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一階微分方程的,一、一階微分方程求解,二、解微分方程應用問題,解法及應用,第十二章,一、一階微分方程求解,1.一階標準類型方程求解,關鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟,2.一階非標準類型方程求解,變量代換法——代換自變量,代換因變量,代換某組合式,三個標準類型:,可分離變量方程,,齊次方程,,線性方程,,1.求下列方程的通解,提示:(1),故為分離變量方程:,通解,方程兩邊同除以x即為齊次方程,,令y=ux,化為分,離變量方程.,,,調換自變量與因變量的地位,,用線性方程通解公式求解.,化為,齊次方程.,2.求下列方程的通解:,提示:(1),令u=xy,得,(2)將方程改寫為,(伯努里方程),(分離變量方程),原方程化為,,,,,令y=ut,(齊次方程),令t=x–1,則,,可分離變量方程求解,,化方程為,3.,設F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞),內滿足以下條件:,(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;,(2)求出F(x)的表達式.,解:(1),所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:,(2)由一階線性微分方程解的公式得,,于是,總習題:,(題3只考慮方法及步驟),P353題2求以,為通解的微分方程.,提示:,消去C得,P353題3求下列微分方程的通解:,提示:令u=xy,化成可分離變量方程:,提示:這是一階線性方程,其中,P353題1，2，3(1),(2),(3),(4),(9),(10),提示:可化為關于x的一階線性方程,提示:為伯努里方程,令,提示:可化為貝努里方程,令,原方程化為,,即,則,故原方程通解,,提示:令,,例4.設河邊點O的正對岸為點A,河寬OA=h,,一鴨子從點A游向點,二、解微分方程應用問題,利用共性建立微分方程,,利用個性確定定解條件.,為平行直線,,且鴨子游動方向始終朝著點O,,,提示:如圖所示建立坐標系.,設時刻t鴨子位于點P(x,y),,設鴨子(在靜水中)的游速大小為b,,求鴨子游動的軌跡方程.,O,,水流速度大小為a,,兩岸,,則,關鍵問題是正確建立數(shù)學模型,,要點:,定解條件,由此得微分方程,即,,鴨子的實際運動速度為,(齊次方程),,練習題:,P354題5,6,P354題5.已知某曲線經(jīng)過點(1,1),,軸上的截距等于切點的橫坐標,求它的方程.,提示:設曲線上的動點為M(x,y),,令X=0,得截距,由題意知微分方程為,即,定解條件為,,,,,,此點處切線方程為,它的切線在縱,,P354題6.已知某車間的容積為,的新鮮空氣,問每分鐘應輸入多少才能在30分鐘后使車間空,的含量不超過0.06%?,提示:設每分鐘應輸入,t時刻車間空氣中含,則在,內車間內,兩端除以,并令,與原有空氣很快混合均勻后,以相同的流量排出),得微分方程,,,(假定輸入的新鮮空氣,輸入,,的改變量為,t=30時,解定解問題,,因此每分鐘應至少輸入250,新鮮空氣.,初始條件,,得,k=?,二階微分方程的,二、微分方程的應用,解法及應用,一、兩類二階微分方程的解法,第十二章,一、兩類二階微分方程的解法,1.可降階微分方程的解法—降階法,,令,,令,,逐次積分求解,2.二階線性微分方程的解法,常系數(shù)情形,齊次,非齊次,,代數(shù)法,*歐拉方程,,練習題:P353題2（2）;3(6),(7);4(2)。,,解答提示,P353題2求以,為通解的微分方程.,提示:由通解式可知特征方程的根為,故特征方程為,因此微分方程為,P353題3求下列微分方程的通解,提示:(6)令,則方程變?yōu)?特征根:,齊次方程通解:,令非齊次方程特解為,代入方程可得,思考,若(7)中非齊次項改為,提示:,原方程通解為,特解設法有何變化?,P354題4(2)求解,提示:令,則方程變?yōu)?積分得,利用,再解,并利用,定常數(shù),思考,若問題改為求解,則求解過程中得,問開方時正負號如何確定?,,,特征根:,例1.求微分方程,提示:,故通解為,滿足條件,解滿足,處連續(xù)且可微的解.,,設特解:,代入方程定A,B,得,得,,處的銜接條件可知,,解滿足,故所求解為,其通解:,,,定解問題的解:,例2.,且滿足方程,提示:,則,問題化為解初值問題:,最后求得,,,,思考:設,提示:對積分換元,,則有,解初值問題:,,答案:,的解.,例3.,設函數(shù),內具有連續(xù)二階導,(1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程,變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程;,(2)求變換后的微分方程滿足初始條件,數(shù),且,解:,上式兩端對x求導,得:,(1)由反函數(shù)的導數(shù)公式知,代入原微分方程得,①,(2)方程①的對應齊次方程的通解為,設①的特解為,代入①得A＝0,,從而得①的通解:,由初始條件,得,故所求初值問題的解為,二、微分方程的應用,1.建立數(shù)學模型—列微分方程問題,建立微分方程(共性),利用物理規(guī)律,利用幾何關系,確定定解條件(個性),初始條件,邊界條件,可能還要銜接條件,,,2.解微分方程問題,3.分析解所包含的實際意義,例4.,解:,欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,,為使其擺脫地球,引力,,初始速度應不小于第二宇宙速度,,試計算此速度.,設人造地球衛(wèi)星質量為m,地球質量為M,,衛(wèi)星,的質心到地心的距離為h,,由牛頓第二定律得:,,②,(G為引力系數(shù)),則有初值問題:,又設衛(wèi)星的初速度,③,代入原方程②,得,,兩邊積分得,利用初始條件③,得,因此,注意到,為使,因為當h=R(在地面上)時,引力=重力,,即,④,代入④即得,這說明第二宇宙速度為,求質點的運動規(guī),例5.,上的力F所作的功與經(jīng)過的時間t成正比(比例系數(shù),提示:,兩邊對s求導得:,牛頓第二定律,,,,…,,為k),,,開方如何定+–?,已知一質量為m的質點作直線運動,作用在質點,例6.一鏈條掛在一釘子上,啟動時一端離釘子8m,,另一端離釘子12m,如不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦,力,求鏈條滑下來所需的時間.,解:建立坐標系如圖.,設在時刻t,鏈條較長一段,下垂xm,,又設鏈條線密度為常數(shù),此時鏈條受力,由牛頓第二定律,得,,,348--5,由初始條件得,故定解問題的解為,解得,,當x=20m時,,(s),微分方程通解:,思考:若摩擦力為鏈條1m長的重量,定解問題的,數(shù)學模型是什么?,摩擦力為鏈條1m長的重量時的數(shù)學模型為,不考慮摩擦力時的數(shù)學模型為,,,此時鏈條滑下來所需時間為,,練習題,從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測,要求,需確定儀器的下沉深度y與下沉速度v之間的函,數(shù)關系.,設儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用,設儀器質量為m,,體積為B,海水比重為?,,儀器所受阻力與下沉速度成正,比,比例系數(shù)為k(k>0),,試建立y與v所滿足的微分,方程,并求出函數(shù)關系式y(tǒng)=y(v).,提示:建立坐標系如圖.,質量m體積B,由牛頓第二定律,重力,浮力,阻力,,,,,注意:,初始條件為,用分離變量法解上述初值問題得,,質量m體積B,得,