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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理 蘇教版 　 一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分） 1．（5分）曲線（t為參數(shù)）與x軸交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是　_________　． 　 2．（5分）已知下列=（﹣1，x，3），=（2，﹣4，y），且∥，那么x+y的值為　_________?。? 　 3．（5分）復(fù)數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a=　_________　． 　 4．（5分）（xx?昌平區(qū)二模）二項(xiàng)式的展開式中x3的系數(shù)為　_________?。? 　 5．（5分）若離散型隨機(jī)變量X～B（6，p），且E（X）=2，則p=　_________?。? 　 6．（5分）矩陣的特征值為　_________　． 　 7．（5分）如圖，在某個(gè)城市中，M，N兩地之間有南北街道5條、東西街道4條，現(xiàn)要求沿圖中的街道，以最短的路程從M走到N，則不同的走法共有　_________　種． 　 8．（5分）設(shè)凸n邊形（n≥4）的對(duì)角線條數(shù)為f（n），則f（n+1）﹣f（n）=　_________?。? 　 9．（5分）在極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=2，則極點(diǎn)O到直線l的距離為　_________　． 　 10．（5分）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為　_________?。? 　 11．（5分）將1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)正整數(shù)分別寫在三張卡片上，要求每一張卡片上的三個(gè)數(shù)中任意兩數(shù)之差都不在這張卡片上，現(xiàn)在第一張卡片上已經(jīng)寫有1和5，第二張卡片上寫有2，第三張卡片上寫有3，則第一張卡片上的另一個(gè)數(shù)字是　_________　． 　 12．（5分）如圖所示，已知點(diǎn)P是正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)異面直線AB與CP所成的角為α，則cosα的最小值是　_________?。? 　 13．（5分）如果某年年份的各位數(shù)字之和為7，我們稱該年為“七巧年”．例如，今年年份xx的各位數(shù)字之和為7，所以今年恰為“七巧年”，那么從xx年到2999年中“七巧年”共有　_________　個(gè)． 　 14．（5分）班級(jí)53名同學(xué)報(bào)名參加科技、文化、生活三個(gè)學(xué)習(xí)社團(tuán)，規(guī)定每人必須參加一個(gè)社團(tuán)，且最多參加兩個(gè)社團(tuán)，在所有可能的報(bào)名方案中，設(shè)參加社團(tuán)完全相同的人數(shù)的最大值為n，則n的最小值為　_________?。? 　 二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分） 15．（14分）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，且長度單位相同，若圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)． （1）求圓C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程； （2）求AB的長． 　 16．（14分）如圖，單位正方形OABC在二階矩陣T的作用下，變成菱形OA1B1C1． （1）求矩陣T； （2）設(shè)雙曲線F：x2﹣y2=1在矩陣T對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F′，求曲線F′的方程． 　 17．（14分）某同學(xué)參加高二學(xué)業(yè)水平測試的4門必修科目考試．已知該同學(xué)每門學(xué)科考試成績達(dá)到“A”等級(jí)的概率均為，且每門考試成績的結(jié)果互不影響． （1）求該同學(xué)至少得到兩個(gè)“A”的概率； （2）已知在高考成績計(jì)分時(shí)，每有一科達(dá)到“A”，則高考成績加1分，如果4門學(xué)科均達(dá)到“A”，則高考成績額外再加1分．現(xiàn)用隨機(jī)變量Y表示該同學(xué)學(xué)業(yè)水平測試的總加分，求Y的概率分別列和數(shù)學(xué)期望． 　 18．（16分）觀察下列各不等式： 1+＜， 1++＜， 1+++＜， 1++++＜， … （1）由上述不等式，歸納出一個(gè)與正整數(shù)n（n≥2）有關(guān)的一般性結(jié)論； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到是結(jié)論． 　 19．（16分）如圖，已知正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長為2，高為，P為棱SC的中點(diǎn)． （1）求直線AP與平面SBC所成角的正弦值； （2）求兩面角B﹣SC﹣D大小的余弦值； （3）在正方形ABCD內(nèi)是否有一點(diǎn)Q，使得PQ⊥平面SDC？若存在，求PQ的長；若不存在，請(qǐng)說明理由． 　 20．（16分）在（1+x+x2）n=D+Dx+Dx2+…+Dxr+…+Dx2n﹣1+Dx2n的展開式中，把D，D，D，…，D叫做三項(xiàng)式系數(shù)． （1）當(dāng)n=2時(shí)，寫出三項(xiàng)式系數(shù)D，D，D，D，D的值； （2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C=C+C（1≤m≤n，m∈N，n∈N），給出一個(gè)關(guān)于三項(xiàng)式系數(shù)D（1≤m≤2n﹣1，m∈N，n∈N）的相似性質(zhì)，并予以證明； （3）求DC﹣DC+DC﹣DC+…+DC的值． 　  參考答案 1、（2，0） 2、-4 3、-3 4、80 5、 6、3或-1 7、35 8、n-1 9、2 10、 11、8 12、 13、21 14、9 15、解：（1）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ， 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1．…（5分） 直線l的普通方程為2x﹣y﹣2=0．…（10分） （2）因?yàn)橹本€l過圓心C（2，2），所以AB=2．…（14分） 16、解：（1）設(shè)T=， 由=，解得 …（3分） 由=，解得 所以T=． …（7分） （2）設(shè)曲線F上任意一點(diǎn)P（x，y）在矩陣T對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′（x′，y′），則 =，即，所以　　　…（9分） 因?yàn)閤2﹣y2=1， 所以（2x﹣y）2﹣（2y﹣x）2=9，即x2﹣y2=3，…（12分） 故曲線F的方程為x2﹣y2=3．…（14分） 17、解：（1）設(shè)4門考試成績得到“A”的次數(shù)為X，依題意， 隨機(jī)變量X～B（4，）， 則P（X≥2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1） =1﹣=， 故該同學(xué)至少得到兩個(gè)“A”的概率為．…（6分） （2）隨機(jī)變量Y的可能值為0，1，2，3，5，…（7分） P（Y=0）=0=，P（Y=1）=， P（Y=2）==，P（Y=3）==， P（Y=5）==． 隨機(jī)變量Y的概率分布如下表所示 Y 0 1 2 3 5 P …（12分） 從而E（Y）=0+1+2+3+5=．…（14分） 18、解：（1）觀察1+＜， 1++＜， 1+++＜， 1++++＜， … 各不等式，得到與正整數(shù)n有關(guān)的一般不等式為 1++++＜且n≥2．…（6分） （2）以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)不等式． ①當(dāng)n=2時(shí)，由題設(shè)可知，不等式顯然成立． ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即 1++++＜ …（8分） 那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有 1+++++＜ ===． 所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．…（14分） 根據(jù)①和②，可知不等式對(duì)任何n∈N+且n≥2都成立．…（16分） 19、解：（1）設(shè)正方形ABCD的中心為O，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0）， D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，）， ∵P是SC的中點(diǎn)，∴P（﹣，，）．…（2分） ，設(shè)平面SBC的法向量=（x1，y1，z1）， 則，即，取=（0，，1）， ∴cos＜＞==，…（4分） 故直線AP與平面SBC所成角的正弦值為．…（6分） （2）設(shè)平面SDC的法向量=（x2，y2，z2），則 ，即，取=（﹣，0，1）， ∴cos＜，＞==，…（9分） 又二面角B﹣SC﹣D為鈍角二面角， 故二面角B﹣SC﹣D大小的余弦值為﹣．…（11分） （3）設(shè)Q（x，y，0），則，…（12分） 若PQ⊥平面SDC，則∥， ∴，解得，…（15分） 但＞1，點(diǎn)Q不在正方形ABCD內(nèi)，故不存在滿足條件的點(diǎn)Q．…（16分） 20、解：（1）因?yàn)椋?+x+x2）2=x4+2x3+3x2+2x+1， 所以． （2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：，（1≤m≤2n﹣1） 因?yàn)椋?+x+x2）n+1=（1+x+x2）?（1+x+x2）n， 所以（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）?（D+Dx+Dx2+…+Dxr+…+Dx2n﹣1+Dx2n）． 上式左邊xm+1的系數(shù)為， 而上式右邊xm+1的系數(shù)為， 由（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）?（1+x+x2）n為恒等式，得 ：，（1≤m≤2n﹣1）； （3）∵（1+x+x2）xx=Dx0﹣Dx1+Dx2﹣Dx3+…+Dxxx， （x﹣1）xx=Cxxx﹣Cxxx+Cxxx﹣…+C． ∴（1+x+x2）xx（x﹣1）xx中xxx系數(shù)為DC﹣DC+DC﹣DC+…+DC， 又∴（1+x+x2）xx（x﹣1）xx=（x3﹣1）xx 而二項(xiàng)式（x3﹣1）xx 的通項(xiàng)， 因?yàn)閤x不是3的倍數(shù)，所以（x3﹣1）xx 的展開式中沒有xxx項(xiàng)， 由代數(shù)式恒成立，得 DC﹣DC+DC﹣DC+…+DC=0．