x2-7x+6=0 (3)x2+4x-5=0 提示:二次三項式x2-(a+b)x+ab的最大特點是x2項是由xx而成,常數(shù)項ab是由-a(-b)而成的,而一次項是由-ax+(-bx)交叉相乘而成的根據(jù)上面的分析,我們可以對上面的三題分解因式 【鞏固練習】 1. 2.【閱讀】配方法、公式法、因式分解法聯(lián)系與區(qū)別:聯(lián)系:降次,即它的解題的基本思想是:將二次方程化為一次方程,即降次公式法是由配方法推導而得到配方法、公式法適用于所有一元二次方程,因式分解法適用于某些一元二次方程區(qū)別:配方法要先配方,再開方求根公式法直接利用公式求根因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘,另一邊為0,再分別使各一次因式等于0。 22.24一元二次方程根與系數(shù)之間的關系(第8課時) 【學習目標】(1)掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系。(2)能運用根與系數(shù)的關系求:已知方程的一個根,求方程的另一個根及待定系數(shù); 根據(jù)方程求代數(shù)式的值。(3)學生經歷觀察發(fā)現(xiàn)猜想證明的思維過程,培養(yǎng)學生的分析能力和解決問 【探索新知】1.請同學們完成下面的表格:方程xxx2.觀擦上面的規(guī)律,運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空:(1)已知方程x的根是x和x,則= ;= (2)已知方程x+3x5=0的根是x和x,則= ;= 猜想:如果方程的根是x和x,則= ;= 【典例分析】1.證明猜想: 如果方程的根是x和x,那么=m,=n 證明:方程的=m 當=m0時,方程的根是x=,x= =+=m=n2.提出疑問:如果一元二次方程的一般式的根是x和x,那么 , = ;= 【應用新知】例1 已知方程的一個根是3,求方程的另一個根及c的值。解.設方程的另一個根是,則 3+=2 解之得=1。 3=c 3(1)=c c=3 故:方程的另一個根是1,c=3?!緡L試練習】1.求下列方程兩個根的和與積 (1) x23x+2=0 (2) 2x2+3x4=0 2.方程2的兩個根是x和x,則= ; = 3.已知方程的一個根是2,求方程的另一個根及的值?!緫猛卣埂坷?,已知方程的根是x和x,求下列式子的值: (1)+ (2)解.由一元二次方程根與系數(shù)的關系知:=5,=6 (1)原式=+2 = =5(6) =31(2)原式= = = =【鞏固練習】(1)已知方程的兩個根分別是x和x,則= = (2)已知方程的兩個根是2與3,則 , 2已知方程的一個根是2,求另一個根及c的值。3已知方程2的兩個根分別是x和x,求下列式子的值:(1)(x+2)(x+2) (2)22.3實際問題與一元二次方程(1)(第9課時)【學習目標】1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系,列出一元二次方程,體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型2.能根據(jù)具體問題的實際意義,檢驗結果是否合理經歷將實際問題抽象為代數(shù)問題的過程,探索問題中的數(shù)量關系,并能運用一元二次方程對之進行描述。【自主探究】回顧:列方程解應用題的基本步驟有哪些?應注意什么? 【問題情境】例,有一人患了流感,經過兩輪傳染后,有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?(1)本題中有哪些數(shù)量關系?(2)如何理解“兩輪傳染”?23 / 23- 配套講稿:
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