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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練二 第2講 函數(shù)的應(yīng)用 理 考情解讀　1.函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間、零點(diǎn)個(gè)數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型，主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn).2.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體，主要考查函數(shù)的最值問題． 1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根 (1)函數(shù)的零點(diǎn) 對(duì)于函數(shù)f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn)． (2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系 函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． (3)零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根． 注意以下兩點(diǎn)： ①滿足條件的零點(diǎn)可能不唯一； ②不滿足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn)． (4)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函數(shù)模型 解決函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域．其解題步驟是(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式；(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；(4)實(shí)際問題作答：將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實(shí)際問題作出解答. 熱點(diǎn)一　函數(shù)的零點(diǎn) 例1　(1)已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f()>f(－)>0，則方程f(x)＝0的根的個(gè)數(shù)為________． (2)(xx遼寧)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝則不等式f(x－1)≤的解集為(　　) A．[，]∪[，] B．[－，－]∪[，] C．[，]∪[，] D．[－，－]∪[，] 思維啟迪　(1)根據(jù)零點(diǎn)存在性原理，進(jìn)行判斷；(2)畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想解決． 答案　(1)2　(2)A 解析　(1)由于函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(－)＝－f()>0， 故f()<0，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f()>0，由零點(diǎn)存在性定理知，存在c∈(，)，使得f(c)＝0，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)有唯一零點(diǎn)，由奇函數(shù)圖象的特點(diǎn)知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)也有一個(gè)零點(diǎn)，故方程f(x)＝0的根的個(gè)數(shù)為2. (2)先畫出y軸右邊的圖象，如圖所示． ∵f(x)是偶函數(shù)，∴圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴可畫出y軸左邊的圖象，再畫直線y＝.設(shè)與曲線交于點(diǎn)A，B，C，D，先分別求出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 令cos πx＝，∵x∈[0，]， ∴πx＝，∴x＝. 令2x－1＝，∴x＝，∴xA＝，xB＝. 根據(jù)對(duì)稱性可知直線y＝與曲線另外兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xC＝－，xD＝－. ∵f(x－1)≤，則在直線y＝上及其下方的圖象滿足，∴≤x－1≤或－≤x－1≤－， ∴≤x≤或≤x≤. 思維升華　函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問題，常見的有①函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定；②零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定；③兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定．解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解． 　(1)已知函數(shù)f(x)＝()x－cos x，則f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知a是函數(shù)f(x)＝2x－logx的零點(diǎn)，若00 C．f(x0)<0 D．f(x0)的符號(hào)不確定 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)y＝()x和y＝cos x的圖象在[0,2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，而函數(shù)y＝()x和y＝cos x的圖象在[0,2π]上的交點(diǎn)有3個(gè)，故選C. (2)∵f(x)＝2x－logx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又a是函數(shù)f(x)＝2x－logx的零點(diǎn)，即f(a)＝0，∴當(dāng)010時(shí)，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x. ∴W＝ (2)①當(dāng)00； 當(dāng)x∈(9,10)時(shí)，W′<0，∴當(dāng)x＝9時(shí)，W取得最大值， 且Wmax＝8.19－93－10＝38.6. ②當(dāng)x>10時(shí)， W＝98－≤98－2＝38， 當(dāng)且僅當(dāng)＝2.7x，即x＝時(shí)，W＝38， 故當(dāng)x＝時(shí)，W取最大值38. 綜合①②知：當(dāng)x＝9時(shí)，W取最大值38.6萬元，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大． 1．函數(shù)與方程 (1)函數(shù)f(x)有零點(diǎn)?方程f(x)＝0有根?函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)． (2)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0. ①如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，那么當(dāng)f(a)f(b)<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0. ②如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)f(b)>0，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)不一定沒有零點(diǎn)． 2．函數(shù)綜合題的求解往往應(yīng)用多種知識(shí)和技能．因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件．要認(rèn)真分析，處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問題來解決． 3．應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序 ??? 與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及到物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問題．解答這類問題的關(guān)鍵是確切的建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答. 真題感悟 1．(xx重慶)已知函數(shù)f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 答案　A 解析　作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，其中A(1,1)，B(0，－2)． 因?yàn)橹本€y＝mx＋m＝m(x＋1)恒過定點(diǎn)C(－1,0)，故當(dāng)直線y＝m(x＋1)在AC位置時(shí)，m＝，可知當(dāng)直線y＝m(x＋1)在x軸和AC之間運(yùn)動(dòng)時(shí)兩圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(直線y＝m(x＋1)可與AC重合但不能與x軸重合)，此時(shí)00， f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則極小值 f(－1)<0，即－e－1－a<0，∴a>－，又x→－∞時(shí)，f(x)>0，則a<0， ∴a∈(－，0)． 3．某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)．則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)________年時(shí)，年平均利潤最大，最大值是________萬元． 答案　5　8 解析　由題意知每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為＝18－(x＋)，而x>0，故≤18－2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)，年平均利潤最大，最大值為8萬元． (推薦時(shí)間：60分鐘) 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝log2x－的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　) A．(0，) B．(，1) C．(1,2) D．(2,3) 答案　C 解析　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)． f()＝log2－＝－1－2＝－3<0， f(1)＝log21－＝0－1<0， f(2)＝log22－＝1－＝>0， f(3)＝log23－>1－＝>0， 即f(1)f(2)<0， ∴函數(shù)f(x)＝log2x－的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)． 2．函數(shù)f(x)＝＋ln，下列區(qū)間中，可能存在零點(diǎn)的是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(1,2)與(2,3) 答案　B 解析　f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，＋∞)，且為遞減函數(shù)， 當(dāng)10，所以f(x)>0，故函數(shù)在(1,2)上沒有零點(diǎn)； f(2)＝－ln 1＝1>0，f(3)＝－ln 2＝＝， 因?yàn)椋?≈2.828，所以>e，故ln e0時(shí)，f(x)＝x2－x＝(x－)2－≥－，所以要使函數(shù)f(x)＝m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則－0時(shí)，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， 則當(dāng)x≤0時(shí)， 函數(shù)f(x)＝2x－a有一個(gè)零點(diǎn)， 令f(x)＝0得a＝2x， 因?yàn)?<2x≤20＝1，所以01 解析　函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程＝m|x|有且僅有三個(gè)實(shí)根． ∵＝m|x|?＝|x|(x＋2)，作函數(shù)y＝|x|(x＋2)的圖象，如圖所示，由圖象可知m應(yīng)滿足：0<<1， 故m>1. 10．我們把形如y＝(a>0，b>0)的函數(shù)因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故生動(dòng)地稱為“囧函數(shù)”，若當(dāng)a＝1，b＝1時(shí)的“囧函數(shù)”與函數(shù)y＝lg|x|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則n＝________. 答案　4 解析　由題意知，當(dāng)a＝1，b＝1時(shí)，y＝＝ 在同一坐標(biāo)系中畫出“囧函數(shù)”與函數(shù)y＝lg|x|的圖象如圖所示，易知它們有4個(gè)交點(diǎn)． 三、解答題 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)； (2)若對(duì)任意b∈R，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，f(x)＝x2－2x－3， 令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. ∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為3和－1. (2)依題意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有兩個(gè)不同實(shí)根． ∴b2－4a(b－1)>0恒成立， 即對(duì)于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立， 所以有(－4a)2－4(4a)<0?a2－a<0，所以0，即1400， 即f(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴若實(shí)數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)f(3)≤0即可． f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0， ∴a≤－或a≥1. 檢驗(yàn)：(1)當(dāng)f(－1)＝0時(shí)，a＝1，所以f(x)＝x2＋x. 令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1. 方程在[－1,3]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，故a≠1. (2)當(dāng)f(3)＝0時(shí)，a＝－，此時(shí)f(x)＝x2－x－. 令f(x)＝0，即x2－x－＝0， 解得x＝－或x＝3. 方程在[－1,3]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不合題意，故a≠－. 綜上所述，a<－或a>1.