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中考數(shù)學精學巧練備考秘籍第5章圖形的性質第20課時平面幾何與圖形基礎 【精學】 考點一、直線、射線和線段 1、幾何圖形 從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。 立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，它們是立體圖形。 平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內，它們是平面圖形。 2、點、線、面、體 （1）幾何圖形的組成 點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。 線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。 面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。 體：幾何體也簡稱體。 （2）點動成線，線動成面，面動成體。 3、直線的概念 一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸的。 4、射線的概念 直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。 5、線段的概念 直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段。這兩個點叫做線段的端點。 6、點、直線、射線和線段的表示 在幾何里，我們常用字母表示圖形。 一個點可以用一個大寫字母表示。 一條直線可以用一個小寫字母表示。 一條射線可以用端點和射線上另一點來表示。 一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示。 注意： （1）表示點、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點、直線、射線、線段。 （2）直線和射線無長度，線段有長度。 （3）直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點。 （4）點和直線的位置關系有線面兩種： ①點在直線上，或者說直線經(jīng)過這個點。 ②點在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個點。 7、直線的性質 （1）直線公理：經(jīng)過兩個點有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡單地說成：過兩點有且只有一條直線。 （2）過一點的直線有無數(shù)條。 （3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。 （4）直線上有無窮多個點。 （5）兩條不同的直線至多有一個公共點。 8、線段的性質 （1）線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡單說成：兩點之間線段最短。 （2）連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。 （3）線段的中點到兩端點的距離相等。 （4）線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的。 9、線段垂直平分線的性質定理及逆定理 垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。 線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。 逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 考點二、角 1、角的相關概念 有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。 當角的兩邊在一條直線上時，組成的角叫做平角。 平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。 如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角叫做另一個角的余角。 如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補角，其中一個角叫做另一個角的補角。 2、角的表示 角可以用大寫英文字母、阿拉伯數(shù)字或小寫的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法： ①用數(shù)字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等。 ②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等。 ④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。 注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側。 3、角的度量 角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“”表示，1度記作“1”，n度記作“n”。 把1的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。 把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。 1=60’=60” 4、角的性質 （1）角的大小與邊的長短無關，只與構成角的兩條射線的幅度大小有關。 （2）角的大小可以度量，可以比較 （3）角可以參與運算。 5、角的平分線及其性質 一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。 角的平分線有下面的性質定理： （1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。 （2）到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。 考點三、相交線 1、相交線中的角 兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做臨補角。 臨補角互補，對頂角相等。 2、三線八角 直線AB，CD與EF相交（或者說兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截），構成八個角。其中∠1與∠5這兩個角分別在AB，CD的上方，并且在EF的同側，像這樣位置相同的一對角叫做同位角；∠3與∠5這兩個角都在AB，CD之間，并且在EF的異側，像這樣位置的兩個角叫做內錯角；∠3與∠6在直線AB，CD之間，并側在EF的同側，像這樣位置的兩個角叫做同旁內角。 3、垂線 兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。 直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。 垂線的性質： 性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。 性質2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。 考點四、平行線 1、平行線的概念 在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號“∥”表示，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。 同一平面內，兩條直線的位置關系只有兩種：相交或平行。 注意： （1）平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。 （2）當遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。 2、平行線公理及其推論 平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。 推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。 3、平行線的判定 平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡稱：同位角相等，兩直線平行。 平行線的兩條判定定理： （1）兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么兩直線平行。簡稱：內錯角相等，兩直線平行。 （2）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么兩直線平行。簡稱：同旁內角互補，兩直線平行。 補充平行線的判定方法： （1）平行于同一條直線的兩直線平行。 （2）垂直于同一條直線的兩直線平行。 （3）平行線的定義。 4、平行線的性質 （1）兩直線平行，同位角相等。 （2）兩直線平行，內錯角相等。 （3）兩直線平行，同旁內角互補。 考點五、正方形的平面展開圖 第一類：“1—4—1”型，口訣：中間一個四連串，兩邊各一隨便放。 其特點是有4個連成一排的正方形，兩側又各有1個正方形，共有6種。 第二類：“1—3—2”型，口訣：二三緊連挪一個，三一相連一隨便。 其特點是有3個連成一排的正方形，這一排正方形的一側有1個正方形，另一側有2個正方形（其中只有1個與中間那一排相連），共有3種。 第三類：“2—2—2”型，口訣：兩兩相連各挪一。 其特點是有2個連成一排的正方形，其兩側又各有2個連成一排的正方形，只有1種。 第四類：“3—3”型，口訣：三三相連一對齊。 其特點是有3個連成一排的正方形，其一側還有3個連成一排的正方形，只有1種。 注意： ①將長方體、正方體展開：無論怎么剪，都要剪7條棱。 ②“隔”的原理：相對的面如果在同一行或同一排，中間一定只隔一個面； 相對的面如果不在同一行或同一排，中間可以隔著一些面。 ③長方體、正方體中各面的關系：相對、相鄰。 每個面都有1個相對的面，4個相鄰的面。 注：立體圖中相對的面在展開圖中符合“隔”的原理，而相鄰的面在展開圖中不符合“隔”的原理。 ④長方體、正方體中最多可以同時看到三個面，且這三個面都是相鄰的面。 【巧練】 題型一、數(shù)學概念解決實際問題 例1．（20xx?宜昌）如圖，田亮同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是（　?。? A．垂線段最短 B．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線 C．經(jīng)過兩點，有且僅有一條直線 D．兩點之間，線段最短 【答案】D 【分析】根據(jù)“用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小”得到線段AB的長小于點A繞點C到B的長度，從而確定答案． 【解答】解：∵用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小， ∴線段AB的長小于點A繞點C到B的長度， ∴能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是兩點之間，線段最短， 故選D． 【點評】本題考查了線段的性質，能夠正確的理解題意是解答本題的關鍵，屬于基礎知識，比較簡單． 題型二、余角、補角、對頂角 例2．（20xx?荊州）如圖，AB∥CD，射線AE交CD于點F，若∠1=115，則∠2的度數(shù)是（　?。? A．55 B．65 C．75 D．85 【答案】B 【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補可求出∠AFD的度數(shù)，然后根據(jù)對頂角相等求出∠2的度數(shù)． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠F=180， ∵∠1=115， ∴∠AFD=65， ∵∠2和∠AFD是對頂角， ∴∠2=∠AFD=65， 故選B． 【點評】本題主要考查了平行線的性質期對頂角的使用，解題的關鍵是掌握兩直線平行，同旁內角互補，在根據(jù)對頂角相等求解． 題型三、平行線的性質和判定 例3.（20xx貴州黔東南州）如圖，直線a，b與直線c，d相交，已知∠1=∠2，∠3=110，則∠4=（ ） A．70 B．80 C．110 D．100 【答案】A． 【分析】先由∠1=∠2判定a∥b，再利用平行線的性質進行解答即可． 【解析】∵∠1=∠2，∴a∥b， 又∵∠3=∠5=110，∴∠4=180-∠5=70 故選A． 【點評】本題考查平行線的判定與性質． 【方法規(guī)律技巧】求與平行線有關的角度問題時，要善于借助平行線的性質將已知角與所求角聯(lián)系起來，同時還經(jīng)常結合補角、余角、角平分線的性質、三角形的外角求角度問題． 題型四、正方體的平面展開 例4．（20xx?河北）圖1和圖2中所有的正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中的①②③④某一位置，所組成的圖形不能圍成正方體的位置是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】由平面圖形的折疊及正方體的表面展開圖的特點解題． 【解答】解：將圖1的正方形放在圖2中的①的位置出現(xiàn)重疊的面，所以不能圍成正方體，故選：A． 【點評】本題考查了展開圖折疊成幾何體，解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形．注意：只要有“田”字格的展開圖都不是正方體的表面展開圖． 【限時突破】 1．（20xx?長沙）下列各圖中，∠1與∠2互為余角的是（　?。? A． B． C． D． 2．（20xx?茂名）如圖，直線a、b被直線c所截，若a∥b，∠1=60，那么∠2的度數(shù)為（　?。? A．120 B．90 C．60 D．30 3.．（20xx?重慶）如圖，AB∥CD，直線l交AB于點E，交CD于點F，若∠2=80，則∠1等于（　?。? A．120 B．110 C．100 D．80 4．（20xx?宜昌）已知M、N、P、Q四點的位置如圖所示，下列結論中，正確的是（　　） A．∠NOQ=42 B．∠NOP=132 C．∠PON比∠MOQ大 D．∠MOQ與∠MOP互補 5.（20xx吉林）圖中是對頂角量角器，用它測量角的原理是 ． 6．（20xx?資陽）如圖是一個正方體紙盒的外表面展開圖，則這個正方體是（　　） A． B． C． D． 7.（20xx山東濱州）如圖，AB∥CD，直線EF與AB，CD分別交于點M，N，過點N的直線GH與AB交于點P，則下列結論錯誤的是（　　） A.∠EMB=∠END B．∠BMN=∠MNC C．∠CNH=∠BPG D．∠DNG=∠AME 8.（20xx湖南永州）對下列生活現(xiàn)象的解釋其數(shù)學原理運用錯誤的是（　?。? A．把一條彎曲的道路改成直道可以縮短路程是運用了“兩點之間線段最短”的原理 B．木匠師傅在刨平的木板上任選兩個點就能畫出一條筆直的墨線是運用了“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”的原理 C．將自行車的車架設計為三角形形狀是運用了“三角形的穩(wěn)定性”的原理 D．將車輪設計為圓形是運用了“圓的旋轉對稱性”的原理 9.(20xx廣東茂名)已知∠A=100，那么∠A補角為　　度． 10.（20xx青海）如圖，直線a∥b，直線l與a相交于點P，與直線b相交于點Q，且PM垂直于l，若∠1=58，則∠2= ． 11．（20xx山東菏澤）如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)是 ． 12．（20xx四川省涼山州）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90，AB=AD=，CD=，點P是四邊形ABCD四條邊上的一個動點，若P到BD的距離為，則滿足條件的點P有 個． 13.（20xx山東淄博）如圖，一個由4條線段構成的“魚”形圖案，其中∠1=50，∠2=50，∠3=130，找出圖中的平行線，并說明理由． 【答案解析】 1.【分析】如果兩個角的和等于90（直角），就說這兩個角互為余角．依此定義結合圖形即可求解． 【解答】解：∵三角形的內角和為180， ∴選項B中，∠1+∠2=90，即∠1與∠2互為余角， 故選B． 【點評】本題考查了余角的定義，掌握定義并且準確識圖是解題的關鍵． 2.【分析】利用兩直線平行，同位角相等就可求出． 【解答】解：∵直線被直線a、b被直線c所截，且a∥b，∠1=48 ∴∠2=48． 故選C． 【點評】本題考查了平行線的性質，應用的知識為兩直線平行，同位角相等． 3.【分析】由平行線的性質得出∠1+∠DFE=180，由對頂角相等求出∠DFE=∠2=80，即可得出結果． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠DFE=180， ∵∠DFE=∠2=80， ∴∠1=180﹣80=100； 故選：C． 【點評】本題考查了平行線的性質、對頂角相等的性質；熟記平行線的性質，由對頂角相等求出∠DFE是解決問題的關鍵． 4.【分析】根據(jù)已知量角器上各點的位置，得出各角的度數(shù)，進而得出答案． 【解答】解：如圖所示：∠NOQ=138，故選項A錯誤； ∠NOP=48，故選項B錯誤； 如圖可得：∠PON=48，∠MOQ=42，故∠PON比∠MOQ大，故選項C正確； 由以上可得，∠MOQ與∠MOP不互補，故選項D錯誤． 故選：C． 【點評】此題主要考查了余角和補角，正確得出各角的度數(shù)是解題關鍵． 5.【答案】對頂角相等． 【解析】 試題分析：由題意得，扇形零件的圓心角與其兩邊的反向延長線組的角是對頂角．因為對頂角相等，所以利用圖中的量角器可以量出這個扇形零件的圓心角的度數(shù)．故答案為：對頂角相等． 【分析】根據(jù)對頂角相等． 【解析】由題意得，扇形零件的圓心角與其兩邊的反向延長線組的角是對頂角．因為對頂角相等，所以利用圖中的量角器可以量出這個扇形零件的圓心角的度數(shù)．故答案為：對頂角相等． 【點評】本題主要考查了利用對頂角相等解決實際問題． 6.【分析】根據(jù)幾何體的展開圖先判斷出實心圓點與空心圓點的關系，進而可得出結論． 【解答】解：∵由圖可知，實心圓點與空心圓點一定在緊相鄰的三個側面上， ∴C符合題意． 故選C． 【點評】本題考查的是幾何體的展開圖，此類問題從實物出發(fā)，結合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結合立體圖形與平面圖形的轉化，建立空間觀念，是解決此類問題的關鍵． 7.【答案】D. 【解析】 試題分析：根據(jù)平行線的性質可得A、∵AB∥CD，∴∠EMB=∠END（兩直線平行，同位角相等）； B、∵AB∥CD，∴∠BMN=∠MNC（兩直線平行，內錯角相等）； C、∵AB∥CD，∴∠CNH=∠MPN（兩直線平行，同位角相等），∵∠MPN=∠BPG（對頂角），∴∠CNH=∠BPG（等量代換）； D、∠DNG與∠AME沒有關系，無法判定其相等．故答案選D. 考點：平行線的性質. 8.【答案】B． 【解析】 試題分析：選項A，把一條彎曲的道路改成直道可以縮短路程是運用了“兩點之間線段最短”的原理，正確;選項B，木匠師傅在刨平的木板上任選兩個點就能畫出一條筆直的墨線是運用了“兩點確定一條直線”的原理，錯誤；選項C ，將自行車的車架設計為三角形形狀是運用了“三角形的穩(wěn)定性”的原理，正確；選項D,將車輪設計為圓形是運用了“圓的旋轉對稱性”的原理，正確，故答案選B. 9.【答案】80 【解析】 試題分析：根據(jù)兩個角之和為180時，兩角互補求出所求角度數(shù)即可．如果∠A=100，那么∠A補角為80 10.【答案】32． 【解析】如圖所示：∵a∥b，∴∠3=∠1=58，∵PM⊥l，∴∠MPQ=90，∴∠2=90﹣∠3=90﹣58=32；故答案為：32． 11.【答案】15． 【解析】 試題分析：如圖，過A點作AB∥a，∴∠1=∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3=∠4=30，而∠2+∠3=45，∴∠2=15，∴∠1=15．故答案為：15． 考點：平行線的性質． 12.【答案】2． 【解析】 試題分析：過點A作AE⊥BD于E，過點C作CF⊥BD于F， ， 所以在AB和AD邊上有符臺P到BD的距離為的點有2個，故答案為：2. 13.【答案】OA∥BC，OB∥AC,理由詳見解析. 【解析】 試題分析：根據(jù)已知可得∠1＝∠2，∠2＋∠3=180，由同位角相等，兩直線平行即可得OB∥Ac，由同旁內角互補，兩直線平行可得OA∥Bc. 試題解析： OA∥BC,OB∥AC，理由如下： .’ ∠1=50，∠2=50， .. ∠1=∠2, ..OB∥AC, .’ ∠2=50，∠3=130， .．∠2＋∠3=180, ..OA∥BC. 13 / 13