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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 第32課 正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用檢測(cè)評(píng)估 一、 填空題 1. 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,則角B=　　　　. 2. 如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,則BD的長(zhǎng)為　　　　. (第2題) 3. 一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行,已知河水流速為2km/h,則經(jīng)過h該船實(shí)際航行路程為　　　　. 4. 在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,則角B=　　　　. 5. 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若=,則=　　　　. 6. 如圖,測(cè)量河對(duì)岸的旗桿AB的高時(shí),選與旗桿底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,測(cè)得∠BCD=75,∠BDC=60,CD=a,并在點(diǎn)C測(cè)得旗桿頂A的仰角為60,則旗桿高AB為　　　　. (第6題) 7. 在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=6,b=4,C=120,那么sinB的值是　　　　. 8. 已知甲、乙兩樓相距20 m,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0,則甲、乙兩樓的高度相差　　　　. 二、 解答題 9. 設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=. (1) 求a,c的值; (2) 求sin(A-B)的值. 10. 甲艦在A處,乙艦在A的南偏東45方向、距A有9n mile的B處,并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向行駛,若甲艦以28n mile/h的速度行駛,應(yīng)沿什么方向,用多少時(shí)間,能盡快追上乙艦? 11. (xx南京、鹽城一模)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知c=2,C=. (1) 若△ABC的面積為,求a,b; (2) 若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面積. 第32課　正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用 1. 　解析:由正弦定理及已知可得a2+c2-b2=ac,所以cosB===,所以B=. 2. 　解析:cos∠BAD=cos(∠BAC-90)=sin∠BAC=,在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcos∠BAD=+32-233=3,所以BD=. 3. 6km　解析:如圖,在△ABC中,AB=2,BC=4,∠ABC=60,所以AC2=+-224cos60=36,故AC=6. (第3題) 4. 或　解析:由(a2+c2-b2)tanB=ac,得a2+c2-b2=,根據(jù)余弦定理得cosB=,所以cosB=,即tanBcosB=,所以sinB=,所以B=或B=. 5. 2　解析:由正弦定理得==, 即sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB,即sin(A+B)=2sin(B+C),即sinC=2sinA,所以=2. 6. a　解析:在△BCD中,由正弦定理得=?BC=a,在Rt△ABC中,AB=BCtan60=a=a. 7. 　解析:因?yàn)閏2=a2+b2-2abcosC=62+42-264cos120=76,所以c=2.由正弦定理得sinB===. 8. m　解析:由直角三角形中的邊角關(guān)系,可知甲、乙兩樓的高度相差m. 9. (1) 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB, 即b2=(a+c)2-2ac(1+cosB), 又a+c=6,b=2,cosb=,所以ac=9,解得 a=3,c=3. (2) 在△ABC中,sinB==, 由正弦定理得sinA==. 因?yàn)閍=c,所以A為銳角,所以cos A==, 故sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= 10. 設(shè)甲艦沿南偏東θ,th能最快追上乙艦,相遇點(diǎn)記為C(如圖所示), (第10題) 則在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=120. 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos∠ABC, 即(28t)2=81+(20t)2-2920t,整理得128t2-60t-27=0,解得t=, 故BC=15n mile,AC=21n mile. 由正弦定理得=, 所以sin∠BAC==, sin θ=sin(45-∠BAC)=,θ≈6.8. 故甲沿南偏東6.8,h能最快追上乙艦. 11. (1) 由余弦定理及已知條件得a2+b2-ab=4. 又因?yàn)椤鰽BC的面積為,所以absinC=,得ab=4. 聯(lián)立方程組　解得a=2,b=2. (2) 由題意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 所以sinBcosA=2sinAcosA. 若cosA=0,則A=,B=,a=,b=,所以△ABC的面積S=bc=. 若cosA≠0時(shí),則sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a, 聯(lián)立　解得a=,b=. 所以△ABC的面積S=absinC=. 綜上,△ABC的面積為.