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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 三角函數(shù)與解三角形 第八講 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例 基礎(chǔ)自測(cè) 1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β之間的大小關(guān)系是________． 2．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的________方向． 3．如圖所示，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、B間距離的是________(填序號(hào))． ①α，a，b；②α，β，a；③a，b，γ；④α，β，b. 4．在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30、60，則塔高為________m. 5．△ABC中，D為邊BC上的一點(diǎn)，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD. 題型分類 深度剖析 探究點(diǎn)一　與距離有關(guān)的問題 例1　如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？ 探究點(diǎn)二　與高度有關(guān)的問題 例2　如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB. 探究點(diǎn)三　三角形中的最值問題 例3　某興趣小組要測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m)，示意圖如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β. (1)該小組已測(cè)得一組α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值； (2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測(cè)量精度．若電視塔實(shí)際高度為125 m，試問d為多少時(shí)，α－β最大？ 課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練八 班級(jí) 姓名 1．如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為________． 2．如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為________m. 3．某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是km，那么x的值為________． 4．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這只船的速度是________海里/小時(shí)． 5．某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上．若國歌長(zhǎng)度約為50秒，升旗手應(yīng)以________米/秒的速度勻速升旗． 6．如圖，A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75、30，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60，AC＝0.1km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B、D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km，≈1.414，≈2.449)． 7．如圖所示，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西60方向的B2處，此時(shí)兩船相距10海里．問乙船每小時(shí)航行多少海里？ 8．如圖，某市擬在長(zhǎng)為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為S(3,2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定∠MNP＝120. (1)求A，ω的值和M，P兩點(diǎn)間的距離； (2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長(zhǎng)？ 第八講　正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例 基礎(chǔ)自測(cè) 1．α＝β　2.北偏西10　3.①　4. 5．解　由cos∠ADC＝＞0知B＜，由已知得cosB＝，sin∠ADC＝， 從而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB ＝－＝. 由正弦定理得，＝，所以AD＝＝＝25. 題型分類 深度剖析 例1　解　由題意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90－60＝30，∠DAB＝90－45＝45， ∴∠ADB＝180－(45＋30)＝105. 在△DAB中，由正弦定理，得＝， ∴DB＝＝＝＝10(海里)． 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30＋(90－60)＝60，BC＝20(海里)， 在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1200－21020＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的時(shí)間t＝＝1(小時(shí))． 故救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)． 例2　解　在△BCD中，∠CBD＝π－α－β. 由正弦定理得＝，所以BC＝＝， 在Rt△ABC中， AB＝BCtan∠ACB＝. 例3　解　(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，得＋＝， 解得H＝＝＝124(m)．因此，算出的電視塔的高度H是124m. (2)由題設(shè)知d＝AB，得tanα＝.由AB＝AD－BD＝－，得tanβ＝. 所以tan(α－β)＝＝≤， 當(dāng)且僅當(dāng)d＝，即d＝＝＝55時(shí)， 上式取等號(hào)，所以當(dāng)d＝55時(shí)，tan(α－β)最大． 因?yàn)?<β<α<，則0<α－β<，所以當(dāng)d＝55時(shí)，α－β最大． 課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練八 1. 　 2. 50　 3 .或2 4．10 解析　如圖，依題意有∠BAC＝60，∠BAD＝75，所以∠CAD＝∠CDA＝15，從而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，可得AB＝5，于是這只船的速度＝10(海里/小時(shí))． 5．0.6 解析　在△BCD中，∠BDC＝45，∠CBD＝30，CD＝10， 由正弦定理，得BC＝＝20(米)； 在Rt△ABC中，AB＝BCsin60＝20＝30(米)．所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒)． 6．解　在△ACD中，∠DAC＝30，∠ADC＝60－∠DAC＝30，所以CD＝AC＝0.1. 又∠BCD＝180－60－60＝60，所以△ABC≌△CBD，所以BA＝BD. 在△ABC中，＝，即AB＝＝， 所以BD＝≈0.33(km)．故B、D的距離約為0.33km 7．解　如圖，連結(jié)A1B2，由題意知， A1B1＝20，A2B2＝10， A1A2＝30＝10. 又∵∠B2A2A1＝180－120＝60，∴△A1A2B2是等邊三角形，∠B1A1B2＝105－60＝45. 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1A1B2cos45＝202＋(10)2－22010＝200， ∴B1B2＝10(海里)因此乙船的速度大小為60＝30(海里/小時(shí))． 8．解　方法一　(1)依題意，有A＝2，＝3，又T＝，∴ω＝.∴y＝2sinx.當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2sin＝3，∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝＝5.… 連結(jié)MP，在△MNP中，∠MNP＝120，MP＝5.設(shè)∠PMN＝θ， 則0<θ<60.由正弦定理得＝＝， ∴NP＝sinθ，MN＝sin(60－θ)，……………………………………………(8分) ∴NP＋MN＝sinθ＋sin(60－θ)＝＝sin(θ＋60)． ∵0<θ<60，∴當(dāng)θ＝30時(shí)，折線段賽道MNP最長(zhǎng)．即將∠PMN設(shè)計(jì)為30時(shí)， 折線段賽道MNP最長(zhǎng)． 方法二 (2)連結(jié)MP.在△MNP中，∠MNP＝120.MP＝5， 由余弦定理得， MN2＋NP2－2MNNPcos∠MNP＝MP2.即MN2＋NP2＋MNNP＝25. 故(MN＋NP)2－25＝MNNP≤2，從而(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤. 當(dāng)且僅當(dāng)MN＝NP時(shí)等號(hào)成立．即設(shè)計(jì)為MN＝NP時(shí)，折線段賽道MNP最長(zhǎng)．