2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測(cè) 新人教A版選修2-2.doc
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2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測(cè) 新人教A版選修2-2一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,的特點(diǎn),按此規(guī)律,則第100項(xiàng)為()A10B14C13 D100答案B解析設(shè)nN*,則數(shù)字n共有n個(gè),所以100即n(n1)200,又因?yàn)閚N*,所以n13,到第13個(gè)13時(shí)共有91項(xiàng),從第92項(xiàng)開始為14,故第100項(xiàng)為14.2有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù),整數(shù)是有理數(shù),則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”,結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,因?yàn)?)A大前提錯(cuò)誤 B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤 D不是以上錯(cuò)誤答案C解析大小前提都正確,其推理形式錯(cuò)誤故應(yīng)選C.3用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)(nN*)時(shí),驗(yàn)證n1,左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A1 B12C123 D1234答案D解析當(dāng)n1時(shí),左12(13)1234,故應(yīng)選D.4(xx福建南安高二期末)下列說法正確的是()A“ab”是“am2bm2”的充要條件B命題“xR,x3x210”的否定是“xR,x3x210”C“若a、b都是奇數(shù),則ab是偶數(shù)”的逆否命題是“若ab不是偶數(shù),則a、b不都是奇數(shù)”D若pq為假命題,則p、q均為假命題答案C解析A中“ab”是“am20”,故B錯(cuò);C正確;D中pq為假命題,則p、q中至少有一個(gè)為假命題,故D錯(cuò)5(xx東北三校模擬) 下列代數(shù)式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)答案D解析特值法:當(dāng)k1時(shí),顯然只有3(27k)能被9整除,故選D.證明如下:當(dāng)k1時(shí),已驗(yàn)證結(jié)論成立,假設(shè)當(dāng)kn(nN*)時(shí),命題成立,即3(27n)能被9整除,那么3(27n1)21(27n)36.3(27n)能被9整除,36能被9整除,21(27n)36能被9整除,這就是說,kn1時(shí)命題也成立故命題對(duì)任何kN*都成立6已知f(n),則()Af(n)中共有n項(xiàng),當(dāng)n2時(shí),f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng),當(dāng)n2時(shí),f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng),當(dāng)n2時(shí),f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng),當(dāng)n2時(shí),f(2)答案D解析項(xiàng)數(shù)為n2(n1)n2n1,故應(yīng)選D.7已知abc0,則abbcca的值()A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0答案D解析解法1:abc0,a2b2c22ab2ac2bc0,abacbc0.解法2:令c0,若b0,則abbcac0,否則a、b異號(hào),abbcacab0,排除A、B、C,選D.8已知c1,a,b,則正確的結(jié)論是()Aab BabCab Da、b大小不定答案B解析a,b,因?yàn)?,0,所以0,所以a0),觀察:f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x),f3(x)f(f2(x),f4(x)f(f3(x),根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得:當(dāng)nN*且n2時(shí),fn(x)f(fn1(x)_.答案解析觀察f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表達(dá)式可見,fn(x)的分子為x,分母中x的系數(shù)比常數(shù)項(xiàng)小1,常數(shù)項(xiàng)依次為2,4,8,162n.故fn(x).14(xx廈門六中高二期中)在平面上,我們用一直線去截正方形的一個(gè)角,那么截下的一個(gè)直角三角形,按如圖所標(biāo)邊長(zhǎng),由勾股定理有c2a2b2.設(shè)想正方形換成正方體,把截線換成如圖截面,這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN,如果用S1、S2、S3表示三個(gè)側(cè)面面積,S表示截面面積,那么類比得到的結(jié)論是_答案S2SSS解析類比如下:正方形正方體;截下直角三角形截下三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐;直角三角形斜邊平方三棱錐底面面積的平方;直角三角形兩直角邊平方和三棱錐三個(gè)側(cè)面面積的平方和,結(jié)論S2SSS.證明如下:如圖,作OE平面LMN,垂足為E,連接LE并延長(zhǎng)交MN于F,LOOM,LOON,LO平面MON,MN平面MON,LOMN,OEMN,MN平面OFL,SOMNMNOF,SMNEMNFE,SMNLMNLF,OF2FEFL,S(MNOF)2(MNFE)(MNFL)SMNESMNL,同理SSMLESMNL,SSNLESMNL,SSS(SMNESMLESNLE)SMNLS,即SSSS2.16(xx洛陽部分重點(diǎn)中學(xué)教學(xué)檢測(cè))觀察下列等式:1,1,1,由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論:對(duì)于nN*,_.答案1解析由已知中的等式:11,1,所以對(duì)于nN*,1.三、解答題(本大題共6個(gè)大題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17(本題滿分12分)已知:a、b、cR,且abc1.求證:a2b2c2.證明由a2b22ab,及b2c22bc,c2a22ca.三式相加得a2b2c2abbcca.3(a2b2c2)(a2b2c2)2(abbcca)(abc)2.由abc1,得3(a2b2c2)1,即a2b2c2.18(本題滿分12分)設(shè)nN,用歸納推理猜想的值解析記f(n),則f(1)3,f(2)33,f(3)333.猜想f(n)333.點(diǎn)評(píng)f(n)333可證明如下:111(102n1),222(10n1),令10nx1,則f(n)(x1)(10n1),即f(n)33.19(本題滿分12分)(xx華池一中高二期中)在圓x2y2r2(r0)中,AB為直徑,C為圓上異于A、B的任意一點(diǎn),則有kACkBC1.你能用類比的方法得出橢圓1(ab0)中有什么樣的結(jié)論?并加以證明解析類比得到的結(jié)論是:在橢圓1(ab0)中,A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn),點(diǎn)C(x,y)是橢圓上不同于A、B的任意一點(diǎn),則kACkBC證明如下:設(shè)A(x0,y0)為橢圓上的任意一點(diǎn),則A關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(x0,y0),點(diǎn)P(x,y)為橢圓上異于A,B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn),則kAPkBP.由于A、B、P三點(diǎn)在橢圓上,兩式相減得,0,即kAPkBP.故在橢圓1(ab0)中,長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B、P為異于A、B的橢圓上的任意一點(diǎn),則有kABkBP.20(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ax(a1)(1)證明:函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù);(2)用反證法證明方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根解析(1)證法1:任取x1、x2(1,),不妨設(shè)x10,ax2x11且ax10,ax2ax1ax1(ax2x11)0,又x110,x210,0,于是f(x2)f(x1)ax2ax10,故函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)證法2:f (x)axlnaaxlnaa1,lna0,axlna0,f (x)0在(1,)上恒成立,即f(x)在(1,)上為增函數(shù)(2)解法1:設(shè)存在x00(x01)滿足f(x0)0,則ax0,且0ax01.01,即x02,與假設(shè)x00矛盾故方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根解法2:設(shè)x00(x01),若1x00,則2,ax01,f(x0)1.若x00,ax00,f(x0)0.綜上,x0(x1)時(shí),f(x)0,即方程f(x)0無負(fù)數(shù)根21(本題滿分12分)(xx哈六中期中)已知函數(shù)f(x)(x2)exx2x2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)證明:當(dāng)x1時(shí),f(x)x3x.解析(1)f (x)(x1)(ex1),當(dāng)x0或x1時(shí),f (x)0,當(dāng)0x1時(shí),f (x)0,f(x)在(,0),(1,)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)x0時(shí),f(x)有極大值f(0)0,當(dāng)x1時(shí),f(x)有極小值f(1)e.(2)設(shè)g(x)f(x)x3x,則g(x)(x1)(ex),令u(x)ex,則u(x)ex,當(dāng)x1時(shí),u(x)ex0,u(x)在1,)上單調(diào)遞增,u(x)u(1)e20,所以g(x)(x1)(ex)0,g(x)f(x)x3x在1,)上單調(diào)遞增g(x)f(x)x3xg(1)e0,所以f(x)x3x.22(本題滿分14分)設(shè)數(shù)列a1,a2,an,中的每一項(xiàng)都不為0.證明an為等差數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任何nN,都有.分析本題考查等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識(shí),考查推理論證、運(yùn)算求解能力解題思路是利用裂項(xiàng)求和法證必要性,再用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法證明充分性證明先證必要性設(shè)數(shù)列an的公差為d.若d0,則所述等式顯然成立若d0,則.再證充分性證法1:(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對(duì)一切nN都成立首先,在等式兩端同乘a1a2a3,即得a1a32a2,所以a1,a2,a3成等差數(shù)列,記公差為d,則a2a1d.假設(shè)aka1(k1)d,當(dāng)nk1時(shí),觀察如下兩個(gè)等式,將代入,得,在該式兩端同乘a1akak1,得(k1)ak1a1kak.將aka1(k1)d代入其中,整理后,得ak1a1kd.由數(shù)學(xué)歸納法原理知,對(duì)一切nN,都有ana1(n1)d,所以an是公差為d的等差數(shù)列證法2:(直接證法)依題意有,.得,在上式兩端同乘a1an1an2,得a1(n1)an1nan2.同理可得a1nan(n1)an1(n2)得2nan1n(an2an)即an2an1an1an,由證法1知a3a2a2a1,故上式對(duì)任意nN*均成立所以an是等差數(shù)列1已知數(shù)列,2,則2是這個(gè)數(shù)列的()A第6項(xiàng)B第7項(xiàng)C第19項(xiàng) D第11項(xiàng)答案B解析,而2,可見各根號(hào)內(nèi)被開方數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,由202(n1)3得n7.2有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎(jiǎng),有人走訪了四位歌手,甲說:“是乙或丙獲獎(jiǎng)”乙說:“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”丙說:“我獲獎(jiǎng)了”丁說:“是乙獲獎(jiǎng)”四位歌手的話只有兩名是對(duì)的,則獲獎(jiǎng)的歌手是_答案丙解析若甲獲獎(jiǎng),則甲、乙、丙、丁說的都是錯(cuò)的,同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況,最后可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙3(1)由“若a、b、cR,則(ab)ca(bc)”類比“若a、b、c為三個(gè)向量,則(ab)ca(bc)”;(2)在數(shù)列an中,a10,an12an2,猜想an2n2;(3)“在平面內(nèi),三角形的兩邊之和大于第三邊”類比“在空間中,四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積”;上述三個(gè)推理中結(jié)論正確的序號(hào)為_答案解析(ab)ca(bc)不一定成立,其左邊為平行于c的向量,右邊為平行于a的向量,即命題(1)不正確;由a10,an12an2可得an122(an2),則數(shù)列an2是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,an22n,即an2n2,命題(2)正確;(3)正確,可結(jié)合三個(gè)側(cè)面在底面上的射影去證明;綜上可得正確的結(jié)論為(2)(3)4若x0,y0,用分析法證明:(x2y2)(x3y3).證明要證(x2y2)(x3y3),只需證(x2y2)3(x3y3)2,即證x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6,即證3x4y23y4x22x3y3.又因?yàn)閤0,y0,所以x2y20,故只需證3x23y22xy.而3x23y2x2y22xy成立,所以(x2y2)(x3y3)成立5已知a是正整數(shù),且a3是偶數(shù),求證:a也是偶數(shù)分析已知a3的奇偶性研究a的奇偶性,不易直接證明,但如果已知a的奇偶性研究a3的奇偶性則較容易證明,故可用反證法證明假設(shè)a不是偶數(shù),則a必為奇數(shù),設(shè)a2k1(kN),則a3(2k1)38k312k26k12(4k36k23k)1,由于kN,所以4k26k23kN,故2(4k36k23k)是偶數(shù),2(4k36k23k)1為奇數(shù),即a3為奇數(shù),這與a3是偶數(shù)相矛盾故假設(shè)不正確,即a也是偶數(shù)6我們知道,在ABC中,若c2a2b2,則ABC是直角三角形現(xiàn)在請(qǐng)你研究:若cnanbn(n2),問ABC為何種三角形?為什么?解析銳角三角形cnanbn (n2),ca, cb,由c是ABC的最大邊,所以要證ABC是銳角三角形,只需證角C為銳角,即證cosC0.cosC,要證cosC0,只要證a2b2c2,注意到條件:anbncn,于是將等價(jià)變形為:(a2b2)cn2cn.ca,cb,n2,cn2an2,cn2bn2,即cn2an20,cn2bn20,從而(a2b2)cn2cn(a2b2)cn2anbna2(cn2an2)b2(cn2bn2)0,這說明式成立,從而式也成立故cosC0,C是銳角,ABC為銳角三角形- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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