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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 綜合檢測(cè) 文 新人教A版 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(xx馬鞍山二模)已知全集U＝R，A＝{x|x≥1}，B＝{x|0≤x＜5}，則(?UA)∪(?UB)＝(　　) A．{x|x≥0}　　　　　　 B．{x|x＜1或x≥5} C．{x|x≤1或x≥5} D．{x|x＜0或x≥5} 解析：由題意可得，?UA＝{x|x＜1}，?UB＝{x|x＜0或x≥5}，故(?UA)∪(?UB)＝{x|x＜1或x≥5}，故選B. 答案：B 2．(xx常熟二模)若復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i(i是虛數(shù)單位)，則z＝(　　) A．－＋i B.－i C.＋i D．－－i 解析：∵(1＋i)z＝2i，∴z＝＝＝＝＋i.故選C. 答案：C 3．(xx安慶二模)設(shè)f(x)＝lg(＋a)是奇函數(shù)，且在x＝0處有意義，則該函數(shù)是(　　) A．(－∞，＋∞)上的減函數(shù) B．(－∞，＋∞)上的增函數(shù) C．(－1,1)上的減函數(shù) D．(－1,1)上的增函數(shù) 解析：由題意可知，f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，故f(x)＝lg，函數(shù)f(x)的定義域是(－1,1)，在此定義域內(nèi)f(x)＝lg＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函數(shù)y1＝lg(1＋x)是增函數(shù)，函數(shù)y2＝lg(1－x)是減函數(shù)，故f(x)＝y(tǒng)1－y2是增函數(shù)．選D. 答案：D 4．(xx鷹潭一中模擬)若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析：由題意有2a＋2c＝22b，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)． 答案：B 5．(xx淮北一模)如圖所示的流程圖，若輸入的x＝－9.5，則輸出的結(jié)果為(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：執(zhí)行程序過(guò)程如下：x＝－9.5＜0，x＝－9.5＋2＝－7.5＜0，x＝－7.5＋2＝－5.5＜0，x＝－5.5＋2＝－3.5＜0，x＝－3.5＋2＝－1.5＜0，x＝－1.5＋2＝0.5＞0，c＝20.5＝1，故輸出的結(jié)果為1，故選D. 答案：D 6．(xx連云港一模)某公司有普通職員150人、中級(jí)管理人員40人、高級(jí)管理人員10人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這200人中抽取40人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若在已抽取的40人的問(wèn)卷中隨機(jī)抽取一張，則所抽取的恰好是一名高級(jí)管理人員的答卷的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：由分層抽樣知，在普通職員中抽30人，中級(jí)管理人員中抽8人，高級(jí)管理人員中抽2人．由古典概型知，所抽取的恰好是一名高級(jí)管理人員的答卷的概率為，選C. 答案：C 7．(xx漳州一模)已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)(－，)，則cosα的值為(　　) A. B．－ C．－ D．－ 解析：依題意得cosα＝＝－，故選D. 答案：D 8．(xx華師附中一模)已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是等腰直角三角形，那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為(　　) 解析：依題意可知，該三棱錐的側(cè)視圖可能是D. 答案：D 9．(xx荊門一模)已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)M(1，m)(m＞0)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線－y2＝1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A. B. C. D. 解析：由于M(1，m)在拋物線上，∴m2＝2p，而M到拋物線的焦點(diǎn)的距離為5，根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線x＝－的距離也為5，∴1＋＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，雙曲線的左頂點(diǎn)為A(－，0)，∴kAM＝，而雙曲線的漸近線方程為y＝，根據(jù)題意得，＝，∴a＝. 答案：A 10．(xx紹興調(diào)研)函數(shù)f(x)＝x3－16x的某個(gè)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(　　) A．(－2,0) B．(－1,1) C．(0,2) D．(1,3) 解析：令f(x)＝0，解得x＝0或4.故選B. 答案：B 11．(xx黃岡一模)已知函數(shù)①y＝sinx＋cosx，②y＝2sinxcosx，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)(－，0)成中心對(duì)稱圖形 B．兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于直線x＝－成軸對(duì)稱圖形 C．兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(－，)上都是單調(diào)遞增函數(shù) D．兩個(gè)函數(shù)的最小正周期相同 解析：由于y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，y＝2sinxcosx＝sin2x.對(duì)于A、B選項(xiàng)，當(dāng)x＝－時(shí)，y＝sin(x＋)＝0，y＝sin2x＝－，因此函數(shù)y＝sinx＋cosx的圖象關(guān)于點(diǎn)(－，0)成中心對(duì)稱圖形、不關(guān)于直線x＝－成軸對(duì)稱圖形，函數(shù)y＝2sinxcosx的圖象不關(guān)于點(diǎn)(－，0)成中心對(duì)稱圖形、關(guān)于直線x＝－成軸對(duì)稱圖形，故A、B選項(xiàng)均不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，結(jié)合圖象可知，這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間(－，)上都是單調(diào)遞增函數(shù)，因此C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)y＝sin(x＋)的最小正周期是2π，y＝sin2x的最小正周期是π，D不正確．綜上所述，選C. 答案：C 12．(xx荷澤調(diào)研)若實(shí)數(shù)t滿足f(t)＝－t，則稱t是函數(shù)f(x)的一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx與函數(shù)g(x)＝ex(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的所有次不動(dòng)點(diǎn)之和為m，則(　　) A．m＜0 B．m＝0 C．0＜m＜1 D．m＞1 解析：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝lnx、y＝－x的圖象，其圖象有唯一的公共點(diǎn)(t，－t)，即有l(wèi)nt＝－t，e－t＝t，于是有點(diǎn)(－t，t)是函數(shù)y＝ex、y＝－x的圖象的交點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)＝lnx與g(x)＝ex的次不動(dòng)點(diǎn)必是成對(duì)出現(xiàn)，且兩者互為相反數(shù)，m＝0，選B. 答案：B 第Ⅱ卷(非選擇題，共90分) 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答，第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．(xx撫順六校二模)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________. 解析：依題意得a－c＝(3－k，－6)，3(3－k)＋6＝0，由此解得k＝5. 答案：5 14．(xx唐山期末)已知x，y滿足，則的取值范圍是________． 解析： ＝1＋2，設(shè)k＝，k表示定點(diǎn)P(4,1)與動(dòng)點(diǎn)N(x，y)連線的斜率，點(diǎn)N在如圖所示的三角形ABC的邊界上或內(nèi)部，A(－3，－4)，C(3,2)，kCP＝－1≤k≤kAP＝，所以∈[1－2,1＋]＝[－1，]． 答案：[－1，] 15．(xx石家莊診斷)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且滿足cos＝，＝3，則△ABC的面積為_(kāi)_______． 解析：依題意得cosA＝2cos2－1＝，sinA＝＝，＝ABACcosA＝3，ABAC＝5，△ABC的面積等于ABACsinA＝2. 答案：2 16．(xx徐州模擬)如圖，直線l⊥平面α，垂足為O.已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝5，AB＝6，AD＝8.該長(zhǎng)方體做符合以下條件的自由運(yùn)動(dòng)：(1)A∈l，(2)C∈α.則C1、O兩點(diǎn)間的最大距離為_(kāi)_______． 解析：連接AC、OC，取AC的中點(diǎn)M，連接OM及C1M，由已知易證△AOC為直角三角形，∠AOC為直角，所以O(shè)M＝AC＝＝5，△ACC1也為直角三角形，∠ACC1為直角，所以易求得C1M＝5，連接OC1，設(shè)∠OMC1＝θ，則OC＝OM2＋C1M2－2OMC1Mcosθ＝25＋50－255cosθ＝75－50cosθ，當(dāng)cosθ＝－1即θ＝π時(shí)，OC取得最大值75＋50＝25(＋1)2，所以O(shè)C1的最大值為5(1＋)． 答案：5＋5 三、解答題(本大題共6小題，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟) 17．(xx泉州二模)(本小題滿分12分) 已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足：log3a1＋log3a3＝4，log3a5＋log3a7＝12. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記Tn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，如果數(shù)列{bn}滿足：bn＝；若存在n∈N*，使不等式m＜(b1＋b2＋…＋bn)()n成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)題意得：a1a3＝a＝34，所以a2＝32，同理a6＝36，a6＝a2q4，可得q＝3. 故an＝3n，n∈N*. (2)∵Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)， ∴bn＝＝－， ∴b1＋b2＋…＋bn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝. 設(shè)f(n)＝()n， 則f(n＋1)－f(n)＝－()n≤0， ∴f(1)＝f(2)＞f(3)＞f(4)＞…， ∴f(n)≤f(1)＝. 故m＜. 18．(xx黃山一模)(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐A－BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝，AB＝AC＝2，BC＝，D、E分別為AB、OB的中點(diǎn)． (1)求證：CO⊥平面AOB； (2)在線段CB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，試確定F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)因?yàn)锳O⊥平面COB，所以AO⊥CO，AO⊥BO， 即△AOC與△AOB為直角三角形． 又因?yàn)椤螼AB＝∠OAC＝，AB＝AC＝2，所以O(shè)B＝OC＝1. 由OB2＋OC2＝1＋1＝2＝BC2，可知△BOC為直角三角形． 所以CO⊥BO，又因?yàn)锳O∩BO＝O，所以CO⊥平面AOB. (2)在線段CB上存在一點(diǎn)F，使得平面DEF∥平面AOC，此時(shí)F為線段CB的中點(diǎn)． 如圖，連接DF，EF，因?yàn)镈、E分別為AB、OB的中點(diǎn)，所以DE∥OA. 又DE?平面AOC上，所以DE∥平面AOC. 因?yàn)镋、F分別為OB、BC的中點(diǎn)，所以EF∥OC. 又EF?平面AOC，所以EF∥平面AOC，又EF∩DE＝E，EF?平面DEF，DE?平面DEF，所以平面DEF∥平面AOC. 19．(xx泰州模擬)(本小題滿分12分) 某中學(xué)共有1000名學(xué)生參加了該地區(qū)高三第一次質(zhì)量檢測(cè)的數(shù)學(xué)考試，數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦卤硭荆? 數(shù)學(xué)成績(jī)分組 [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150] 人數(shù) 60 90 300 x 160 (1)為了了解同學(xué)們前段復(fù)習(xí)的得失，以便制定下階段的復(fù)習(xí)計(jì)劃，學(xué)校將采用分層抽樣的方法抽取100名同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，甲同學(xué)在本次測(cè)試中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?5分，求他被抽中的概率； (2)已知本次數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀線為110分，試根據(jù)所提供數(shù)據(jù)估計(jì)該中學(xué)達(dá)到優(yōu)秀線的人數(shù)； (3)作出頻率分布直方圖，并估計(jì)該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分．(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) 解：(1)分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率均為， 故甲同學(xué)被抽到的概率P＝. (2)由題意得x＝1000－(60＋90＋300＋160)＝390. 故估計(jì)該中學(xué)達(dá)到優(yōu)秀線的人數(shù)m＝160＋390＝290. (3)頻率分布直方圖如圖所示． 該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分 ＝＝90. 估計(jì)該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分為90分． 20．(xx天門模擬)(本小題滿分12分) 如圖，橢圓C：＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，左、右頂點(diǎn)分別為A1、A，上頂點(diǎn)為B.拋物線C1、C2分別以A、B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，C1與C2相交于直線y＝x上一點(diǎn)P. (1)求橢圓C及拋物線C1、C2的方程； (2)若動(dòng)直線l與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M、N，已知點(diǎn)Q(－，0)，求的最小值． 解：(1)由題意得，A(a,0)，B(0，)，故拋物線C1的方程可設(shè)為y2＝4ax，拋物線C2的方程為x2＝4y. 由得a＝4，P(8,8)． 所以橢圓C：＋＝1，拋物線C1：y2＝16x，拋物線C2：x2＝4y. (2)由(1)知，直線OP的斜率為，所以直線l的斜率為－，可設(shè)直線l的方程為y＝－x＋b， 由消去y，整理得5x2－8bx＋(8b2－16)＝0. 因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)，所以Δ＝128b2－20(8b2－16)＞0， 解得－＜b＜. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝x1x2－(x1＋x2)＋b2＝. 因?yàn)椋?x1＋，y1)，＝(x2＋，y2)， 所以＝(x1＋，y1)(x2＋，y2)＝x1x2＋(x1＋x2)＋y1y2＋2＝. 因?yàn)椋糱＜，所以當(dāng)b＝－時(shí)，取得最小值，其最小值等于(－)2＋(－)－＝－. 21．(xx東營(yíng)質(zhì)檢)(本小題滿分12分) 已知函數(shù)f(x)＝的圖象過(guò)點(diǎn)(－1,2)，且在x＝處取得極值． (1)求實(shí)數(shù)b、c的值； (2)求f(x)在[－1，e](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的最大值． 解：(1)當(dāng)x＜1時(shí)，f′(x)＝－3x2＋2x＋b， 由題意得，即， 解得b＝c＝0. (2)由(1)知f(x)＝， ①當(dāng)－1≤x＜1時(shí)，f′(x)＝－x(3x－2)， 由f′(x)＝－x(3x－2)＝0得：x＝0或x＝， 解f′(x)＞0得0＜x＜；解f′(x)＜0得－1≤x＜0或＜x＜1， ∴f(x)在[－1,0)和(，1)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增， ∵f(－1)＝2，f()＝，f(0)＝0，f(1)＝0， ∴f(x)在[－1,1)上的最大值為2. ②當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f(x)＝alnx， 當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)≤0；當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增； ∴f(x)在[1，e]上的最大值為a. ∴當(dāng)a≥2時(shí)，f(x)在[－1，e]上的最大值為a； 當(dāng)a＜2時(shí)，f(x)在[－1，e]上的最大值為2. 請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。 22．(xx昆明一模) (本小題滿分10分)選修4－1：幾何證明選講 如圖，在△ABC中，∠C為鈍角，點(diǎn)E，H分別是邊AB上的點(diǎn)，點(diǎn)K和M分別是邊AC和BC上的點(diǎn)，且AH＝AC，EB＝BC，AE＝AK，BH＝BM. (1)求證：E、H、M、K四點(diǎn)共圓； (2)若KE＝EH，CE＝3，求線段KM的長(zhǎng)． 解：(1)連接CH， ∵AC＝AH，AK＝AE， ∴四邊形CHEK為等腰梯形， 注意到等腰梯形的對(duì)角互補(bǔ)， 故C，H，E，K四點(diǎn)共圓， 同理C，E，H，M四點(diǎn)共圓， 即E，H，M，K均在點(diǎn)C，E，H所確定的圓上． (2)連接EM， 由(1)得E，H，M，C，K五點(diǎn)共圓， ∵CEHM為等腰梯形，∴EM＝HC， 故∠MKE＝∠CEH， 由KE＝EH可得∠KME＝∠ECH， 故△MKE≌△CEH， 即KM＝EC＝3. 23．(xx襄樊一模) (本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，－5)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4，)，若直線l過(guò)點(diǎn)P，且傾斜角為，圓C以M為圓心、4為半徑． (1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程； (2)試判定直線l和圓C的位置關(guān)系． 解：(1)由題意，直線l的普通方程是 y＋5＝(x－1)tan，此方程可化為＝， 令＝＝a(a為參數(shù))，得直線l的參數(shù)方程為(a為參數(shù))． 如圖，設(shè)圓上任意一點(diǎn)為Q(ρ，θ)， 則在△QOM中，由余弦定理，得 QM2＝QO2＋OM2－2QOOMcos∠QOM， ∴42＝ρ2＋42－24ρcos(θ－)． 化簡(jiǎn)得ρ＝8sinθ，即為圓C的極坐標(biāo)方程． (2)由(1)可進(jìn)一步得出圓心M的直角坐標(biāo)是(0,4)，直線l的普通方程是x－y－5－＝0，圓心M到直線l的距離d＝＝＞4，所以直線l和圓C相離． 24．(xx武漢一模) (本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a. (1)當(dāng)a＝0時(shí)，解不等式f(x)≥g(x)； (2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)∵|x＋1|≥2|x|?x2＋2x＋1≥4x2?－≤x≤1， ∴不等式f(x)≥g(x)的解集為[－，1]． (2)若存在x∈R，使得|x＋1|≥2|x|＋a成立，即存在x∈R，使得|x＋1|－2|x|≥a成立． 令φ(x)＝|x＋1|－2|x|，則a≤φ(x)max， 又φ(x)＝ 當(dāng)x≥0時(shí)，φ(x)≤1；當(dāng)－1≤x＜0時(shí)，－2≤φ(x)＜1；當(dāng)x＜－1時(shí)，φ(x)＜－2.綜上可得：φ(x)≤1，∴a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，1]．