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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第九章 第5節(jié) 古典概型 理（含解析） 1．（xx陜西，5分）從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：　從這5個(gè)點(diǎn)中任取2個(gè)，有C＝10種取法，滿足兩點(diǎn)間的距離不小于正方形邊長(zhǎng)的取法有C＝6種，因此所求概率P＝＝.故選C. 答案：C 2．（xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，5分）從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：本題主要考查列舉法解古典概型問(wèn)題的基本能力，難度較?。畯?,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)有以下六種情況：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，滿足取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是＝. 答案：B 3．（xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，5分）從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是________． 解析：本題主要考查古典概型，意在考查考生對(duì)基本概念的理解與基本方法的掌握．從五個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)數(shù)的可能結(jié)果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個(gè)，其中“和為5”的結(jié)果有(1,4)，(2,3)，共2個(gè)，故所求概率為＝. 答案： 4．（xx山東，5分）某小組共有A，B，C，D，E五位同學(xué)，他們的身高(單位：米)及體重指標(biāo)(單位：千克/米2)如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 體重指標(biāo) 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1)從該小組身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率； (2)從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的概率． 解：本題主要考查古典概型，考查數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算能力． (1)從身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6個(gè)． 由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 選到的2人的身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3個(gè)．因此選到的2人的身高都在1.78以下的概率為P＝＝. (2)從該小組同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10個(gè)． 由于每個(gè)人被選到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3個(gè)． 因此選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的概率為P1＝. 5．（xx遼寧，12分）現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答．試求： (1)所取的2道題都是甲類題的概率； (2)所取的2道題不是同一類題的概率． 解：本題主要考查用列舉法列出基本事件空間以及基本事件，意在考查考生古典概型的一些基本概念和古典概率的求法． (1)將4道甲類題依次編號(hào)為1,2,3,4；2道乙類題依次編號(hào)為5,6，任取2道題，基本事件為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15個(gè)，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 用A表示“都是甲類題”這一事件，則A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個(gè)，所以P(A)＝＝. (2)基本事件同(1)．用B表示“不是同一類題”這一事件，則B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8個(gè)，所以P(B)＝. 6．（xx天津，13分）某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x，y，z，用綜合指標(biāo)S＝x＋y＋z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí)．若S≤4, 則該產(chǎn)品為一等品．先從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下： 產(chǎn)品編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 質(zhì)量指標(biāo) (x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 產(chǎn)品編號(hào) A6 A7 A8 A9 A10 質(zhì)量指標(biāo) (x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率； (2)在該樣本的一等品中， 隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品， (ⅰ) 用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果； (ⅱ) 設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中， 每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”， 求事件B發(fā)生的概率． 解：本題主要考查用樣本估計(jì)總體的方法、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的能力．(1)計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S，如下表： 產(chǎn)品編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為＝0.6，從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6. (2)(ⅰ)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種． (ⅱ)在該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號(hào)分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種． 所以P(B)＝＝. 7．（xx北京，13分）如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天． (1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率； (2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率； (3)由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明) 解：本題主要考查考生利用古典概型處理較為熱點(diǎn)的環(huán)境問(wèn)題的能力，意在考查考生的推理論證能力、識(shí)圖能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力． (1)在3月1日至3月13日這13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，所以此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率是. (2)根據(jù)題意，事件“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”等價(jià)于“此人到達(dá)該市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”， 所以此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為. (3)從3月5日開(kāi)始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大. 8．（xx安徽，5分）袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于(　　) A. B. C. D. 解析：標(biāo)記紅球?yàn)锳，白球分別為B1、B2，黑球分別為C1、C2、C3，記事件M為“取出的兩球一白一黑”．則基本事件有：(A，B1)、(A，B2)、(A，C1)、(A，C2)、(A，C3)、(B1，B2)、(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)、(C1，C2)、(C1，C3)、(C2，C3)，共15個(gè)．其中事件M包含的基本事件有：(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)，共6個(gè)．根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得其概率為P(M)＝＝. 答案：B 9．（2011新課標(biāo)全國(guó)，5分）有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：甲、乙各自參加一個(gè)興趣小組是相互獨(dú)立的事件，且每人報(bào)每個(gè)興趣小組也是獨(dú)立的，故兩位同學(xué)參加同一興趣小組的概率為C＝. 答案：A 10．（2011浙江，5分）從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：從3個(gè)紅球、2個(gè)白球中任取3個(gè)，根據(jù)窮舉法，可以得到10個(gè)基本事件，其中沒(méi)有白球的取法只有一種，因此所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率P＝1－P(沒(méi)有白球)＝1－＝. 答案：D 11．（2011江蘇，5分）從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是____． 解析：采用枚舉法：從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，基本事件為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個(gè)，符合“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2個(gè)，所以所求的概率為. 答案： 12．（xx江蘇，5分）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若從中隨機(jī)摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是________． 解析：設(shè)3只白球?yàn)锳，B，C,1只黑球?yàn)閐， 則從中隨機(jī)摸出兩只球的情形有： AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6種，其中兩只球顏色不同的有3種，故所求概率為. 答案： 13. （xx江西，12分）如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0，1)，C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)． (1)求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率； (2)求這3點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率． 解：從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果是： x軸上取2個(gè)點(diǎn)的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4種； y軸上取2個(gè)點(diǎn)的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4種； z軸上取2個(gè)點(diǎn)的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4種． 所選取的3個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8種．因此，從這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)的所有可能結(jié)果共20種． (1)選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的所有可能結(jié)果有A1B1C1，A2B2C2，共2種，因此，這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率為P1＝＝. (2)選取的這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的所有可能結(jié)果有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12種，因此，這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率為P2＝＝.