2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第8章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時(shí)跟蹤檢測(cè) 理(含解析)新人教版.doc
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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第8章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時(shí)跟蹤檢測(cè) 理(含解析)新人教版1如果平面的一條斜線(xiàn)與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a(1,0,1),b(0,1,1),那么,這條斜線(xiàn)與平面所成的角是()A.B.C.D.解析:選Dcosa,b且a,b(0,),a,b. 2在正方形ABCDA1B1C1D1中,M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn),則 sin,的值為()A.B.C.D.解析:選B設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA所在直線(xiàn)為x軸,DC所在直線(xiàn)為y軸,DD1所在直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可知(2,2,1),(2,2,1),cos,sin,.故選B. 3(xx汕頭調(diào)研)如圖,在四面體ABCD中,AB1,AD2,BC3,CD2,ABCDCB,則二面角ABCD的大小為()A.B.C.D.解析:選B依題意可知,二面角ABCD的大小等于與所成角的大小,2|cos,即1214922 cos,cos,與所成的角為,所以二面角ABCD的大小為.故選B. 4如圖所示,已知正方體ABCDA1B1C1D1,E、F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,則EF和CD所成的角是()A60B45C30D90解析:選B以D為原點(diǎn),分別以射線(xiàn)DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則D(0,0,0),C(0,1,0),E,F(xiàn),(0,1,0),cos,135,異面直線(xiàn)EF和CD所成的角是45.故選B. 5(xx西安模擬)已知三棱錐SABC中,底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,SA底面ABC,SA3,那么直線(xiàn)AB與平面SBC所成的角的正弦值為()A.B.C.D.解析:選D建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則B(2,0,0),A(0,0,0),S(0,0,3),C(1,0)設(shè)平面SBC的法向量為n(x,y,z),由得,令x3,則n(3,2)又(2,0,0)設(shè)直線(xiàn)AB與平面SBC所成角為,則 sin |cos,n|.故選D. 6(xx金華十校聯(lián)考)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小為60,則AD的長(zhǎng)為()A.B.C2D.解析:選A如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2)設(shè)ADa,則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,a),(1,0,a),(0,2,2)設(shè)平面B1CD的法向量為m(x,y,z)由,得,令z1,則m(a,1,1)又平面C1DC的一個(gè)法向量為n(0,1,0),則由 cos 60,得,解得a,所以AD.故選A. 7設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是_解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2)設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n(x,y,z)則由得,令x1,則n(1,1,1)又(0,0,2)所以點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d. 8(xx福州質(zhì)檢)在三棱柱ABCA1B1C1中,底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形,側(cè)棱AA1底面ABC,點(diǎn)D在棱BB1上,且BD1,若AD與平面AA1C1C的夾角為,則 sin 的值為_(kāi)解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,易知點(diǎn)D,平面AA1C1C的一個(gè)法向量是n(1,0,0),所以cosn,所以sin . 9(xx昆明模擬)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E2EB,CF2FC1,則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為_(kāi)解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DA1,由已知條件得,A(1,0,0),E,F(xiàn),.設(shè)平面AEF的法向量為n(x,y,z),平面AEF與平面ABC所成的二面角為,由,得.令y1,則n(1,1,3)又平面ABC的一個(gè)法向量為m(0,0,1),則 cos |cosn,m|,所以tan . 10(xx湖南高考)如圖,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,ADBC,BAD90,ACBD,BC1,ADAA13.(1)求證:ACB1D;(2)求直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角的正弦值(1)證明:易知,AB,AD,AA1兩兩垂直如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABt,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為:A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3)從而(t,3,3),(t,1,0),(t,3,0)因?yàn)锳CBD,所以t2300.解得t或t(舍去)于是(,3,3),(,1,0)因?yàn)?300,所以,即ACB1D.(2)解:由(1)知,(0,3,3),(,1,0),(0,1,0)設(shè)n(x,y,z)是平面ACD1的一個(gè)法向量,由得,令x1,則n(1,)設(shè)直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角為,則sin |cosn,|.所以直線(xiàn)B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為. 11(xx東營(yíng)模擬)如圖,四邊形ABCD中,ABAD,ADBC,AD6,BC4,AB2,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BC,AD上,且E為BC的中點(diǎn),EFAB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使二面角AEFD等于60.(1)設(shè)P為AD的中點(diǎn),求證:CP平面ABEF;(2)求直線(xiàn)AF與平面ACD所成角的正弦值(1)證明:取AF的中點(diǎn)Q,連QE,QP,則QP綊DF.又DF4,EC2,且DFEC,所以PQ綊EC,所以四邊形PQEC為平行四邊形,所以CPQE.又QE平面ABEF,CP平面ABEF,所以CP平面ABEF.(2)解:由題知折疊后仍有EFAF,EFFD,則EF平面AFD.AFD為二面角AEFD的平面角,所以AFD60.過(guò)A作AOFD于O,又AOEF,AO平面CDFE.作OGEF交EC于G,則OGFD,AOOG,分別以O(shè)G,OD,OA所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,在RtAOF中,AF2,AFO60,則FO1,OA,F(xiàn)(0,1,0),A (0,0,),D(0,3,0),C(2,1,0),(0,1,),(0,3,),(2,2,0),設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n(x,y,z),由得,令z,則n(1,1,)設(shè)直線(xiàn)AF與平面ACD所成的角為,則sin |cosn,|,即直線(xiàn)AF與平面ACD所成角的正弦值為.12(xx北京高考)如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形平面ABC平面AA1C1C,AB3,BC5,(1)求證:AA1平面ABC;(2)求二面角A1BC1B1的余弦值;(3)求證:在線(xiàn)段BC1上存在點(diǎn)D,使得ADA1B,并求的值(1)證明:因?yàn)锳A1C1C為正方形,所以AA1AC.因?yàn)槠矫鍭BC平面AA1C1C,且AA1AC,所以AA1平面ABC.(2)解:由(1)知AA1AC,AA1AB.由題知AB3,BC5,AC4,所以ABAC.如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4)設(shè)平面A1BC1的法向量為n(x,y,z),則得,令z3,則x0,y4,所以n(0,4,3)同理可得平面B1BC1的法向量為m(3,4,0)所以 cosn,m.由圖形知二面角A1BC1B1為銳角,所以二面角A1BC1B1的余弦值為.(3)證明:設(shè)D(x,y,z)是直線(xiàn)BC1上一點(diǎn),且,所以(x,y3,z)(4,3,4)解得x4,y33,z4.所以(4,33,4)由0,得9250,解得.因?yàn)?,1,所以在線(xiàn)段BC1上存在點(diǎn)D,使得ADA1B,此時(shí),. 1(xx唐山調(diào)研)如圖,矩形ABCD中,AB3,BC4,沿對(duì)角線(xiàn)BD將ABD折起,使A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影O落在BC邊上,若二面角CABD的大小為,則 sin ()A.B.C.D.解析:選A由可求得BO,OC,AO,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則C,B,A,D,故(4,3,0),.設(shè)m(x,y,z)是平面ABD的法向量,則,令z3,則m.又(0,3,0)是平面ABC的一個(gè)法向量,cosm,.sin .故選A. 2如圖,三棱錐ABCD中,E是BC的中點(diǎn),DB4,DC2,BDDC,ABAD2,AE平面BCD,二面角ABDC的大小為60.則直線(xiàn)AC與平面ABD所成角的正弦值為_(kāi)解析:取BD的中點(diǎn)M,連接ME,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Mxyz,則A(0,1,),B(2,0,0),D(2,0,0),C(2,2,0),故(2,1,),(2,1,),(2,1,)設(shè)平面ABD的法向量為n(x,y,z),則,令 z1,得n(0,1),設(shè)直線(xiàn)AC與平面ABD所成的角為,則 sin ,所以直線(xiàn)AC與平面ABD所成角的正弦值為. 3(xx東北三校聯(lián)考)如圖,三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱AA1底面ABC,ACB90,E是棱CC1上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是AB的中點(diǎn),AC1,BC2,AA14.(1)當(dāng)E是棱CC1的中點(diǎn)時(shí),求證:CF平面AEB1;(2)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E,使得二面角AEB1B的余弦值是?若存在,求CE的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解:(1)取AB1的中點(diǎn)G,連EG、FG.F,G分別是棱AB,AB1的中點(diǎn),F(xiàn)GBB1,F(xiàn)GBB1,又ECBB1,ECCC1BB1,F(xiàn)GEC,F(xiàn)GEC,四邊形FGEC是平行四邊形,CFEG.CF平面AEB1,EG平面AEB1,CF平面AEB1.(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線(xiàn)為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz,則C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,4)設(shè)E(0,0,m)(0m4),平面AEB1的法向量n1(x,y,z)(1,2,4),(1,0,m)由n1,n1,得解得.令z2,則n1(2m,m4,2)CA平面C1CBB1,是平面EBB1的一個(gè)法向量,令n2(1,0,0),二面角AEB1B的余弦值為,cosn1,n2,解得m1滿(mǎn)足0m4.在棱CC1上存在點(diǎn)E,符合題意,此時(shí)CE1.4(xx衡水一中模擬)如圖,在三棱錐PABC中,PAPBPCAC4,ABBC2.(1)求證:平面ABC平面APC;(2)求直線(xiàn)PA與平面PBC所成角的正弦值;(3)若動(dòng)點(diǎn)M在底面三角形ABC上,二面角MPAC的余弦值為,求B點(diǎn)到AM的最小值(1)證明:取AC中點(diǎn)O,因?yàn)锳PCP,所以O(shè)POC.由已知易得三角形ABC為直角三角形,OAOBOC,POAPOBPOC,OPOB,OP平面ABC,又OP平面PAC,平面ABC平面APC.(2)解:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),(2,2,0),(2,0,2),(0,2,2)設(shè)平面PBC的法向量n1(x,y,z),由得,令x,則n1(,1),cos,n1.直線(xiàn)PA與平面PBC所成角的正弦值為.(3)解:由題意平面PAC的法向量n2(2,0,0),設(shè)平面PAM的法向量為n3(x,y,z),M(m,n,0)(0,2,2),(m,n2,0),由得.令z1,則n3,cosn2,n3,整理得3232,(n2)4m,點(diǎn)M所在的直線(xiàn)方程為4mn20.B點(diǎn)到AM的距離的最小值為d.- 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