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2019-2020年高考數學一輪復習 第七章 第3講 知能訓練輕松闖關 1．已知直線l∥平面α，P∈α，那么過點P且平行于直線l的直線(　　) A．只有一條，不在平面α內 B．有無數條，不一定在平面α內 C．只有一條，且在平面α內 D．有無數條，一定在平面α內 解析：選C．由直線l與點P可確定一個平面β，則平面α，β有公共點，因此它們有一條公共直線，設該公共直線為m，因為l∥α，所以l∥m，故過點P且平行于直線l的直線只有一條，且在平面α內． 2．已知A、B、C、D是空間四個點，甲：A、B、C、D四點不共面，乙：直線AB和直線CD不相交，則甲是乙成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A．因為A、B、C、D四點不共面，則直線AB和直線CD不相交，反之，直線AB和直線CD不相交，A、B、C、D四點不一定不共面．故甲是乙成立的充分不必要條件． 3．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(　　) A．點A B．點B C．點C但不過點M D．點C和點M 解析：選D．∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ． 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β． 根據公理3可知，M在γ與β的交線上． 同理可知，點C也在γ與β的交線上． 4．如圖所示，ABCDA1B1C1D1是正方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論正確的是(　　) A．A，M，O三點共線 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：選A．連接A1C1，AC(圖略)，則A1C1∥AC， ∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A1． ∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1．又M∈平面AB1D1， ∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上， 同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上． ∴A，M，O三點共線． 5． 如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90，F，G分別是線段AE，BC的中點，則AD與GF所成的角的余弦值為(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：選A． 延長CD至H．使DH＝1，連接HG、HF，則HF∥AD． HF＝DA＝2， GF＝，HG＝． ∴cos∠HFG＝＝． 6．平面α，β相交，在α，β內各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定__________個平面． 解析：如果這四點在同一平面內，那么確定一個平面；如果這四點不共面，則任意三點可確定一個平面，所以可確定四個． 答案：1或4 7． 如圖所示，在三棱錐ABCD中，E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形，當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH是正方形． 解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，顯然四邊形EFGH為平行四邊形．要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足EF＝EH，即AC＝BD；要使四邊形EFGH為正方形需滿足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD． 答案：AC＝BD　AC＝BD且AC⊥BD 8． 如圖所示，正方體的棱長為1，B′C∩BC′＝O，則AO與A′C′所成角的度數為________． 解析：∵A′C′∥AC， ∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC． ∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′C′C， ∴OC⊥AB．又AB∩BO＝B， ∴OC⊥平面ABO． 又OA?平面ABO，∴OC⊥OA． 在Rt△AOC中，OC＝，AC＝， sin∠OAC＝＝， ∴∠OAC＝30．即AO與A′C′所成角的度數為30． 答案：30 9． 如圖所示，在三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點． (1)求證AE與PB是異面直線； (2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值． 解：(1)證明：假設AE與PB共面，設平面為α． ∵A∈α，B∈α，E∈α， ∴平面α即為平面ABE， ∴P∈平面ABE， 這與P?平面ABE矛盾， 所以AE與PB是異面直線． (2)取BC的中點F， 連接EF、AF， 則EF∥PB， 所以∠AEF(或其補角)就是異面直線AE和PB所成的角． ∵∠BAC＝60， PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC， ∴AF＝，AE＝，EF＝， cos∠AEF＝ ＝＝， 所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為． 10． 如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，FD的中點． (1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)C，D，F，E四點是否共面？為什么？ 解：(1)證明：由題設知，FG＝GA，FH＝HD， 所以GH綊AD．又BC綊AD， 故GH綊BC． 所以四邊形BCHG是平行四邊形． (2)C，D，F，E四點共面． 理由如下： 由BE綊FA，G是FA的中點知，BE綊GF， 所以EF綊BG． 由(1)知BG∥CH， 所以EF∥CH，故EC、FH共面． 又點D在直線FH上， 所以C，D，F，E四點共面．