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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 初高中銜接教材 第六講 簡單的二元二次方程組 在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用消元法解二元一次方程組．高中新課標(biāo)必修2中學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，需要用到二元二次方程組的解法．因此，本講講介紹簡單的二元二次方程組的解法． 含有兩個(gè)未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，或由兩個(gè)二元二次方程組組成的方程組，叫做二元二次方程組． 一、由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組 一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法求解．其蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解． 【例1】解方程組 分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得，代入方程(2)消去． 解：由(1)得： (3) 將(3)代入(2)得：，解得： 把代入(3)得：；把代入(3)得：． ∴原方程組的解是：． 說明：(1) 解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟： ①由二元一次方程變形為用表示的方程，或用表示的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一個(gè)一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程； ④把一元二次方程的根，代入變形后的二元一次方程(3)，求相應(yīng)的未知數(shù)的 值； ⑤寫出答案． (2) 消，還是消，應(yīng)由二元一次方程的系數(shù)來決定．若系數(shù)均為整數(shù)，那 么最好消去系數(shù)絕對值較小的，如方程，可以消去，變形 得，再代入消元． (3) 消元后，求出一元二次方程的根，應(yīng)代入二元一次方程求另一未知數(shù)的值， 不能代入二元二次方程求另一未知數(shù)的值，因?yàn)檫@樣可能產(chǎn)生增根，這一點(diǎn) 切記． 【例2】解方程組 分析：本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點(diǎn)，可以把、看成是方程的兩根，則更容易求解． 解：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把、看成是方程的兩根，解方程得：． ∴ 原方程組的解是：． 說明：(1) 對于這種對稱性的方程組，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程時(shí)，未知數(shù)要換成異于、的字母，如． (2) 對稱形方程組的解也應(yīng)是對稱的，即有解，則必有解． 二、由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組 1．可因式分解型的方程組 方程組中的一個(gè)方程可以因式分解化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程組，其中每個(gè)方程組都是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成． 【例3】解方程組 分析：注意到方程，可分解成，即得或，則可得到兩個(gè)二元二次方程組，且每個(gè)方程組中均有一個(gè)方程為二元一次方程． 解：由(1)得： ∴ 或 ∴ 原方程組可化為兩個(gè)方程組： 用代入法解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是： 說明：由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組中，有一個(gè)方程可以通過因式分解，化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)方程組，其中每一個(gè)方程組均有一個(gè)方程是二元一次方程． 【例4】解方程組 分析：本題的特點(diǎn)是方程組中的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，我們可以消去常數(shù)項(xiàng)，可得到一個(gè)二次三項(xiàng)式的方程．對其因式分解，就可以轉(zhuǎn)化為例3的類型． 解：(1) –(2)得： 即 ∴ ∴ 原方程組可化為兩個(gè)二元一次方程組：． 用代入法解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是：． 說明：若方程組的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，則消去常數(shù)項(xiàng)，得到一個(gè)二元二次方程．此方程與原方程組中的任一個(gè)方程聯(lián)立，得到一個(gè)可因式分解型的二元二次方程組． 【例5】解方程組 分析：(1) +(2)得：，(1) -(2)得：，分別分解(3)、(4)可得四個(gè)二元一次方程組． 解：(1) +(2)得：， (1) -(2)得：． 解此四個(gè)方程組，得原方程組的解是： ． 說明：對稱型方程組，如、都可以通過變形轉(zhuǎn)化為的形式，通過構(gòu)造一元二次方程求解． 2．可消二次項(xiàng)型的方程組 【例6】解方程組 分析：注意到兩個(gè)方程都有項(xiàng)，所以可用加減法消之，得到一個(gè)二元一次方程，即轉(zhuǎn)化為由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組． 解：(1) 得： 代入(1)得：． 分別代入(3)得：． ∴ 原方程組的解是：． 說明：若方程組的兩個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)對應(yīng)成比例，則可用加減法消去二次項(xiàng)，得到一個(gè)二元一次方程，把它與原方程組的任意一個(gè)方程聯(lián)立，解此方程組，即得原方程組的解． 二元二次方程組類型多樣，消元與降次是兩種基本方法，具體問題具體解決． 練 習(xí) A 組 1．解下列方程組： (1) (2) (3) (4) 2．解下列方程組： (1) (2) 3．解下列方程組： (1) (2) (3) (4) 4．解下列方程組： (1) (2) B 組 1．解下列方程組： (1) (2) 2．解下列方程組： (1) (2) 3．解下列方程組： (1) (2) 4．解下列方程組： (1) (2) 第六講 簡單的二元二次方程組答案 A 組 1． 2． 3． ． 4．(1) ．(2) ． B 組 1． 2． 3． 4．，