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2019-2020年高中數學 課時作業(yè)15 等比數列（第1課時）新人教版必修5 1．(xx江西)等比數列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于(　　) A．－24　　　　　　　　　　 B．0 C．12 D．24 答案　A 解析　由題意得：(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或－1.當x＝－1時，3x＋3＝0，不滿足題意．當x＝－3時，原數列是等比數列，前三項為－3，－6，－12，故第四項為－24. 2．在等比數列{an}中，a2 010＝8a2 007，則公比q的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 答案　A 解析　依題意得＝q3＝8，q＝2，選A. 3．在等比數列{an}中，a5－a1＝15，a4－a2＝6，則a3等于(　　) A．4 B．8 C．－4或4 D．－8或8 答案　C 4．已知公差不為0的等差數列的第2,3,6項依次構成一個等比數列，則該等比數列的公比q為(　　) A. B．3 C． D．3 答案　B 5．如果a，x1，x2，b成等差數列，a，y1，y2，b成等比數列，那么等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　x1＋x2＝a＋b，y1y2＝ab. 6．兩個正數插入3和9之間，使前三個數成等比數列而后三個數成等差數列，那么這兩個正數之和是(　　) A．13 B．11 C．10 D．0 答案　B 解析　設 4個正數為3，a，b,9，則 ∴2a2＝3(9＋a)，∴2a2－3a－27＝0，(2a－9)(a＋3)＝0. ∵a>0，∴2a－9＝0，a＝，∴b＝，∴a＋b＝. 7．等比數列{an}的公比為2，則的值為(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　 8．已知數列{an}的前n項和Sn＝an－1(a為不為零的常數)，那么{an}(　　) A．一定是等差數列 B．一定是等比數列 C．或是等差，或是等比數列 D．既不是等差，也不是等比數列 答案　C 解析　若a＝1，則{an}為等差數列； 若a≠1，則{an}為等比數列． 9．在兩個非零實數a和b之間插入2個數，使它們成等比數列，則這個等比數列的公比為________(用a，b表示)． 答案　 10．在等比數列{an}中，若a4＝2，a7＝16，則an＝________. 答案　2n－3 解析　 答案　5 832 解析　 答案　等比；等差 解析　 13．若實數a、b、c成等比數列，則函數y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸交點的個數是________． 答案　0 解析　∵a、b、c成等比數列，∴b2＝ac(b≠0)． 又Δ＝b2－4ac＝－3b2<0，∴拋物線與x軸無交點． 解析　 15．一個等比數列的前三項依次是a,2a＋2,3a＋3.試問－13是否為這個數列中的一項？如果是，是它的第幾項？如果不是，請說明理由． 思路分析　一個等比數列的前三項仍然構成等比數列，則可以求出a的值，要判斷－13是否為數列中的一項，就要求出通項公式再作出判斷． 【解析】　∵a,2a＋2,3a＋3是等比數列前三項，仍然構成等比數列． ∴a(3a＋3)＝(2a＋2)2，解得a＝－1，或a＝－4. 當a＝－1時，數列的前三項依次為－1,0,0. 與等比數列的定義矛盾，故將a＝－1舍去． 當a＝－4時，數列的前三項依次為－4，－6，－9.則公比為q＝. ∴an＝－4()n－1. 令－4()n－1＝－13，即()n－1＝＝()3， ∴n－1＝3，即n＝4.∴－13是這個數列第4項． 16．三個數成等差數列，它們的和等于15，如果它們分別加上1,3,9，就成為等比數列，求此三個數． 思路分析　本題主要考查等比數列、等差數列、等比中項和等差中項，以及它們的應用．因為所求三個數成等差數列，其和已知，故可設這三個數為a－d，a，a＋d，再根據已知條件尋找關于a，d的方程，通過解方程組即可獲解． 解析　設所求三個數為a－d，a，a＋d，則 解得a＝5，d＝2或a＝5，d＝－10. 故所求三個數為3,5,7或15,5，－5. 17．等比數列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求數列{an}的通項公式； (2)若a3，a5分別為等差數列{bn}的第3項和第5項，試求數列{bn}的通項公式． 答案　(1)an＝2n　(2)bn＝12n－28 解析　 答案?、佟ⅱ?、③、⑦、⑧、⑩為等比數列 1．已知Sn是數列{an}的前n項和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么數列{an}(　　) A．是等比數列 B．當p≠0時是等比數列 C．當p≠0，p≠1時是等比數列 D．不是等比數列 答案　D 解析　利用等比數列的概念判斷． 由Sn＝pn(n∈N*)，有a1＝S1＝p，并且當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝(p－1)pn－1.故a2＝(p－1)p. 因此數列{an}成等比數列? 而＝＝p－1. 故滿足此條件的實數p是不存在的，故本題應選D. 講評　(1)此題易得出錯誤的判斷，排除錯誤的辦法是熟悉數列{an}成等比數列的條件：an≠0(n∈N*)，還要注意對任意n∈N*，n≥2，都為同一常數． (2)判斷{an}是否為等比數列，由Sn＝pn知當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝(p－1)pn－1，乍看只要p≠0，p－1≠0就是等比數列，其實不然，因為a1＝S1＝p，并不滿足an；故無論p取何實數{an}都不可能是等比數列． 2．(xx江西)等比數列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，則an＝(　　) A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n 答案　A 解析　記數列{an}的公比為q，由a5＝－8a2，得a1q4＝－8a1q，即q＝－2.∵a5>a2，∴a5>0，a2<0，∴a1>0，又由|a1|＝1，得a1＝1，故an＝a1qn－1＝(－2)n－1. 3．(xx廣東)設數列{an}是首項為1，公比為－2的等比數，則a1＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝________. 答案　15 解析　由數列{an}首項為1，公比q＝－2，則an＝(－2)n－1，a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，則a1＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15. 4．已知數列{an}滿足：lgan＝3n＋5，試用定義證明{an}是等比數列． 解析　∵lgan＝3n＋5，∴an＝103n＋5，an＋1＝103(n＋1)＋5. ∴＝103，∴{an}是以108為首項以103為等比的等比數列．