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第26章 反比例函數(shù) 專項訓(xùn)練 專訓(xùn)1　反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用 名師點金：解反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合題，一般先設(shè)出幾何圖形中的未知數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的圖象用含未知數(shù)的式子表示出幾何圖形與圖象的交點坐標(biāo)，再由函數(shù)解析式及幾何圖形的性質(zhì)寫出含未知數(shù)及待求字母系數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可得所求幾何圖形中的未知量或函數(shù)解析式中待定字母的值． 反比例函數(shù)與三角形的綜合 1．如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b與反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖象交于A(m，6)，B(3，n)兩點． (1)求一次函數(shù)的解析式； (2)根據(jù)圖象直接寫出使kx＋b<成立的x的取值范圍； (3)求△AOB的面積． (第1題) 2．如圖，點A，B分別在x軸、y軸上，點D在第一象限內(nèi)，DC⊥x軸于點C，AO＝CD＝2，AB＝DA＝，反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象過CD的中點E. (1)求證：△AOB≌△DCA； (2)求k的值； (3)△BFG和△DCA關(guān)于某點成中心對稱，其中點F在y軸上，試判斷點G是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由． (第2題) 反比例函數(shù)與四邊形的綜合 反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合 3．如圖，過反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上一點A作x軸的平行線，交雙曲線y＝－(x＜0)于點B，過B作BC∥OA交雙曲線y＝－(x＜0)于點D，交x軸于點C，連接AD交y軸于點E，若OC＝3，求OE的長． (第3題) 反比例函數(shù)與矩形的綜合 4．如圖，矩形OABC的頂點A，C的坐標(biāo)分別是(4，0)和(0，2)，反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖象過對角線的交點P并且與AB， (第4題) BC分別交于D，E兩點，連接OD，OE，DE，則△ODE的面積為________． 5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對角線OB，AC相交于點D，且BE∥AC，AE∥OB. (1)求證：四邊形AEBD是菱形； (2)如果OA＝3，OC＝2，求出經(jīng)過點E的雙曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式． (第5題) 反比例函數(shù)與菱形的綜合 　　　　　　　　　　　　　　　　 6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD在第一象限內(nèi)，邊BC與x軸平行，A，B兩點的縱坐標(biāo)分別為3，1，反比例函數(shù)y＝的圖象 (第6題) 經(jīng)過A，B兩點，則菱形ABCD的面積為(　　) A．2 　　　B．4 C．2 　　　D．4 7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點B在y軸的正半軸上，點A在反比例函數(shù)y＝(k>0，x>0)的圖象上，點D的坐標(biāo)為(4，3)． (1)求k的值； (2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移，當(dāng)菱形的頂點D落在反比例函數(shù)y＝(k>0，x>0)的圖象上時，求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離． (第7題) 反比例函數(shù)與正方形的綜合 8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，正方形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y軸上，點B的坐標(biāo)為(2，2)，反比例函數(shù)y＝(x＞0，k≠0)的圖象經(jīng)過線段BC的中點D (1)求k的值； (2)若點P(x，y)在該反比例函數(shù)的圖象上運動(不與點D重合)，過點P作PR⊥y軸于點R，作PQ⊥BC所在直線于點Q，記四邊形CQPR的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出x的取值范圍． (第8題) 反比例函數(shù)與圓的綜合 (第9題) 9．如圖，雙曲線y＝(k>0)與⊙O在第一象限內(nèi)交于P，Q兩點，分別過P，Q兩點向x軸和y軸作垂線，已知點P的坐標(biāo)為(1，3)，則圖中陰影部分的面積為________． 10．如圖，反比例函數(shù)y＝(k＜0)的圖象與⊙O相交．某同學(xué)在⊙O內(nèi)做隨機扎針試驗，求針頭落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率． (第10題) 專訓(xùn)2　全章熱門考點整合應(yīng)用 名師點金：反比例函數(shù)及其圖象、性質(zhì)是歷年來中考的熱點，既有與本學(xué)科知識的綜合，也有與其他學(xué)科知識的綜合，題型既有選擇、填空，也有解答類型．其熱門考點可概括為：1個概念，2個方法，2個應(yīng)用及1個技巧． 1個概念：反比例函數(shù)的概念 1．若y＝(m－1)x|m|－2是反比例函數(shù)，則m的取值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．－1 C．1 D．任意實數(shù) 2．某學(xué)校到縣城的路程為5 km，一同學(xué)騎車從學(xué)校到縣城的平均速度v(km/h)與所用時間t(h)之間的函數(shù)解析式是(　　) A．v＝5t B．v＝t＋5 C．v＝ D．v＝ 3．判斷下面哪些式子表示y是x的反比例函數(shù)： ①xy＝－；②y＝5－x；③y＝；④y＝(a為常數(shù)且a≠0)． 其中________是反比例函數(shù)．(填序號) 2個方法： 畫反比例函數(shù)圖象的方法 4．已知y與x的部分取值如下表： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … y … 1 1.2 1.5 2 3 6 －6 －3 －2 －1.5 －1.2 －1 … (1)試猜想y與x的函數(shù)關(guān)系可能是你學(xué)過的哪類函數(shù)，并寫出這個函數(shù)的解析式； (2)畫出這個函數(shù)的圖象． 求反比例函數(shù)解析式的方法 5．已知反比例函數(shù)y＝的圖象與一次函數(shù)y＝x＋b的圖象在第一象限內(nèi)相交于點A(1，－k＋4)．試確定這兩個函數(shù)的解析式． 6．如圖，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象和反比例函數(shù)y＝的圖象的兩個交點．求： (1)反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； (2)直線AB與x軸的交點C的坐標(biāo)及△AOB的面積； (3)方程kx＋b－＝0的解(請直接寫出答案)； (4)不等式kx＋b－<0的解集(請直接寫出答案)． (第6題) 2個應(yīng)用 反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用 7．畫出反比例函數(shù)y＝的圖象，并根據(jù)圖象回答問題： (1)根據(jù)圖象指出當(dāng)y＝－2時x的值； (2)根據(jù)圖象指出當(dāng)－20)的圖象上， ∴m＝1，n＝2，即 A(1，6)，B(3，2)． 又∵A(1，6)，B(3，2)在一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象上， ∴解得 即一次函數(shù)解析式為y＝－2x＋8. (第1題) (2)根據(jù)圖象可知使kx＋b<成立的x的取值范圍是03. (3)如圖，分別過點A，B作AE⊥x軸，BC⊥x軸，垂足分別為E，C，設(shè)直線AB交x軸于D點． 令－2x＋8＝0，得x＝4，即D(4，0)． ∵A(1，6)，B(3，2)，∴AE＝6，BC＝2. ∴S△AOB＝S△AOD－S△ODB＝46－42＝8. 2．(1)證明：∵點A，B分別在x軸，y軸上，點D在第一象限內(nèi)，DC⊥x軸于點C，∴∠AOB＝∠DCA＝90. 在Rt△AOB和Rt△DCA中，∵∴Rt△AOB≌Rt△DCA. (2)解：在Rt△ACD中，∵CD＝2，DA＝， ∴AC＝＝1.∴OC＝OA＋AC＝2＋1＝3. ∴D點坐標(biāo)為(3，2)． ∵點E為CD的中點，∴點E的坐標(biāo)為(3，1)．∴k＝31＝3. (3)解：點G在反比例函數(shù)的圖象上． 理由如下：∵△BFG和△DCA關(guān)于某點成中心對稱， ∴△BFG≌△DCA. ∴FG＝CA＝1，BF＝DC＝2，∠BFG＝∠DCA＝90. ∵OB＝AC＝1，∴OF＝OB＋BF＝1＋2＝3.∴G點坐標(biāo)為(1，3)． ∵13＝3，∴點G(1，3)在反比例函數(shù)的圖象上． 3．解：∵BC∥OA，AB∥x軸，∴四邊形ABCO為平行四邊形． ∴AB＝OC＝3. 設(shè)A，則B， ∴(a－3)＝－3.∴a＝2. ∴A(2，3)，B(－1，3)． ∵OC＝3，C在x軸負半軸上，∴C(－3，0)， 設(shè)直線BC對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx＋b， 則解得 ∴直線BC對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝x＋. 解方程組得 ∴D. 設(shè)直線AD對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝mx＋n， 則解得 ∴直線AD對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝x＋. ∴E.∴OE＝. 4.　點撥：因為C(0，2)，A(4，0)，由矩形的性質(zhì)可得P(2，1)，把P點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得k＝2，所以反比例函數(shù)解析式為y＝.因為D點的橫坐標(biāo)為4，所以AD＝＝.因為點E的縱坐標(biāo)為2，所以2＝，所以CE＝1，則BE＝3.所以S△ODE＝S矩形OABC－S△OCE－S△BED－S△OAD＝8－1－－1＝. 5．(1)證明：∵BE∥AC，AE∥OB， ∴四邊形AEBD是平行四邊形． ∵四邊形OABC是矩形，∴DA＝AC，DB＝OB，AC＝OB. ∴DA＝DB.∴四邊形AEBD是菱形． (2)解：如圖，連接DE，交AB于F， ∵四邊形AEBD是菱形， ∴DF＝EF＝OA＝，AF＝AB＝1.∴E. 設(shè)所求反比例函數(shù)解析式為y＝， 把點E的坐標(biāo)代入得1＝，解得k＝. ∴所求反比例函數(shù)解析式為y＝. (第5題) 　　(第7題) 6．D 7．解：(1)如圖，過點D作x軸的垂線，垂足為F. ∵點D的坐標(biāo)為(4，3)，∴OF＝4，DF＝3.∴OD＝5. ∴AD＝5.∴點A的坐標(biāo)為(4，8)．∴k＝xy＝48＝32. (2)將菱形ABCD沿x軸正方向平移，使得點D落在函數(shù)y＝(x>0)的圖象上點D′處，過點D′作x軸的垂線，垂足為F′. ∵DF＝3，∴D′F′＝3.∴點D′的縱坐標(biāo)為3. ∵點D′在y＝的圖象上，∴3＝，解得x＝， 即OF′＝.∴FF′＝－4＝. ∴菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離為. 8．解：(1)∵正方形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y軸上，點B的坐標(biāo)為(2，2)，∴C(0，2)． ∵D是BC的中點，∴D(1，2)．∵反比例函數(shù)y＝(x＞0，k≠0)的圖象經(jīng)過點D，∴k＝2. (2)當(dāng)P在直線BC的上方，即0＜x＜1時， ∵點P(x，y)在該反比例函數(shù)的圖象上運動，∴y＝. ∴S四邊形CQPR＝CQPQ＝x＝2－2x；當(dāng)P在直線BC的下方，即x＞1時，同理求出S四邊形CQPR＝CQPQ＝x＝2x－2，綜上，S＝ 9．4 10．解：∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，圓也關(guān)于原點對稱，故陰影部分的面積占⊙O面積的，則針頭落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為. 1．B　2.C 3．①③④ 4．解：(1)反比例函數(shù)：y＝－.(2)如圖所示． (第4題) 5．解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點A(1，－k＋4)， ∴－k＋4＝，即－k＋4＝k，∴k＝2，∴A(1，2)． ∵一次函數(shù)y＝x＋b的圖象經(jīng)過點A(1，2)， ∴2＝1＋b，∴b＝1. ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝， 一次函數(shù)的解析式為y＝x＋1. 6．解：(1)將B(2，－4)的坐標(biāo)代入y＝，得－4＝， 解得m＝－8. ∴反比例函數(shù)的解析式為y＝. ∵點A(－4，n)在雙曲線y＝上，∴n＝2. ∴A(－4，2)． 把A(－4，2)，B(2，－4)的坐標(biāo)分別代入y＝kx＋b，得 解得 ∴一次函數(shù)的解析式為y＝－x－2. (2)令y＝0，則－x－2＝0，x＝－2. ∴C(－2，0)．∴OC＝2. ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝22＋24＝6. (3)x1＝－4，x2＝2. (4)－42. 7．解：如圖，由觀察可知： (1)當(dāng)y＝－2時，x＝－3； (2)當(dāng)－26； (3)當(dāng)－33. (第7題) 點撥：解決問題時，畫出函數(shù)圖象．由圖象觀察得知結(jié)果．由圖象解決相關(guān)問題，一定要注意數(shù)形結(jié)合，學(xué)會看圖． 8．解：(1)庫存原料為260＝120(噸)，根據(jù)題意可知y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝. 由于生產(chǎn)能力提高，每小時消耗的原料量大于計劃消耗的原料量，所以自變量的取值范圍是x>2. (2)根據(jù)題意，得y≥24，所以≥24. 解不等式，得x≤5， 即每小時消耗的原料量應(yīng)控制在大于2噸且不大于5噸的范圍內(nèi)． 點撥：(1)由“每小時消耗的原料量可使用的時間＝原料總量”可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式．(2)要使機器不停止運轉(zhuǎn)，需y≥24，解不等式即可． (第9題) 9．B　點撥：如圖，過點B作BE⊥x軸于點E，∵D為OB的中點，∴CD是△OBE的中位線，則CD＝BE.設(shè)A，則B，CD＝，AD＝－.∵△ADO的面積為1，∴ADOC＝1，即x＝1.解得k＝. 10．3 11．(1)證明：∵點P在雙曲線y＝上， ∴設(shè)P點坐標(biāo)為. ∵點D在雙曲線y＝上，BP∥x軸，D在BP上， ∴D點坐標(biāo)為.∴BD＝，BP＝， 故D是BP的中點． (2)解：由題意可知S△BOD＝，S△AOC＝，S四邊形OBPA＝6. ∴S四邊形ODPC＝S四邊形OBPA－S△BOD－S△AOC＝6－－＝3.