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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 階段回扣練9 平面解析幾何 文 新人教A版 一、選擇題 1．(xx北京西城區(qū)模擬)直線y＝2x為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線，則雙曲線C的離心率是 (　　) A. B.　　 C. D. 解析　由題意知＝2，得b＝2a，c＝a，所以e＝＝，故選C. 答案　C 2．已知圓C經(jīng)過A(5,2)，B(－1,4)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程是 (　　) A．(x－2)2＋y2＝13 B．(x＋2)2＋y2＝17 C．(x＋1)2＋y2＝40 D．(x－1)2＋y2＝20 解析　設(shè)圓心坐標為C(a,0)，則|AC|＝|BC|，即＝，解得a＝1，所以半徑r＝＝＝2，所以圓C的方程是(x－1)2＋y2＝20. 答案　D 3．(xx南昌模擬)方程(x2＋y2－2x)＝0表示的曲線是 (　　) A．一個圓和一條直線 B.一個圓和一條射線 C．一個圓 D.一條直線 解析　依題意，題中的方程等價于①x＋y－3＝0或②注意到圓x2＋y2－2x＝0上的點均位于直線x＋y－3＝0的左下方區(qū)域，即圓x2＋y2－2x＝0上的點均不滿足x＋y－3≥0，②不表示任何圖形，因此題中的方程表示的曲線是直線x＋y－3＝0，故選D. 答案　D 4．(xx東北三省四市聯(lián)考)以橢圓＋＝1的焦點為頂點，以橢圓的頂點為焦點的雙曲線的離心率為 (　　) A. B.　　 C. D. 解析　由題意知雙曲線的a＝，c＝2，所以e＝＝＝. 答案　B 5．(xx福州質(zhì)量檢測)若直線x－y＋2＝0與圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B兩點，則的值為 (　　) A．－1 B.0　　 C．1 D.10 解析　依題意，圓心C(3,3)到直線x－y＋2＝0的距離等于＝，cos＝，＝45，∠ACB＝90，＝0，故選B. 答案　B 6．(xx成都診斷)已知實數(shù)1，m,4構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為 (　　) A. B.　　 C.或 D.或3 解析　由已知得m＝2.當m＝2時，該圓錐曲線表示橢圓，此時a＝，b＝1，c＝1，e＝；當m＝－2時，該圓錐曲線表示雙曲線，此時a＝1，b＝，c＝，e＝，故選C. 答案　C 7．若直線ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)過點(1,1)，則該直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為 (　　) A．1 B.2　　 C．4 D.8 解析　依題意得＋＝1，a＋b＝(a＋b)＝2＋≥4，當且僅當a＝b＝2時取等號，因此a＋b的最小值是4，即該直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值是4，故選C. 答案　C 8．(xx長沙模擬)設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，離心率e＝，右焦點F(c,0)．方程ax2－bx－c＝0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，則點P(x1，x2)與圓x2＋y2＝8的位置關(guān)系是 (　　) A．點P在圓外 B.點P在圓上 C．點P在圓內(nèi) D.不確定 解析　依題意得a＝b，c＝a，x1＋x2＝＝1，x1x2＝－＝－，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋2＜8，因此點P位于圓x2＋y2＝8內(nèi)，故選C. 答案　C 9．(xx?？谡{(diào)研)已知點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線左支上的任意一點，且|PF2|＝2|PF1|，若△PF1F2為等腰三角形，則雙曲線的離心率為 (　　) A．3 B.　　 C．2 D. 解析　依題意得|PF2|－|PF1|＝2a，又|PF2|＝2|PF1|，所以|PF2|＝4a，|PF1|＝2a.又△PF1F2為等腰三角形，所以|PF2|＝|F1F2|，即4a＝2c，所以雙曲線的離心率為e＝＝2，故選C. 答案　C 10．(xx西安模擬)已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則的最小值為 (　　) A．－2 B.－　　 C．1 D.0 解析　設(shè)點P(x，y)，其中x≥1.依題意得A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)，則有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，＝(－1－x，－y)(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，當x＝1時，取得最小值－2，選A. 答案　A 二、填空題 11．(xx成都診斷)已知直線l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：2x－y＝0.若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為________． 解析　依題意得＝－，解得a＝1. 答案　1 12．(xx濟南模擬)已知直線3x－4y＋a＝0與圓x2－4x＋y2－2y＋1＝0相切，則實數(shù)a的值為________． 解析　圓的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，由直線3x－4y＋a＝0與圓(x－2)2＋(y－1)2＝4相切得圓心(2,1)到直線的距離d等于半徑，所以d＝＝2，解得a＝－12或8. 答案?。?2或8 13．(xx云南統(tǒng)一檢測)已知雙曲線S與橢圓＋＝1的焦點相同，如果 y＝x是雙曲線S的一條漸近線，那么雙曲線S的方程為________． 解析　由題意可得雙曲線S的焦點坐標是(0，5)．又y＝x是雙曲線S的一條漸近線，所以c＝5，＝，a2＋b2＝c2，解得a＝3，b＝4，所以雙曲線S的標準方程為－＝1. 答案　－＝1 14．(xx湖北七市(州)聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為45的直線與雙曲線的左支沒有公共點，則此雙曲線離心率的取值范圍是________． 解析　依題意，0＜≤tan 45＝1，所以雙曲線的離心率e＝∈(1，]． 答案　(1，] 15．(xx山東卷)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2c，右頂點為A，拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點為F.若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為2c，且|FA|＝c，則雙曲線的漸近線方程為________． 解析　c2＝a2＋b2.① 由雙曲線截拋物線的準線所得線段長為2c知， 雙曲線過點， 即－＝1.② 由|FA|＝c，得c2＝a2＋，③ 由①③得p2＝4b2.④ 將④代入②，得＝2. ∴＝2，即＝1， 故雙曲線的漸近線方程為y＝x，即xy＝0. 答案　xy＝0 三、解答題 16．(xx東北三省四市聯(lián)考)圓M和圓P：x2＋y2－2x－10＝0相內(nèi)切，且過定點Q(－，0)． (1)求動圓圓心M的軌跡方程； (2)斜率為的直線l與動圓圓心M的軌跡交于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過點，求直線l的方程． 解　(1)由已知|MP|＝2－|MQ|， 即|MP|＋|MQ|＝2， 且2大于|PQ|， 所以M的軌跡是以(－，0)，(，0)為焦點，2為長軸長的橢圓，即其方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋m，代入橢圓方程得10x2＋6mx＋3m2－3＝0， 所以x1＋x2＝－m， 則AB的中點為， AB的垂直平分線方程為 y－m＝－， 將代入得m＝， 所以直線l的方程為y＝x＋. 17．(xx安徽卷)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周長為16，求|AF2|； (2)若cos∠AF2B＝，求橢圓E的離心率． 解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因為△ABF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)設(shè)|F1B|＝k，則k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由橢圓定義可得， |AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得， |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)． 化簡可得(a＋k)(a－3k)＝0， 而a＋k＞0，故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2， 可得F1A⊥F2A， △AF1F2為等腰直角三角形． 從而c＝a，所以橢圓E的離心率e＝＝. 18．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，橢圓C的短軸的一個端點P到焦點的距離為2. (1)求橢圓C的方程； (2)已知直線l：y＝kx＋與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由． 解　(1)設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得 解得所以b2＝a2－c2＝4－3＝1， 故所求橢圓C的方程為＋x2＝1. (2)存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O. 理由如下： 設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線l 的方程y＝kx＋代入＋x2＝1， 并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0.(*) 則x1＋x2＝－，x1x2＝－. 因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O， 所以＝0，即x1x2＋y1y2＝0. 又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋3， 于是－－＋3＝0，解得k＝， 經(jīng)檢驗知：此時(*)式的Δ＞0，符合題意． 所以當k＝時，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O. 19.(xx浙江卷)已知△ABP的三個頂點都在拋物線C：x2＝4y上，F(xiàn)為拋物線C的焦點，點M為AB的中點，＝3. (1)若||＝3，求點M的坐標； (2)求△ABP面積的最大值． 解　(1)由題意知焦點F(0,1)，準線方程為y＝－1. 設(shè)P(x0，y0)，由拋物線定義知|PF|＝y(tǒng)0＋1，得到y(tǒng)0＝2，所以P(2，2)或 P(－2，2)． 由＝3，分別得M或M. (2)設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，點A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)． 由得x2－4kx－4m＝0. 于是Δ＝16k2＋16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， 所以AB中點M的坐標為(2k,2k2＋m)． 由＝3，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)， 所以 由x＝4y0，得k2＝－m＋. 由Δ＞0，k2≥0，得－＜m≤. 又因為|AB|＝4， 點F(0,1)到直線AB的距離為d＝. 所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1| ＝ . 記f(m)＝3m3－5m2＋m＋1. 令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0， 解得m1＝，m2＝1. 可得f(m)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)． 又f＝＞f. 所以，當m＝時，f(m)取到最大值， 此時k＝. 所以，△ABP面積的最大值為.