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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 三角函數(shù)與解三角形 第七講 正弦定理和余弦定理 基礎(chǔ)自測 1．若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，則a∶b∶c＝________. 2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，則A＝________. 3．在△ABC中，A＝60，b＝1，△ABC的面積為，則邊a的值為________． 4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，則角A的大小為________． 5．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，則a＝________. 題型分類 深度剖析 探究點(diǎn)一　正弦定理的應(yīng)用 例1　(1)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45，求角A、C和邊c； (2)在△ABC中，a＝8，B＝60，C＝75，求邊b和c. 探究點(diǎn)二　余弦定理的應(yīng)用 例2　已知a、b、c分別是△ABC中角A、B、C的對邊，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大小； (2)若c＝3a，求tanA的值． 探究點(diǎn)三　正余弦定理的綜合應(yīng)用 例3　1.在△ABC中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，試判斷該三角形的形狀． 2.在△ABC中，＝. (1)證明：B＝C； (2)若cos A＝－，求sin的值． 課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練七 班級 姓名 1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60，則cosB＝________. 2．在△ABC中，若A＝60，BC＝4，AC＝4，則角B的大小為________． 3．在銳角△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，且BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，則∠BAC的大小為________． 4．在△ABC中，B＝60，b2＝ac，則△ABC的形狀為______________． 5．在△ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊，B＝，b＝，a＋c＝4，求a. 6．在△ABC中，已知B＝45，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長． 7．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos＝，＝3. (1)求△ABC的面積； (2)若b＋c＝6，求a的值． 8．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝4bc. (1)求sinA的值； (2)求的值． 第七講　正弦定理和余弦定理 基礎(chǔ)自測 1．5∶11∶13　 2.30　 3.　 4. 5．1 題型分類 深度剖析 例1　解　(1)由正弦定理＝得，sinA＝.∵a>b，∴A>B，∴A＝60或A＝120. 當(dāng)A＝60時(shí)，C＝180－45－60＝75，c＝＝； 當(dāng)A＝120時(shí)，C＝180－45－120＝15，c＝＝. 綜上，A＝60，C＝75，c＝，或A＝120，C＝15，c＝. (2)∵B＝60，C＝75，∴A＝45.由正弦定理＝＝，得b＝＝4，c＝＝4＋4.∴b＝4，c＝4＋4. 例2　解　(1)∵a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝＝.∵0a，∴B>A， ∴cos A＝＝.∴tan A＝＝. 方法三　∵c＝3a，由正弦定理，得sin C＝3sin A.∵B＝，∴C＝π－(A＋B)＝－A，∴sin(－A)＝3sinA，∴sincosA－cossinA＝3sinA，∴cosA＋sinA＝3sinA， ∴5sinA＝cosA，∴tanA＝＝. 例3　1.解　方法一　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B) ?a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA， 由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0， ∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π， 得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形． 方法二　同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA， 由正、余弦定理，即得a2b＝b2a， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2， ∴三角形為等腰三角形或直角三角形． 2.證明　在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.于是sinBcosC－cosBsinC＝0， 即sin(B－C)＝0.因?yàn)椋?B－C<π，從而B－C＝0.所以B＝C. (2)解　由A＋B＋C＝π和(1)得A＝π－2B，故cos2B＝－cos(π－2B)＝－cosA＝. 又0<2B<π，于是sin2B＝＝.從而sin4B＝2sin2Bcos2B＝， cos4B＝cos22B－sin22B＝－.所以sin＝sin4Bcos＋cos4Bsin＝. 課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練七 1. 2．45 3. 4．等邊三角形 5．解　由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac. 又∵a＋c＝4，b＝，∴ac＝3，聯(lián)立，解得a＝1，c＝3，或a＝3，c＝1. ∴a等于1或3. 6．解　在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得，cos∠ADC＝＝＝－， ∴∠ADC＝120，∠ADB＝60 在△ABD中，AD＝10，B＝45，∠ADB＝60， 由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝＝5. 7．解　(1)因?yàn)閏os＝，所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝. 又由＝3得bccosA＝3，所以bc＝5，因此S△ABC＝bcsinA＝2. (2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6， 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－bc＝20，所以a＝2 8．解　(1)∵3b2＋3c2－3a2＝4bc，∴b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得，cos A＝＝，又0

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