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2019年高考數(shù)學新一輪復習 詳細分類題庫 考點32 數(shù)學歸納法（文、理）（含詳解，13高考題） 一、填空題 1. （xx湖北高考理科Ｔ14）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為，記第n個k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式： 三角形數(shù) N(n,3)= ， 正方形數(shù) N(n,4)=n2， 五邊形數(shù) N(n,5)= ， 六邊形數(shù) N(n,6)=， ……………………………………… 可以推測N(n,k)的表達式，由此計算N(10,24)= 【解題指南】歸納出結論，代入數(shù)值計算。 【解析】 三角形數(shù) ， 正方形數(shù) =， 五邊形數(shù) =， 六邊形數(shù) ==， ……………………………………… 推測k邊形 . 所以. 【答案】1000 二、解答題 2.（xx江蘇高考數(shù)學科Ｔ23）設數(shù)列1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，………，…,即當時。記.對于，定義集合Pl={n|Sn為an的整數(shù)倍,,且1≤n≤} (1)求P11中元素個數(shù). (2)求集合Pxx中元素個數(shù). 【解題指南】主要考查集合、數(shù)列的概念和運算、計數(shù)原理等基礎知識, 考查探究能力及運用數(shù)學歸納法的推理論證能力 【解析】由數(shù)列的定義得 = 1, = - 2, = - 2, = 3, = 3, = 3, = - 4, = -4, = - 4, = - 4, = 5, 所以 = 1, = - 1, = - 3, = 0, = 3, = 6, = 2, = -2, = -6, = -10, = -5, 從而= ，= 0,= , = 2, = -,所以集合中元素的個數(shù)為5. （2）先證:Si(2i+1)= -i(2i+1)(iN*). 事實上, ①當 i = 1 時, Si(2i+1)= S3 = -3, -i(2i+1)= -3, 故原等式成立; ②假設 i =m 時成立, 即 Sm(2m+1)= -m(2m+1), 則 i =m+1 時, S(m+1)(2m+3) = Sm(2m+1) + (2m+1)2-(2m+2)2= -m(2m+1)-4m-3 = -(2m2+5m+3)= -(m+1)(2m+3) 綜合①②可得 Si(2i+1)= -i(2i+1). 于是S(i+1)(2i+1)= Si(2i+1) +(2i+1)2= -i(2i+1)+(2i+1)2= (2i+1)(i+1). 由上述內容可知 Si(2i+1)是 2i+1 的倍數(shù), 而 ai(2i+1)+j= 2i+1( j = 1, 2, …, 2i+1), 所以Si(2i+1)+j=Si(2i+1) +j(2i+1)是 ai(2i+1)+j(j = 1, 2, …, 2i+1)的倍數(shù). 又 S(i+1)(2i+1) = (i+1)(2i+1)不是 2i + 2 的倍數(shù), 而 a(i+1)(2i+1)+j= - (2i + 2) (j =1, 2, …, 2i+2), 所以S(i+1)(2i+1)+j=S(i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是a(i+1)(2i+1)+j ，(j =1, 2, …, 2i+2)的倍數(shù), 故當 =i(2i+1)時, 集合中元素的個數(shù)為1+3+…+(2i-1)=i2, 于是=i(2i+1)+j (1j2i+1)時, 集合中元素的個數(shù)為i2+j. 又xx = 31(231+1)+47, 故集合Pxx中元素的個數(shù)為312+47=1 008.