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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第四章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 理（含解析）
1. （xx重慶，5分）已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實(shí)數(shù)k＝( )
A．－ B．0
C．3 D.
解析： 因?yàn)?a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，選C.
答案：C
2. （xx山東，5分）在△ABC中，已知＝tan A，當(dāng)A＝時(shí)，△ABC的面積為________．
解析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的概念得
＝||||cos A，
當(dāng)A＝時(shí)，根據(jù)已知可得||||＝，
故△ABC的面積為||||sin ＝.
答案：
3. （xx安徽，5分）已知兩個(gè)不相等的非零向量a，b，兩組向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成．記S＝x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＋x5y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值．則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號(hào))．
①S有5個(gè)不同的值；
②若a⊥b，則Smin與|a|無關(guān)；
③若a∥b，則Smin與|b|無關(guān)；
④若|b|>4|a|，則Smin>0；
⑤若|b|＝2a，Smin＝8|a|2，則a與b的夾角為.
解析：對(duì)于①，若a，b有0組對(duì)應(yīng)乘積，則S1＝2a2＋3b2，若a，b有2組對(duì)應(yīng)乘積，則S2＝a2＋2b2＋2ab，若a，b有4組對(duì)應(yīng)乘積，則S3＝b2＋4ab，所以S最多有3個(gè)不同的值，①錯(cuò)誤；
因?yàn)閍，b是不等向量，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4ab＝2(a－b)2>0，S1－S2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S3
16|a|2＋16|a|2cos θ＝16|a|2(1＋cos θ)≥0，故Smin>0，④正確；
對(duì)于⑤，|b|＝2|a|，Smin＝4|a|2＋8|a|2cos θ＝8|a|2，所以cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，⑤錯(cuò)誤．
答案：②④
4. （xx湖北，5分）設(shè)向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ＝________.
解析：(a＋λb)⊥(a－λb)?(a＋λb)(a－λb)＝a2－λ2b2＝0?18－2λ2＝0?λ＝3.
答案：3
5. （xx天津，5分）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若＝1，＝－，則λ＋μ＝( )
A. B.
C. D.
解析：如圖所示，以菱形ABCD的兩條對(duì)角線所在直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，不妨設(shè)A(0，－1)，B(－，0)，C(0,1)，D(，0)，由題意得＝(1－λ)＝(λ－，λ－1)，＝(1－μ) ＝(－μ，μ－1)．
因?yàn)椋剑?，所?(λ－1)(1－μ)＋(λ－1)(μ－1)＝－，即(λ－1)(μ－1)＝.
因?yàn)椋剑?λ－，λ＋1)，
＝＋＝(－μ，μ＋1)，
又＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.
由
整理得λ＋μ＝.選C.
答案：C
6. （xx江蘇，5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，＝2，則的值是________．
解析：因?yàn)椋剑剑?
＝＋＝－，
所以＝＝
||2－||2－＝2，將AB＝8，AD＝5代入解得＝22.
答案：22
6. （xx安徽，5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，ab＝0，點(diǎn)Q滿足OQ―→＝(a＋b)．曲線C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，區(qū)域Ω＝{P|0c.已知＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解：(1)由＝2得cacos B＝2，
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋22＝13.
解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝＝.
因a＝b>c，所以C為銳角，
因此cos C＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝＋＝.
8．（xx湖南，5分）已知a，b是單位向量，ab＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是( )
A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
解析：本小題主要考查單位向量和向量的模的概念、向量垂直的條件，考查轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想．由a，b為單位向量且ab＝0，可設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，又設(shè)c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝，故由幾何性質(zhì)得 －1≤|c|≤ ＋1，即－1≤|c|≤＋1.
答案：A
9．（xx湖北，5分）已知點(diǎn)A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為( )
A. B.
C．－ D．－
解析：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量投影的概念，意在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況．＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影為||cos〈，〉＝||＝＝＝，故選A.
答案：A
10．（xx新課標(biāo)全國Ⅰ，5分）已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，c＝ta＋(1－t)b，若bc＝0，則t＝________.
解析：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算求解能力．根據(jù)數(shù)量積bc＝0，把已知兩向量的夾角轉(zhuǎn)化到兩向量數(shù)量積的運(yùn)算中．因?yàn)橄蛄縜，b為單位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夾角為60，所以ab＝，由bc＝0得b[ta＋(1－t)b]＝0，即tab＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2.
答案：2
11．（xx浙江，4分）設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于________．
解析：本題考查向量的概念、運(yùn)算、函數(shù)的最值等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、函數(shù)與方程思想以及靈活利用知識(shí)分析問題、解決問題的能力．當(dāng)x＝0時(shí)，＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，2＝＝＝≤4，所以的最大值是2，當(dāng)且僅當(dāng)＝－時(shí)取到最大值．
答案：2
12．（xx天津，5分）在平行四邊形ABCD中， AD＝1，∠BAD＝60，E為CD的中點(diǎn)．若＝1, 則AB的長(zhǎng)為________．
解析：本題考查平面向量的運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算求解能力．設(shè)||＝x，x＞0，則＝x.又＝(＋)(－)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的長(zhǎng)為.
答案：
13.（xx湖南，5分）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于( )
A．2 B．1
C. D.
解析：本小題主要考查對(duì)稱性和解析法，考查轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．以AB、AC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心D，設(shè)AP＝x，從而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P關(guān)于直線BC、AC的對(duì)稱點(diǎn)P1(4,4－x)、P2(－x,0)與△ABC的重心D共線，所以＝，求得x＝.
答案：D
14．（xx遼寧，12分）設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ab，求f(x)的最大值．
解：本題考查向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查三角函數(shù)的性質(zhì)．
(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，從而sin x＝，
所以x＝.
(2)f(x)＝ab＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
當(dāng)x＝∈時(shí)，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值為.
15．（xx遼寧，5分）已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是( )
A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥b
C．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b
解析：由|a＋b|＝|a－b|，兩邊平方并化簡(jiǎn)得ab＝0，又a，b都是非零向量，所以a⊥b.
答案：B
16．（xx湖南，5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，＝1，則BC＝( )
A. B.
C．2 D.
解析：設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.＝1，即accos B＝－1.在△ABC中，再根據(jù)余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，及AB＝c＝2，AC＝b＝3，可得a2＝3，即BC＝.
答案：A
17．（2011廣東，5分）若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，則c(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，
則c(a＋2b)＝ca＋2cb＝0.
答案：D
18．（2011遼寧，5分）若a，b，c均為單位向量，且ab＝0，(a－c)(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為( )
A.－1 B．1
C. D．2
解析：由已知條件，向量a，b，c都是單位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由ab＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)c≥c2＝1，因?yàn)閨a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2ac－2bc，
所以有|a＋b－c|2＝3－2(ac＋bc)≤1，
故|a＋b－c|≤1.
答案：B
2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第四章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 理（含解析）.doc
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