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第7章數(shù)字濾波器設(shè)計(jì),7.1數(shù)字濾波器的分類(lèi)7.2數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理7.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.4FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.5IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較本章內(nèi)容參考：鄭君里等《信號(hào)與系統(tǒng)（第二版）》下冊(cè)第十章模擬與數(shù)字濾波器MATLAB:SignalProcessingToolbox,7.1數(shù)字濾波器的分類(lèi),數(shù)字濾波器是具有一定選擇特性的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)（物理裝置或軟件算法）。按照不同的分類(lèi)方法，可以對(duì)數(shù)字濾波器進(jìn)行多種分類(lèi)。此處首先介紹一種最重要的分類(lèi)方法，所得到的概念不僅是數(shù)字濾波器的最基本和最重要的概念，而且是數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。數(shù)字濾波器是離散時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)（或稱(chēng)為傳遞函數(shù)）一般可以表示為有理函數(shù)的形式：,此處不失一般性，令a0=1，稱(chēng)為歸一化。,（1）FIR數(shù)字濾波器,如果其余系數(shù)ai全為零，則此時(shí)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：對(duì)此式作z反變換，可得相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)h(n)為有限長(zhǎng)度的脈沖序列：稱(chēng)此類(lèi)數(shù)字濾波器為有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（FiniteImpulseResponseDigitalFilter），簡(jiǎn)稱(chēng)FIR數(shù)字濾波器。,（2）IIR數(shù)字濾波器,如果其余系數(shù)ai不全為零，此處以最簡(jiǎn)單的情況為例，設(shè)a1=-1，且設(shè)b0=1，其余系數(shù)ai和bi全為零，則此時(shí)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：對(duì)此式作z反變換，可得相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)h(n)為無(wú)限長(zhǎng)度的脈沖序列：稱(chēng)此類(lèi)數(shù)字濾波器為無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（InfiniteImpulseResponseDigitalFilter），簡(jiǎn)稱(chēng)IIR數(shù)字濾波器。,例1：已知某數(shù)字濾波器的差分方程為,即該離散時(shí)間系統(tǒng)的輸出序列y(n)是當(dāng)前時(shí)刻的輸入序列x(n)與前一時(shí)刻的輸入序列x(n-1)的兩點(diǎn)加權(quán)平均值（也稱(chēng)為輸入序列的兩點(diǎn)移動(dòng)加權(quán)平均值），其中b0和b1為加權(quán)平均系數(shù)。試求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)。解：對(duì)差分方程的兩邊?。▎芜叄﹝變換，得,進(jìn)而得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為,對(duì)上式取z反變換，可得該數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)為,顯然，此h(n)為有限長(zhǎng)序列，此系統(tǒng)為FIR系統(tǒng)。,該FIR系統(tǒng)的頻率特性（頻率響應(yīng)）：,b0=0.5;b1=0.5;num=[b0b1];den=1;freqz(num,den);,由圖可見(jiàn)：（1）該系統(tǒng)的幅頻特性具有低通濾波的特性。（2）該系統(tǒng)沒(méi)有極點(diǎn)，或者可以認(rèn)為極點(diǎn)在原點(diǎn)處，所以系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。（3）當(dāng)b0=0.5，b1=0.5時(shí)，具有線(xiàn)性相位。,該FIR系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)：非遞歸（開(kāi)環(huán)，無(wú)反饋）。從該FIR系統(tǒng)的差分方程為可知，這種濾波器的輸出y(n)只與當(dāng)前時(shí)刻的輸入x(n)以及過(guò)去時(shí)刻的輸入x(n-1)有關(guān)，而與過(guò)去時(shí)刻的輸出無(wú)關(guān)。所以，該FIR系統(tǒng)通常采用非遞歸的結(jié)構(gòu)形式來(lái)實(shí)現(xiàn)。,可以證明，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格線(xiàn)性相位的充要條件是其單位脈沖響應(yīng)序列h(n)為偶對(duì)稱(chēng)，即h(n)=h(N-1-n)，即n=(N–1)/2是h(n)的偶對(duì)稱(chēng)中心。,例2：已知某數(shù)字濾波器的差分方程為,即該離散時(shí)間系統(tǒng)的輸出序列y(n)不僅與當(dāng)前時(shí)刻的輸入序列x(n)有關(guān)，而且與前一時(shí)刻的輸出序列y(n-1)也有關(guān)，其中a和b為系數(shù)。試求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)。解：對(duì)差分方程的兩邊取（單邊）z變換，得,進(jìn)而得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為,對(duì)上式取z反變換，可得該數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)為,顯然，此h(n)為無(wú)限長(zhǎng)序列，此系統(tǒng)為IIR系統(tǒng)。,該IIR系統(tǒng)的頻率特性（頻率響應(yīng)）：,b=0.5;a=0.5;num=b;den=[1-a];freqz(num,den);,由圖可見(jiàn)：（1）該系統(tǒng)的幅頻特性具有低通濾波的特性。（2）當(dāng)a<1時(shí)，極點(diǎn)z=a位于單位圓以?xún)?nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）穩(wěn)定的系統(tǒng)具有非線(xiàn)性相位。,該IIR系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)：遞歸（閉環(huán)，有反饋）。從該IIR系統(tǒng)的差分方程為可知，這種濾波器的輸出y(n)不僅與當(dāng)前時(shí)刻的輸入x(n)有關(guān)，而且與前一時(shí)刻的輸出y(n-1)也有關(guān)。所以，該IIR系統(tǒng)通常采用遞歸的結(jié)構(gòu)形式來(lái)實(shí)現(xiàn)。,7.2數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理,數(shù)字濾波器是一種具有頻率選擇性的離散時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，即選頻濾波器。許多信息處理過(guò)程，例如信號(hào)的過(guò)濾、檢測(cè)、預(yù)測(cè)等都要用到濾波器。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理中使用得最廣泛的一種線(xiàn)性系統(tǒng)，是數(shù)字信號(hào)處理的重要基礎(chǔ)。數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）是，將一組輸入的數(shù)字序列，通過(guò)一定的運(yùn)算后，轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列。實(shí)現(xiàn)方法主要有兩種：數(shù)字信號(hào)處理硬件和計(jì)算機(jī)軟件。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，就是確定其系統(tǒng)函數(shù)（傳遞函數(shù)）并實(shí)現(xiàn)的過(guò)程。,7.2.1數(shù)字濾波器的基本設(shè)計(jì)步驟,（1）按照實(shí)際需要確定濾波器的性能指標(biāo)。（2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求，求出H(z)或h(n)。根據(jù)不同要求，可以用IIR系統(tǒng)函數(shù)，也可以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近。（3）利用有限精度算法來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。這里包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)（例如級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型等），選擇合適的字長(zhǎng)（包括系數(shù)的量化，輸入變量、中間變量和輸出變量的量化），以及選擇有效數(shù)字的處理方法（舍入、截尾）等。（4）采用適當(dāng)?shù)能浖陀布夹g(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。包括可以采用通用計(jì)算機(jī)軟件或數(shù)字濾波器硬件來(lái)實(shí)現(xiàn)，或者采用二者結(jié)合的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。,7.2.2數(shù)字濾波器的基本設(shè)計(jì)思想,（1）確定數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)的過(guò)程，稱(chēng)為數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)。（2）在大多數(shù)應(yīng)用中，關(guān)鍵的問(wèn)題是用一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的傳遞函數(shù)去逼近給定的濾波器幅度響應(yīng)指標(biāo)，而濾波器的相位響應(yīng)可以通過(guò)級(jí)聯(lián)全通濾波器來(lái)校正。（3）在設(shè)計(jì)數(shù)字傳遞函數(shù)H(z)之前，有兩個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題需要考慮：①分析使用數(shù)字濾波器的整個(gè)系統(tǒng)的需求，確定合理的濾波器頻率響應(yīng)指標(biāo)。②確定所設(shè)計(jì)的濾波器是FIR數(shù)字濾波器，還是IIR數(shù)字濾波器。,7.2.3數(shù)字濾波器的基本性能指標(biāo),符號(hào)規(guī)則說(shuō)明：在數(shù)字信號(hào)處理中，為了書(shū)寫(xiě)方便起見(jiàn)，原來(lái)用大寫(xiě)希臘字母表示的數(shù)字頻率Ω，現(xiàn)在用小寫(xiě)希臘字母ω來(lái)表示。而模擬頻率卻用大寫(xiě)希臘字母Ω表示。（1）理想濾波器的幅頻響應(yīng)理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)是非因果、無(wú)限長(zhǎng)序列，在物理上無(wú)法實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)實(shí)中，需要指定可接受的誤差容限，并且在通帶和阻帶之間指定一個(gè)過(guò)渡帶。,說(shuō)明：①前面已經(jīng)證明，數(shù)字頻率ω具有周期性，且最小周期為2π。②數(shù)字濾波器與模擬濾波器相似，根據(jù)幅頻響應(yīng)的特性也可以分為低通、高通、帶通、帶阻等類(lèi)型。③與模擬濾波器不同之處是，數(shù)字濾波器是離散系統(tǒng)，其幅頻特性|H(ejω)|是以2π為周期的周期函數(shù)。因?yàn)閷?shí)數(shù)序列的離散時(shí)間傅里葉變換為偶函數(shù)，所以數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻等幅頻特性都是指數(shù)字角頻率在ω=0~π的頻率范圍之內(nèi)而言的。在一般情況下，ω=0為最低數(shù)字角頻率，ω=π為最高數(shù)字角頻率。,（2）實(shí)際低通數(shù)字濾波器的典型幅頻響應(yīng)性能指標(biāo),數(shù)字濾波器指標(biāo)：,通帶：0??????p,阻帶：?s??????,?p:通帶截止頻率(passbandedgefrequency)?s:阻帶截止頻率(stopbandedgefrequency)?p:通帶波紋(peakripplevalueinthepassband)?s:阻帶波紋(peakripplevalueinthestopband),?p:峰值通帶波紋（Peakpassbandripple）,?s:最小阻帶衰減（Minimumstopbandattenuation）,損益函數(shù)（lossfunction）：,（3）歸一化的（normalizedform）低通數(shù)字濾波器的典型幅頻響應(yīng)性能指標(biāo),通帶幅度的最大值設(shè)定為1。最大通帶波紋(maximumpassbanddeviation):最大阻帶波紋(maximumstopbandmagnitude):最大通帶衰減(maximumpassbandattenuation):,數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，需要將以Hz為單位的截止頻率，按歸一化角頻率來(lái)設(shè)計(jì)，需要做如下計(jì)算：設(shè)FT為采樣頻率（Hz），F(xiàn)p和Fs分別為通帶和阻帶的截止頻率（Hz），則歸一化截止角頻率為：,例：設(shè)FT=25kHz,Fp=7kHz,Fs=3kHz,則歸一化截止角頻率為（rad）：,7.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì),IIR數(shù)字濾波器的基本設(shè)計(jì)思想：將IIR數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)出該模擬濾波器，然后再將其轉(zhuǎn)換成IIR數(shù)字濾波器。,7.3.1IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理,7.3.1.1IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟（1）按照實(shí)際需要確定濾波器的性能要求。（2）用一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的H(z)或h(n)去逼近這個(gè)性能要求。（3）用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。,7.3.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法（1）先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成滿(mǎn)足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。（2）由于模擬濾波器的設(shè)計(jì)理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟，模擬濾波器有簡(jiǎn)單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，設(shè)計(jì)起來(lái)方便、準(zhǔn)確，可以將這些理論推廣到數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，作為設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的工具。（3）因?yàn)閿?shù)字濾波器在很多場(chǎng)合所要完成的任務(wù)與模擬濾波器相同，這時(shí)數(shù)字濾波也可看作是“模仿”模擬濾波器。在IIR濾波器設(shè)計(jì)中，采用這種設(shè)計(jì)方法目前最普遍。,7.3.1.2根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器的原則利用模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)H(s)出發(fā)，設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)，這歸根到底是一個(gè)由s平面到z平面的映射，這種映射應(yīng)當(dāng)遵循兩個(gè)基本原則：（1）H(z)的頻響要能模仿H(s)的頻響，即s平面的虛軸應(yīng)當(dāng)映射到z平面的單位圓上。（2）H(s)的因果性和穩(wěn)定性應(yīng)當(dāng)在映射成H(z)之后保持不變，即s平面的左半平面Re{s}＜0應(yīng)當(dāng)映射到z平面的單位圓以?xún)?nèi)|z|<1。,下面介紹IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的兩種常用的映射方法：（1）脈沖響應(yīng)不變法(ImpulseInvarianceMethod)（2）雙線(xiàn)性變換法(BilinearTransformMethodorTustinsMethod)所對(duì)應(yīng)的MATLABFunction分別為：（1）Function:impinvarDescription:Impulseinvariancemethodforanalog-to-digitalfilterconversion.（2）Function:bilinearDescription:Bilineartransformmethodforanalog-to-digitalfilterconversion.具體使用方法參見(jiàn)：MATLABSignalProcessingToolboxFilterDiscretization,7.3.2脈沖響應(yīng)不變法,采用模擬濾波器的理論設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是使數(shù)字濾波器能夠“模仿”模擬濾波器的特性。這種“模仿”可從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法就是從濾波器的單位脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)正好等于模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(t)的采樣值，即h(n)=h(t)|t=nT，其中T為采樣周期。下圖為脈沖響應(yīng)不變法的原理圖。以H(s)和H(z)分別表示h(t)的拉氏變換和h(n)的z變換，即H(s)=L[h(t)]，H(z)=Z[h(n)]，下面舉例說(shuō)明如何從H(s)推導(dǎo)和計(jì)算出H(z)。,脈沖響應(yīng)不變法的原理：數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列是模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的采樣值。(ILT)(Sample)(ZT)H(s)→→→h(t)→→→h(n)→→→H(z),不失一般性，設(shè)具有單極點(diǎn)的模擬濾波器的傳遞函數(shù)H(s)為,顯然此H(s)的極點(diǎn)為s=-a。下面推導(dǎo)脈沖響應(yīng)不變法的映射規(guī)律。對(duì)H(s)進(jìn)行拉氏反變換，得模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為,以采樣間隔T對(duì)h(t)進(jìn)行等間隔采樣，得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)為,顯然此H(z)的極點(diǎn)為z=e-aT?？疾霩(s)的極點(diǎn)與H(z)的極點(diǎn)的映射關(guān)系，可得脈沖響應(yīng)不變法的映射規(guī)律，就是將s平面的極點(diǎn)s=-a映射到z平面的極點(diǎn)z=e-aT。該映射關(guān)系就是從拉氏變換到z變換的映射關(guān)系：z=esT本例中的極點(diǎn)：,對(duì)h(n)進(jìn)行z變換，得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)為,說(shuō)明1：從上述的推導(dǎo)過(guò)程可以看到，s平面的極點(diǎn)s=-a映射到z平面的極點(diǎn)是z=e-aT，而H(s)與H(z)中的部分分式所對(duì)應(yīng)的分子部分的系數(shù)不變。但應(yīng)當(dāng)注意，只有將H(s)表示為部分分式形式時(shí)，這種從H(s)到H(z)的對(duì)應(yīng)變換關(guān)系才成立。說(shuō)明2：穩(wěn)定性分析。如果模擬濾波器H(s)是穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn)p都應(yīng)當(dāng)在s平面的左半平面，即Re[p]<0，進(jìn)而可得|epT|1，即將s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外。穩(wěn)定性分析：因?yàn)閟平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)，s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外，所以，穩(wěn)定的模擬濾波器H(s)通過(guò)雙線(xiàn)性變換后，所得到的數(shù)字濾波器H(z)也是穩(wěn)定的。,（3）當(dāng)σ=0時(shí)，可得r=1，即將s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上。將此條件代入上式，還還可以得到，從模擬頻率Ω到數(shù)字頻率ω的映射變換關(guān)系為正切函數(shù)變換，如下所示。,正切變換是非線(xiàn)性的單值映射或一一映射關(guān)系，將模擬頻率Ω的無(wú)限定義域壓縮到了數(shù)字頻率ω的有限定義域上，s平面的整個(gè)虛軸對(duì)應(yīng)于z平面單位圓的一周。因此，雙線(xiàn)性變換法使數(shù)字濾波器H(z)的頻率特性避免發(fā)生頻譜混疊的現(xiàn)象。這是雙線(xiàn)性變換法的最大優(yōu)點(diǎn)。,雙線(xiàn)性變換法使得s平面與z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。但數(shù)字頻率和模擬頻率卻是非線(xiàn)性關(guān)系。,雙線(xiàn)性變換法的頻率非線(xiàn)性關(guān)系。從圖中還可以看到，在零頻率附近，Ω～ω接近于線(xiàn)性關(guān)系。當(dāng)Ω進(jìn)一步增加時(shí)，ω增長(zhǎng)變得緩慢。當(dāng)Ω為無(wú)窮大時(shí)，ω終止于折疊頻率π處。所以雙線(xiàn)性變換法不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過(guò)折疊頻率而混疊到低頻部分的現(xiàn)象。,雙線(xiàn)性變換法的主要缺點(diǎn)就是Ω與ω的非線(xiàn)性關(guān)系，會(huì)導(dǎo)致下列問(wèn)題：（1）線(xiàn)性相位模擬濾波器經(jīng)雙線(xiàn)性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線(xiàn)性相位。（2）數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變。例如一個(gè)模擬微分器，其幅度與頻率是直線(xiàn)關(guān)系，但通過(guò)雙線(xiàn)性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器,雖然雙線(xiàn)性變換有這樣的缺點(diǎn)，但它目前仍是使用得最普遍、最有效的一種設(shè)計(jì)工具。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們?cè)谕◣?nèi)要求逼近一個(gè)衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個(gè)衰減為∞的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過(guò)雙線(xiàn)性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線(xiàn)性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。,雙線(xiàn)性變換法的頻率變換是非線(xiàn)性變換，所存在頻率軸的非線(xiàn)性畸變可以通過(guò)預(yù)畸來(lái)解決。例如，一個(gè)考爾型的模擬濾波器H(s)，雙線(xiàn)性變換后，得到的H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性，只是通帶截止頻率、過(guò)渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點(diǎn)、谷點(diǎn)頻率等臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了非線(xiàn)性變化，即畸變。這種頻率點(diǎn)的畸變可以通過(guò)預(yù)畸來(lái)加以校正。,預(yù)畸變：將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，然后通過(guò)雙線(xiàn)性變換后，正好映射到所需要的頻率上。利用關(guān)系式：,將所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器臨界頻率點(diǎn)ωi，變換成對(duì)應(yīng)的模擬頻率Ωi，利用此Ωi設(shè)計(jì)模擬濾波器，再通過(guò)雙線(xiàn)性變換，即可得到所需的數(shù)字濾波器，其臨界頻率正是ωi，如下圖所示。,雙線(xiàn)性變換法的頻率預(yù)畸變,雙線(xiàn)性變換法克服了脈沖響應(yīng)不變法存在的頻譜混疊問(wèn)題，其幅度逼近程度好，可以應(yīng)用于高通和帶阻等各種濾波器的設(shè)計(jì)。因?yàn)殡p線(xiàn)性變換法的s與z之間有比較簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系，所以濾波器設(shè)計(jì)的運(yùn)算過(guò)程更加直接和簡(jiǎn)單，從模擬濾波器的傳遞函數(shù)和頻率特性，可直接通過(guò)代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)和頻率特性。,脈沖響應(yīng)不變法與雙線(xiàn)性變換法的比較和選擇：雙線(xiàn)性變換法的代數(shù)置換比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多。因此，在IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中，在一般情況下，采用雙線(xiàn)性變換法較多。只有強(qiáng)調(diào)濾波器的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好。,例4：采用雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器H(z)，已知所對(duì)應(yīng)的模擬低通濾波器的傳遞函數(shù)H(s)為,解：將傳遞函數(shù)H(s)分解為部分分式之和，然后進(jìn)行“雙線(xiàn)性”變量代換，即可得到H(z)。,例5：采用雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器H(z)，已知所對(duì)應(yīng)的模擬低通濾波器的傳遞函數(shù)H(s)為一階慣性環(huán)節(jié),設(shè)模擬低通濾波器在-3dB處的頻率為Ωp1=2000弧度/秒（即fp1=318.31Hz），并且設(shè)采樣頻率為fs=1500Hz（即采樣間隔為1/1500s）。,解：Ωp1=2000弧度/秒，fp1=Ωp1/2π=318.31Hz,頻率響應(yīng)之間的差異見(jiàn)上圖。數(shù)字濾波器的滾降比模擬濾波器要陡，而且?guī)捯膊煌?。這種誤差是由于雙線(xiàn)性變換的扭曲造成的。扭曲誤差可以通過(guò)對(duì)-3dB頻率的預(yù)扭曲來(lái)克服。,已知采樣頻率為fs=1500Hz，則數(shù)字濾波器的歸一化截止角頻率ω’p1為,則模擬濾波器在-3dB處的預(yù)扭曲模擬頻率Ω’p1為,采用預(yù)扭曲技術(shù)，得模擬濾波器的傳遞函數(shù)H’(s)和數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H’(z)分別為,,7.4FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì),可以證明，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格線(xiàn)性相位的充要條件是其有限長(zhǎng)的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)為偶對(duì)稱(chēng)，即h(n)=h(N-1-n)，即n=(N–1)/2是h(n)的偶對(duì)稱(chēng)中心。,序列的偶對(duì)稱(chēng)概念,FIR與IIR數(shù)字濾波器比較，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的主要特點(diǎn)如下。FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)：（1）容易獲得嚴(yán)格的線(xiàn)性相位，避免被處理信號(hào)產(chǎn)生相位失真。這一特點(diǎn)在寬頻帶信號(hào)處理、陣列信號(hào)處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要。（2）可以得到多帶幅頻特性。（3）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題。（4）任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過(guò)一定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，所以因果性總是滿(mǎn)足。（5）無(wú)反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。,FIR數(shù)字濾波器的缺點(diǎn)：（1）因?yàn)闊o(wú)極點(diǎn)，所以，如果要獲得好的過(guò)渡帶特性，需要以較高的階數(shù)為代價(jià)。（2）無(wú)法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無(wú)解析設(shè)計(jì)公式，需要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序才能完成。,7.4.1FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理,如果希望得到的數(shù)字濾波器的理想頻率特性為Hd(ejω)，那么FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)傳遞函數(shù)去逼近Hd(ejω)，其中h(n)為有限長(zhǎng)序列。逼近方法或設(shè)計(jì)原理一般有兩種：（1）時(shí)域窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域逼近），簡(jiǎn)稱(chēng)窗函數(shù)法。（2）頻率采樣法（頻域逼近）。,FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)常用的MATLABFunction為：（1）Function:fir1Purpose:Designawindow-basedfiniteimpulseresponsefilterDescription:fir1implementstheclassicalmethodofwindowedlinear-phaseFIRdigitalfilterdesign.Itdesignsfiltersinstandardlowpass,highpass,bandpass,andbandstopconfigurations.Bydefaultthefilterisnormalizedsothatthemagnituderesponseofthefilteratthecenterfrequencyofthepassbandis0dB.Syntax:b=fir1(n,Wn)b=fir1(n,Wn,ftype)b=fir1(n,Wn,window)b=fir1(n,Wn,ftype,window)b=fir1(...,normalization),（2）Function:fir2Purpose:Designafrequencysampling-basedfiniteimpulseresponsefilterDescription:fir2designsfrequencysampling-baseddigitalFIRfilterswitharbitrarilyshapedfrequencyresponse.Syntax:b=fir2(n,f,m)b=fir2(n,f,m,window)b=fir2(n,f,m,npt)b=fir2(n,f,m,npt,window)b=fir2(n,f,m,npt,lap)b=fir2(n,f,m,npt,lap,window)有關(guān)fir1與fir2的具體使用方法參見(jiàn)：MATLABSignalProcessingToolbox,7.4.2窗函數(shù)法,時(shí)域窗口設(shè)計(jì)法，就是從有限長(zhǎng)的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)著手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。而hd(n)可以從數(shù)字濾波器的理想頻率特性Hd(ejω)通過(guò)離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)的反變換(IDTFT)來(lái)獲得：,回顧第2章的離散時(shí)間非周期信號(hào)的DTFT：,在一般情況下，數(shù)字濾波器的理想頻率特性Hd(ejω)是分段恒定的，即在邊界頻率處有間斷點(diǎn)或突變點(diǎn)。所以，在這種情況下，所得到的理想單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)往往都是無(wú)限長(zhǎng)序列，而且是非因果的。但是FIR數(shù)字濾波器的h(n)是有限長(zhǎng)序列?，F(xiàn)在的問(wèn)題是，怎樣用一個(gè)有限長(zhǎng)序列h(n)去近似一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)序列hd(n)。最簡(jiǎn)單的辦法是直接從hd(n)中截取一段來(lái)作為h(n)，即hd(n)的近似。這種截取可以形象地想象為h(n)是通過(guò)一個(gè)“時(shí)間窗口”所看到的一段hd(n)。因此，h(n)可以表示為hd(n)和一個(gè)“時(shí)間窗口函數(shù)序列w(n)”的乘積，即h(n)=hd(n)w(n)。,此處的“時(shí)間窗口函數(shù)序列w(n)”可以是矩形脈沖函數(shù)序列。為了改善濾波器的頻率特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當(dāng)于在矩形窗內(nèi)對(duì)hd(n)進(jìn)行了一定的加權(quán)處理。采用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的過(guò)程：,窗函數(shù)的頻率特性的主要參數(shù)：（1）主瓣寬度(mainlobewidth)：主瓣兩邊最近過(guò)零點(diǎn)的距離，與窗長(zhǎng)有關(guān)。主瓣寬度決定了濾波器的過(guò)渡帶寬度。（2）相對(duì)旁瓣水平(relativesidelobelevel)：最大旁瓣與主瓣之間的dB差別，與窗長(zhǎng)無(wú)關(guān)，只與窗的類(lèi)型有關(guān)。相對(duì)旁瓣水平?jīng)Q定了濾波器的波紋。窗長(zhǎng)：窗函數(shù)的時(shí)域參數(shù)，指時(shí)間長(zhǎng)度。窗的類(lèi)型：窗函數(shù)的不同類(lèi)型。,窗函數(shù)的形狀及長(zhǎng)度的選擇很關(guān)鍵，一般希望窗函數(shù)滿(mǎn)足兩項(xiàng)要求：（1）窗譜主瓣盡可能地窄，以便能夠獲取較陡的過(guò)渡帶。（2）盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對(duì)幅度，也就是將能量盡量集中于主瓣，這樣使得肩峰和波紋減小，就可以增大阻帶的衰減。,常用的窗函數(shù)：（1）矩形窗(rectangularwindow)（2）漢寧窗(Hanningwindow)：升余弦窗（3）漢明窗(Hammingwindow)：改進(jìn)的升余弦窗（4）布萊克曼窗(Blackmanwindow)：二階升余弦窗,（1）矩形窗(rectangularwindow),（2）漢寧窗(Hanningwindow),（3）漢明窗(Hammingwindow),（4）布萊克曼窗(Blackmanwindow),四種窗函數(shù)的比較：窗函數(shù)的頻譜N=51，A=20lg|W(ω)/W(0)|,(1)RectangularWindow,(2)HanningWindow,四種窗函數(shù)的比較：序列及其頻譜,(4)BlackmanWindow,(3)HammingWindow,四種窗函數(shù)的比較：序列及其頻譜,FIR數(shù)字濾波器及窗函數(shù)的頻率特性,說(shuō)明：（1）窗函數(shù)的性能主要取決于它的兩個(gè)參數(shù)，即主瓣寬度和相對(duì)旁瓣級(jí)。（2）相對(duì)旁瓣級(jí)是最大旁瓣與主瓣以dB為單位的幅度差值。（3）最大通帶偏移和最小阻帶值之間的距離近似等于窗的主瓣寬度。（4）為了保證從通帶快速過(guò)渡到阻帶，窗函數(shù)應(yīng)該有一個(gè)非常小的主瓣。另一方面，為了減小通帶和阻帶波紋，旁瓣下的面積也要求非常小。遺憾的是，這兩個(gè)要求是相互矛盾的。,常用窗函數(shù)的頻率特性：,Windows(MATLABFunctions):barthannwin:ComputeamodifiedBartlett-Hannwindow.bartlett:ComputeaBartlettwindow.blackman:ComputeaBlackmanwindow.blackmanharris:Computeaminimum4-termBlackman-Harriswindow.bohmanwin:ComputeaBohmanwindow.chebwin:ComputeaChebyshevwindow.gausswin:ComputeaGaussianwindow.hamming:ComputeaHammingwindow.hann:ComputetheHann(Hanning)window.kaiser:ComputeaKaiserwindow.nuttallwin:ComputeaNuttall-definedminimum4-termBlackman-Harriswindow.rectwin:Computearectangularwindow.triang:Computeatriangularwindow.tukeywin:ComputeaTukey(taperedcosine)window.window:Windowfunctiongateway.,低通FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)法設(shè)計(jì)步驟：（1）確定通帶截止頻率fc：fc=(所要求的通帶邊緣頻率+阻帶邊緣頻率)/2（2）計(jì)算通帶截止頻率fc所對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率ωc,并計(jì)算理想低通FIR數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)：,（3）選擇合適的窗函數(shù)（盡可能滿(mǎn)足阻帶要求），并確定其長(zhǎng)度N=2M+1。（4）對(duì)理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)加窗。（5）將所得的脈沖響應(yīng)移位M以得到因果的濾波器h[n]：,Example1:b=0.4*sinc(0.4*(-25:25));[H,w]=freqz(b,1,512,2);s.xunits=rad/sample;s.yunits=squared;s.plot=mag;%Plotmagnitudeonly.freqzplot(H,w,s);title(TruncatedSincLowpassFIRFilter);,Example2:b=0.4*sinc(0.4*(-25:25));b=b.*hamming(51);[H,w]=freqz(b,1,512,2);s.xunits=rad/sample;s.yunits=squared;s.plot=mag;freqzplot(H,w,s);title(Hamming-WindowedTruncatedSincLPFIRFilter);,7.4.3頻率采樣法,在工程上，經(jīng)常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)計(jì)方法更加直接。頻率采樣法的基本思想：使所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性，在某些離散頻率點(diǎn)處的值，準(zhǔn)確地等于所需濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值。而在其它頻率處的特性，則需要有較好的逼近。,7.4.4最優(yōu)化設(shè)計(jì)法,前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計(jì)方法，即窗函數(shù)法（時(shí)域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法）。用這兩種方法設(shè)計(jì)出的數(shù)字濾波器的頻率特性，都是在不同意義上對(duì)給定理想頻率特性Hd(ejω)的逼近。對(duì)于逼近，就有一個(gè)逼近得“好”或“壞”的問(wèn)題。對(duì)“好”或“壞”的恒量標(biāo)準(zhǔn)不同，也會(huì)得出不同的結(jié)論。前面的窗口法和頻率采樣法，都是先給出逼近方法和所需變量，然后再討論其逼近特性。如果反過(guò)來(lái)，先要求在某種準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念。這種FIR數(shù)字濾波器的逼近設(shè)計(jì)方法就是最優(yōu)化設(shè)計(jì)法（等波紋逼近）。最優(yōu)化設(shè)計(jì)一般需要大量的計(jì)算，所以一般需要依靠計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)。,Example1:Designa48th-orderFIRbandpassfilterwithpassband0.35≤ω≤0.65.b=fir1(48,[0.350.65]);freqz(b,1,512);,Example2:Designa30th-orderlowpassfilterandoverplotthedesiredfrequencyresponsewiththeactualfrequencyresponse.f=[00.60.61];m=[1100];b=fir2(30,f,m);[h,w]=freqz(b,1,128);plot(f,m,w/pi,abs(h));grid;legend(Ideal,fir2Designed);title(ComparisonofFrequencyResponseMagnitudes);,7.5IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較,數(shù)字濾波器類(lèi)型的選擇：IIR和FIR這兩種數(shù)字濾波器究竟各自有什么特點(diǎn)？在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，應(yīng)該怎樣去選擇？為此，有必要對(duì)這兩種數(shù)字濾波器作一簡(jiǎn)單的比較。下面分別從性能、結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)工具上進(jìn)行比較。,7.5.1從性能上進(jìn)行比較,（1）從性能上來(lái)說(shuō)，IIR濾波器傳遞函數(shù)的極點(diǎn)可位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經(jīng)濟(jì)而效率高。但是這個(gè)高效率是以相位的非線(xiàn)性為代價(jià)的。選擇性越好，則相位非線(xiàn)性越嚴(yán)重。（2）相反，F(xiàn)IR濾波器卻可以得到嚴(yán)格的線(xiàn)性相位。然而由于FIR濾波器傳遞函數(shù)的極點(diǎn)固定在原點(diǎn)，所以只能用較高的階數(shù)達(dá)到高的選擇性。（3）對(duì)于同樣的濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)，F(xiàn)IR濾波器所要求的階數(shù)可以比IIR濾波器高5~10倍，結(jié)果成本較高，信號(hào)延時(shí)也較大。（4）如果按相同的選擇性和相同的線(xiàn)性要求來(lái)說(shuō)，則IIR濾波器就必須加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位較正，同樣要大增加濾波器的環(huán)節(jié)數(shù)和復(fù)雜性。,7.5.2從結(jié)構(gòu)上進(jìn)行比較,（1）IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點(diǎn)位置必須在單位圓內(nèi)，否則系統(tǒng)將不穩(wěn)定。另外，在這種結(jié)構(gòu)中，由于運(yùn)算過(guò)程中對(duì)序列的舍入處理，這種有限字長(zhǎng)效應(yīng)有時(shí)會(huì)引入寄生振蕩。（2）相反，F(xiàn)IR濾波器主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，不論在理論上，還是在實(shí)際的有限精度運(yùn)算中，都不存在穩(wěn)定性問(wèn)題，運(yùn)算誤差也較小。（3）此外，F(xiàn)IR濾波器可以采用快速付里葉變換算法，在相同階數(shù)的條件下，運(yùn)算速度可以快得多。,7.5.3從設(shè)計(jì)工具上進(jìn)行比較,（1）一種廣泛應(yīng)用的IIR濾波器設(shè)計(jì)方法，是將一個(gè)模擬的原型傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)數(shù)字的傳遞函數(shù)。而FIR濾波器的設(shè)計(jì)，則是基于對(duì)指定幅度響應(yīng)的直接逼近。（2）IIR濾波器可以借助于模擬濾波器的成果，因此一般都有有效的封閉形式的設(shè)計(jì)公式可供準(zhǔn)確計(jì)算，計(jì)算工作量比較小，對(duì)計(jì)算工具的要求不高。（3）FIR濾波器設(shè)計(jì)則一般沒(méi)有封閉形式的設(shè)計(jì)公式。窗口法雖然僅僅對(duì)窗口函數(shù)可以給出計(jì)算公式，但計(jì)算通帶和阻帶衰減等仍無(wú)顯式表達(dá)式。一般FIR濾波器的設(shè)計(jì)只有計(jì)算程序可循，因此對(duì)計(jì)算工具要求較高。,7.5.4總結(jié),（1）IIR濾波器雖然設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，但主要是用于設(shè)計(jì)具有片段常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器的格局。（2）而FIR濾波器則要靈活得多，尤其它能易于適應(yīng)某些特殊的應(yīng)用，如構(gòu)成微分器或積分器。例如，由于某些原因要求三角形振幅響應(yīng)或一些更復(fù)雜的幅頻響應(yīng)，因而有更大的適應(yīng)性和更廣闊的應(yīng)用范圍。（3）從上面的簡(jiǎn)單比較可以看到，IIR與FIR濾波器各有所長(zhǎng)，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)該從多方面考慮來(lái)加以選擇。例如，從使用要求上來(lái)看，在對(duì)相位要求不敏感的場(chǎng)合，如語(yǔ)言通訊等，選用IIR較為合適，這樣可以充分發(fā)揮其經(jīng)濟(jì)高效的特點(diǎn)。而對(duì)于圖像信號(hào)處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)纫圆ㄐ螖y帶信息的系統(tǒng)，則對(duì)線(xiàn)性相位要求較高，如果有條件，采用FIR濾波器較好。當(dāng)然，在實(shí)際應(yīng)用中，還應(yīng)考慮經(jīng)濟(jì)上的要求以及計(jì)算工具的條件等多方面的因素。,