2019年高中數(shù)學(xué) 3.3.1 幾何概型學(xué)案 新人教A版必修3.doc
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2019年高中數(shù)學(xué) 3.3.1 幾何概型學(xué)案 新人教A版必修3【明目標(biāo)、知重點(diǎn)】1了解幾何概型的定義及其特點(diǎn)2了解幾何概型與古典概型的區(qū)別3會(huì)用幾何概型的概率計(jì)算公式求幾何概型的概率【填要點(diǎn)、記疑點(diǎn)】1幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型2幾何概型的特點(diǎn)(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等3幾何概型的概率公式P(A).【探要點(diǎn)、究所然】情境導(dǎo)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中,常常會(huì)遇到試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是無(wú)窮多的情況,例如:一個(gè)正方形方格內(nèi)有一內(nèi)切圓,往這個(gè)方格中投一個(gè)石子,求石子落在圓內(nèi)的概率,由于石子可能落在方格中的任何一點(diǎn),這個(gè)實(shí)驗(yàn)不能用古典概型來(lái)計(jì)算事件發(fā)生的概率對(duì)此,我們必須學(xué)習(xí)新的方法來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題探究點(diǎn)一幾何概型的概念思考1計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些方法? 答(1)通過(guò)做試驗(yàn)或計(jì)算機(jī)模擬,用頻率估計(jì)概率;(2)利用古典概型的概率公式計(jì)算思考2某班公交車(chē)到終點(diǎn)站的時(shí)間可能是11:3012:00之間的任何一個(gè)時(shí)刻;往一個(gè)方格中投一粒芝麻,芝麻可能落在方格中的任何一點(diǎn)上這兩個(gè)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè),還是無(wú)限個(gè)?若沒(méi)有人為因素,每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等?答出現(xiàn)的結(jié)果是無(wú)限個(gè);每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的思考3下圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán),甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲,規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí),甲獲勝,否則乙獲勝你認(rèn)為甲獲勝的概率分別是多少?答以轉(zhuǎn)盤(pán)(1)為游戲工具時(shí),甲獲勝的概率為;以轉(zhuǎn)盤(pán)(2)為游戲工具時(shí),甲獲勝的概率為.思考4上述每個(gè)扇形區(qū)域?qū)?yīng)的圓弧的長(zhǎng)度(或扇形的面積)和它所在位置都是可以變化的,從結(jié)論來(lái)看,甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的哪個(gè)因素有關(guān)?哪個(gè)因素?zé)o關(guān)?答與扇形的弧長(zhǎng)(或面積)有關(guān),與扇形區(qū)域所在的位置無(wú)關(guān)思考5玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲中所求的概率就是幾何概型,你能給幾何概型下個(gè)定義嗎?參照古典概型的特征,幾何概型有哪兩個(gè)基本特征?答如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型;幾何概型的基本特征:(1)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè);(2)每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等思考6古典概型和幾何概型有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?答相同點(diǎn):兩者基本事件發(fā)生的可能性都是相等的;不同點(diǎn):古典概型要求基本事件有有限個(gè),幾何概型要求基本事件有無(wú)限多個(gè). 例1判斷下列試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概型是古典概型,還是幾何概型(1)拋擲兩顆骰子,求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率;(2)思考3中,求甲獲勝的概率解(1)拋擲兩顆骰子,出現(xiàn)的可能結(jié)果有6636種,且它們都是等可能的,因此屬于古典概型;(2)游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無(wú)限多個(gè)結(jié)果,而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”,概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來(lái)衡量,即與區(qū)域面積有關(guān),因此屬于幾何概型反思與感悟判斷一個(gè)概率是古典概型還是幾何概型的步驟:(1)判斷一次試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的概率是否相等,若不相等,那么這個(gè)概率既不是古典概型也不是幾何概型;(2)如果一次試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等,再判斷試驗(yàn)結(jié)果的有限性,當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果有有限個(gè)時(shí),這個(gè)概率是古典概型;當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)限個(gè)時(shí),這個(gè)概率是幾何概型跟蹤訓(xùn)練1判斷下列試驗(yàn)是否為幾何概型,并說(shuō)明理由:(1)某月某日,某個(gè)市區(qū)降雨的概率(2)設(shè)A為圓周上一定點(diǎn),在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連接,求弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的概率解(1)不是幾何概型,因?yàn)樗痪哂械瓤赡苄裕?2)是幾何概型,因?yàn)樗哂袩o(wú)限性與等可能性探究點(diǎn)二幾何概型的概率公式問(wèn)題對(duì)于具有幾何意義的隨機(jī)事件,或可以化歸為幾何問(wèn)題的隨機(jī)事件,一般都有幾何概型的特性,那么,對(duì)于屬于幾何概型的試驗(yàn),如何求某一事件的概率?有沒(méi)有求幾何概型的概率公式呢?思考1有一根長(zhǎng)度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得的兩段的長(zhǎng)度都不小于1 m的概率是多少?你是怎樣計(jì)算的?答從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件,剪斷位置可以是長(zhǎng)度為3 m的繩子上的任意一點(diǎn)如上圖,記“剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí),事件A發(fā)生由于中間一段的長(zhǎng)度等于繩長(zhǎng)的,于是事件A發(fā)生的概率P(A).思考2射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán),從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色,靶心是金色,金色靶心叫“黃心”奧運(yùn)會(huì)射箭比賽的靶面直徑是122 cm,黃心直徑是12.2 cm,運(yùn)動(dòng)員在距離靶面70 m外射箭假設(shè)射箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn),那么如何計(jì)算射中黃心的概率?答如右圖,由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為1222 cm2的大圓內(nèi),若要射中黃心,則中靶點(diǎn)落在面積為12.22 cm2的圓內(nèi),所以P0.01.思考3在裝有5升純凈水的容器中放入一個(gè)病毒,現(xiàn)從中隨機(jī)取出1升水,那么這1升水中含有病毒的概率是多少?你是怎樣計(jì)算的?答概率為,由于病毒在5升水中的哪個(gè)位置的可能性都有,1升水中含有病毒的概率為1升水的體積除以5升水的體積思考4根據(jù)上述3個(gè)思考中求概率的方法,你能歸納出求幾何概型中事件A發(fā)生的概率的計(jì)算公式嗎?答P(A).例2某公共汽車(chē)站每隔10分鐘有一輛汽車(chē)到達(dá),乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻是任意的,求乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)6分鐘的概率解如下圖所示,設(shè)上輛車(chē)于時(shí)刻T1到達(dá),而下輛車(chē)于時(shí)刻T2到達(dá),則線段T1T2的長(zhǎng)度為10,設(shè)T是線段T1T2上的點(diǎn),且TT2的長(zhǎng)為6,記“等車(chē)時(shí)間不超過(guò)6分鐘”為事件A,則事件A發(fā)生即當(dāng)點(diǎn)t落在線段TT2上,即DT1T210,dTT26.所以P(A).故乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)6分鐘的概率為.反思與感悟數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法利用圖解題的關(guān)鍵:首先用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的幾何區(qū)域,然后根據(jù)構(gòu)成這兩個(gè)區(qū)域的幾何長(zhǎng)度(面積或體積),用幾何概型概率公式求出事件A的概率跟蹤訓(xùn)練2某人午覺(jué)醒來(lái),發(fā)現(xiàn)表停了,他打開(kāi)收音機(jī),想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí),求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率解記“等待的時(shí)間小于10分鐘”為事件A,打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于50,60時(shí)間段內(nèi)則事件A發(fā)生由幾何概型的概率公式求得P(A),即“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過(guò)10分鐘”的概率為.探究點(diǎn)三幾何概型的應(yīng)用例3在RtABC中,A30,過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線CM交線段AB于M,求使|AM|AC|的概率解設(shè)事件D為“作射線CM,使|AM|AC|”在AB上取點(diǎn)C使|AC|AC|,因?yàn)锳CC是等腰三角形,所以ACC75,A907515,90,所以P(D).反思與感悟幾何概型的關(guān)鍵是選擇“測(cè)度”,如本例以角度為“測(cè)度”因?yàn)樯渚€CM落在ACB內(nèi)的任意位置是等可能的若以長(zhǎng)度為“測(cè)度”,就是錯(cuò)誤的,因?yàn)镸在AB上的落點(diǎn)不是等可能的跟蹤訓(xùn)練3在ABC中,B60,C45,高AD,在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,求BM1的概率解B60,C45,BAC75,在RtADB中,AD,B60,BD1,BAD30.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,使BM1”,則可得BAMBAD時(shí)事件N發(fā)生由幾何概型的概率公式得P(N).【當(dāng)堂測(cè)、查疑缺】1下列關(guān)于幾何概型的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A幾何概型也是古典概型中的一種B幾何概型中事件發(fā)生的概率與位置、形狀無(wú)關(guān)C幾何概型中每一個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性D幾何概型在一次試驗(yàn)中能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限個(gè)答案A解析幾何概型與古典概型是兩種不同的概型2面積為S的ABC,D是BC的中點(diǎn),向ABC內(nèi)部投一點(diǎn),那么點(diǎn)落在ABD內(nèi)的概率為()A. B. C. D.答案B解析向ABC內(nèi)部投一點(diǎn)的結(jié)果有無(wú)限個(gè),屬于幾何概型設(shè)點(diǎn)落在ABD內(nèi)為事件M,則P(M).3ABCD為長(zhǎng)方形,AB2,BC1,O為AB的中點(diǎn),在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為()A. B1C. D1答案B解析若以O(shè)為圓心,1為半徑作圓,則圓與長(zhǎng)方形的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)滿足到點(diǎn)O的距離小于或等于1,故所求事件的概率為P(A)1.4在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則sin 的值介于與之間的概率為_(kāi)答案解析1x1,.由sin ,得,即x1.故所求事件的概率為.【呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律】1幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型2幾何概型主要用于解決與長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的題目3注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別4理解如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問(wèn)題,利用幾何概型公式求解,概率公式為P(A)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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