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2019年高中數(shù)學 4.4.3 第2課時 圓、橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用課后知能檢測 蘇教版選修4-4 1．當x2＋y2＝4時，求u＝x2＋2xy－y2的最值． 【解】　設(shè)(0≤θ<2π)，于是 u＝x2＋2xy－y2 ＝4cos2θ＋8cos θsin θ－4sin2θ ＝4cos 2θ＋4sin 2θ ＝8sin(2θ＋)． 所以，當θ＝，x＝，y＝1時，或θ＝，x＝－，y＝－1時，umax＝8； 當θ＝，x＝－1，y＝時，或θ＝，x＝1，y＝－時，umin＝－8. 2．若x，y滿足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． 【解】　令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，則有 x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2 ＝4cos θ＋2sin θ＝2sin(θ＋φ)(tan φ＝2)． ∴－2≤2x＋y≤2. 即2x＋y的最大值為2，最小值為－2. 3．過點P(－3,0)且傾斜角為30的直線和曲線(t為參數(shù))相交于A、B兩點．求線段AB的長． 【解】　直線的參數(shù)方程為(s為參數(shù))， 曲線(t為參數(shù))可以化為 x2－y2＝4. 將直線的參數(shù)方程代入上式，得 s2－6s＋10＝0. 設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為s1，s2， ∴s1＋s2＝6，s1s2＝10. AB＝|s1－s2|＝＝2. 4．已知A是橢圓長軸的一個端點，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點P，使∠OPA＝90，求橢圓離心率的取值范圍． 【解】　設(shè)橢圓的方程為＋＝1，A(a,0)，設(shè)P(acos θ，bsin θ)是橢圓上一點，則＝(acos θ－a，bsin θ)，＝(acos θ，bsin θ)，由于∠OPA＝90，所以＝0，即(acos θ－a)acos θ＋b2sin2θ＝0， a2(cos2θ－cos θ)＋b2sin2θ＝0， a2cos θ(cos θ－1)＋b2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0. 因為P與A不重合， 所以cos θ－1≠0， 則a2cos θ＝b2(1＋cos θ)， ＝， ＝1－＝1－＝. 因為θ∈(0，)∪(π，2π)， 所以∈(，1)，e∈(，1)． 5．已知橢圓＋y2＝1上任一點M(除短軸端點外)與短軸兩端點B1、B2的連線分別交x軸于P、Q兩點，求證：OPOQ為定值． 【證明】　設(shè)M(2cos φ，sin φ)，φ為參數(shù)，B1(0，－1)， B2(0,1)． 則MB1的方程：y＋1＝x， 令y＝0， 則x＝， 即OP＝||. MB2的方程：y－1＝x， 令y＝0，則x＝. ∴OQ＝||. ∴OPOQ＝||||＝4. 即OPOQ＝4為定值． 6．已知直線C1：(t為參數(shù))，圓C2：(θ為參數(shù))， (1)當α＝時，求C1與C2的交點坐標； (2)過坐標原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當α變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線． 【解】　(1)當α＝時，C1的普通方程為y＝(x－1)，C2的普通方程為x2＋y2＝1. 聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點為(1,0)，(，－)． (2)C1的普通方程為xsin α－ycos α－sin α＝0. A點坐標為(sin2α，－cos αsin α)，故當α變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))， P點軌跡的普通方程為(x－)2＋y2＝， 故P點的軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓． 7．求橢圓C：＋＝1上的點P到直線l：3x＋4y＋18＝0的距離的最小值． 【解】　設(shè)點P的坐標為(4cos θ，3sin θ)，其中θ∈[0,2π)， 則點P到直線l的距離 d＝＝ ＝≥， 當sin(θ＋)＝－1時，等號成立．因為θ∈[0,2π)，所以θ＝. 所以當θ＝時，d取得最小值. 教師備選 8．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為，其中θ為參數(shù)．以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρcos(θ＋)＝3.求橢圓C上的點到直線l距離的最大值和最小值． 【解】　直線l的普通方程為：x－y－3＝0，設(shè)橢圓C上的點到直線l距離為d. d＝ ＝ ∴當sin(θ－)＝1時，dmax＝2， 當sin(θ－)＝－1時，dmin＝.