2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第22講 簡單的三角恒等變換練習 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第22講 簡單的三角恒等變換練習 新人教A版考情展望1.利用和、差、倍角公式進行三角函數(shù)恒等變形,進而研究三角函數(shù)的性質問題.2.與三角函數(shù)的圖象、性質相結合綜合考查學生分析問題和解決問題的能力一、二倍角公式的變形1用cos 表示sin2,cos2,tan2sin2,cos2,tan2.2用sin ,cos 表示tan tan .應用二倍角公式的變形求值的注意問題(1)已知sin ,cos 的值求tan時,應優(yōu)先采用tan或tan,這樣可以避免由“tan”帶來增解(2)應用“sin”或“cos”求值時,可由所在象限確定該三角函數(shù)值的符號二、輔助角公式asin bcos sin().1輔助角公式的特殊情況(1)sin cos sin;(2)sin cos 2sin;(3)cos sin 2sin.2輔助角公式的作用(1)利用該公式可將形如yasin xbcos x的函數(shù)轉化為形如yAsin(x)的函數(shù),進而研究函數(shù)的性質(2)若函數(shù)yasin xbcos x的定義域為R,則值域為,1已知cos ,3,那么sin ()A.BC. D【解析】3,.sin.【答案】D2已知cos ,(,2),則cos 等于()A. B C. D【解析】2,.cos.【答案】B3化簡的結果是()Acos 1 Bcos 1C.cos 1 Dcos 1【解析】cos 1.【答案】C4對于函數(shù)f(x)2sin x cos x,下列選項中正確的是()Af(x)在(,)上是遞增的Bf(x)的圖象關于原點對稱Cf(x)的最小正周期為2Df(x)的最大值為2【解析】f(x)2sin xcos xsin 2x,f(x)為奇函數(shù),f(x)的圖象關于原點對稱【答案】B5(xx課標全國卷)已知sin 2,則cos2()A. B. C. D.【解析】sin 2,cos2.【答案】A6(xx江西高考)函數(shù)ysin 2x2sin2x的最小正周期T為_【解析】由于ysin 2x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin,T.【答案】考向一 063輔助角公式及其應用(1)函數(shù)f(x)sin xcos的最大值為()A2B.C1D.(2)(xx浙江高考)函數(shù)f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分別是()A,1 B,2 C2,1 D2,2(3)(xx湖北高考)將函數(shù)ycos xsin x(xR)的圖象向左平移m(m0)個單位長度后,所得到的圖象關于y軸對稱,則m的最小值是()A. B. C. D.【思路點撥】(1)先將cos展開,再與“sin x”合成一個角(2)先把f(x)化成Asin(x)的形式,再求周期和振幅(3)先將函數(shù)解析式化簡,再寫出平移后的解析式,然后,根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得到m的表達式,求得m的最小值【嘗試解答】(1)f(x)sin xcoscos xsinsin xcos xsin xsin當x2k(kZ)時,f(x)取得最大值1.(2)f(x)sin 2xcos 2xsin,所以最小正周期為T,振幅A1.(3)由于ycos xsin x2cos,向左平移m(m0)個單位長度后得到函數(shù)y2cos的圖象由于該圖象關于y軸對稱,所以mk(kZ,m0),于是mk(kZ,m0),故當k0時,m取得最小值.【答案】(1)C(2)A(3)B規(guī)律方法1利用asin xbcos xsin(x)把形如yasin xbcos xk的函數(shù)化為一個角的某種函數(shù)的一次式,可以求三角函數(shù)的周期、單調區(qū)間、值域和最值、對稱軸等.對點訓練(xx溫州模擬)已知函數(shù)f(x)sin xcos x,xR,若f(x)1,則x的取值范圍為()A.B.C.D.【解析】f(x)sin xcos x2sin1,sin,2kx2k(kZ),2kx2k,kZ.【答案】A考向二 064三角恒等變換的綜合應用(xx大連模擬)已知函數(shù)f(x)sin2sin2(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值時x的集合【思路點撥】借助“降冪公式”及“輔助角公式”化f(x)成“Asin(x)k”的形式,進而解答本題【嘗試解答】(1)因為f(x)sin1cos 2212sin12sin1,所以f(x)的最小正周期T.(2)當f(x)取得最大值時,sin1,此時2x2k(kZ),即xk(kZ),所以所求x的集合為.規(guī)律方法21.三角恒等變換要堅持結構同化原則,即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等,其中切化弦也是同化思想的體現(xiàn);2.降次是一種三角變換的常用技巧,要靈活運用降次公式.對點訓練(xx四川高考)已知函數(shù)f(x)cos2sin cos .(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;(2)若f(),求sin 2的值【解】(1)由已知,f(x)cos2sin cos (1cos x)sin xcos,所以f(x)的最小正周期為2,值域為.(2)由(1)知,f()cos,所以cos.所以sin 2coscos 212cos21.思想方法之十轉化思想在求三角函數(shù)最值中的妙用解決三角函數(shù)最值的基本途徑,同求解其他函數(shù)最值一樣,一方面應充分利用三角函數(shù)自身的特殊性(如有界性等),另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉化為求一些我們所熟知的函數(shù)(二次函數(shù)等)最值問題常見的三角函數(shù)最值的求解策略如下所示:1配方轉化策略對能夠化為形如yasin2xbsin xc或yacos2xbcos xc的三角函數(shù)最值問題,可看作是sin x或cos x的二次函數(shù)最值問題,常常利用配方轉化策略來解決2有界轉化策略對于所給的三角函數(shù)能夠通過變形化為形如yAsin(x)等形式的,常??梢岳萌呛瘮?shù)的有界性來求解其最值這是解決三角函數(shù)最值問題常用的策略之一3單調性轉化策略借助函數(shù)單調性是求解函數(shù)最值問題常用的一種轉化策略對于三角函數(shù)來說,常常是先化為yAsin(x)k的形式,再利用三角函數(shù)的單調性求解1個示范例 1個對點練(xx山東高考)設函數(shù)f(x)sin2xsin cos x(0),且yf(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.(1)求的值;(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值【解】(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin.因為圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為,又0,所以4.因此1.(2)由(1)知f(x)sin.當x時,2x.所以sin1.因此1f(x).故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值為,1.已知向量a(1sin 2x,sin xcos x),b(1,sin xcos x),函數(shù)f(x)ab.(1)求f(x)的最大值及相應的x的值;(2)若f(),求cos 2的值【解】(1)因為a(1sin 2x,sin xcos x),b(1,sin xcos x),所以f(x)1sin 2xsin2xcos2x1sin 2xcos 2xsin1.因此,當2x2k(kZ),即xk(kZ)時,f(x)取得最大值1.(2)由f()1sin 2cos 2及f(),得sin 2cos 2,兩邊平方,得1sin 4,即sin 4.因此cos 2cossin 4.- 配套講稿:
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