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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練四 第3講 推理與證明 理 考情解讀　1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識(shí)相結(jié)合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn).2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題． 1．合情推理 (1)歸納推理 ①歸納推理是由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理． ②歸納推理的思維過程如下： →→ (2)類比推理 ①類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理． ②類比推理的思維過程如下： →→ 2．演繹推理 (1)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷． (2)合情推理與演繹推理的區(qū)別 歸納和類比是常用的合情推理，從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理；類比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理．從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確． 3．直接證明 (1)綜合法 用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為： →→→…→ (2)分析法 用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為： →→→…→ 4．間接證明 反證法的證明過程可以概括為“否定——推理——否定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛 盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過程．用反證法證明命題“若p，則q”的過程可以用如圖所示的框圖表示． →→→ 5．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟： (1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立． 由(1)(2)可知，對(duì)任意n≥n0，且n∈N*時(shí)，命題都成立． 熱點(diǎn)一　歸納推理 例1　(1)有菱形紋的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是(　　) A．26 B．31 C．32 D．36 (2)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是(　　) A．48,49 B．62,63 C．75,76 D．84,85 思維啟迪　(1)根據(jù)三個(gè)圖案中的正六邊形個(gè)數(shù)尋求規(guī)律；(2)靠窗口的座位號(hào)碼能被5整除或者被5除余1. 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表： 圖案 1 2 3 … 個(gè)數(shù) 6 11 16 … 由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5(6－1)＝31. 故選B. (2)由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)臨窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，分析答案中的4組座位號(hào)，只有D符合條件． 思維升華　歸納遞推思想在解決問題時(shí)，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用．其思維模式是“觀察——?dú)w納——猜想——證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想． 　(1)四個(gè)小動(dòng)物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1、2、3、4號(hào)位上(如圖)，第一次前后排動(dòng)物互換座位，第二次左右列動(dòng)物互換座位，…這樣交替進(jìn)行下去，那么第202次互換座位后，小兔坐在第______號(hào)座位上． 1鼠 2猴 3兔 4貓 　 開始 1兔 2貓 3鼠 4猴 第一次 1貓 2兔 3猴 4鼠 第二次 1猴 2鼠 3貓 4兔 第三次 A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則有________________． 答案　(1)B　(2)f(2n)>(n≥2，n∈N*) 解析　(1)考慮小兔所坐的座位號(hào)，第一次坐在1號(hào)位上，第二次坐在2號(hào)位上，第三次坐在4號(hào)位上，第四次坐在3號(hào)位上，第五次坐在1號(hào)位上，因此小兔的座位數(shù)更換次數(shù)以4為周期，因?yàn)?02＝504＋2，因此第202次互換后，小兔所在的座位號(hào)與小兔第二次互換座位號(hào)所在的座位號(hào)相同，因此小兔坐在2號(hào)位上，故選B. (2)由題意得f(22)>，f(23)>，f(24)>， f(25)>，所以當(dāng)n≥2時(shí)，有f(2n)>. 故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)． 熱點(diǎn)二　類比推理 例2　(1)在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體ABCD的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則＝________. (2)已知雙曲正弦函數(shù)shx＝和雙曲余弦函數(shù)chx＝與我們學(xué)過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)，請(qǐng)類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角或差角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個(gè)類似的正確結(jié)論________． 思維啟迪　(1)平面幾何中的面積可類比到空間幾何中的體積；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后驗(yàn)證． 答案　(1)　(2)ch(x－y)＝chx chy－shx shy 解析　(1)平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，所以＝. (2)chx chy－shx shy＝－ ＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y) ＝(2ex－y＋2e－(x－y))＝＝ch(x－y)，故知ch(x＋y)＝chx chy＋shx shy， 或sh(x－y)＝shx chy－chx shy， 或sh(x＋y)＝shx chy＋chx shy. 思維升華　類比推理是合情推理中的一類重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起．當(dāng)然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比，例2即屬于此類題型．一般來說，高考中的類比問題多發(fā)生在橫向與縱向類比上，如圓錐曲線中橢圓與雙曲線等的橫向類比以及平面與空間中三角形與三棱錐的縱向類比等． 　(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列．類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為(　　) A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ (2)橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對(duì)偶性質(zhì)，如對(duì)于橢圓有如下命題：AB是橢圓＋＝1(a>b>0)的不平行于對(duì)稱軸且不過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則kOMkAB＝－.那么對(duì)于雙曲線則有如下命題：AB是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的不平行于對(duì)稱軸且不過原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則kOMkAB＝________. 答案　(1)D　(2) 解析　(1)由{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d， 則bn＝＝a1＋d， 又正項(xiàng)數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q， 則dn＝＝＝c1，故選D. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 則有 將A，B代入雙曲線－＝1中得 －＝1，－＝1， 兩式相減，得＝， 即＝， 即＝， 即kOMkAB＝. 熱點(diǎn)三　直接證明和間接證明 例3　已知數(shù)列{an}滿足：a1＝，＝，anan＋1<0 (n≥1)；數(shù)列{bn}滿足： bn＝a－a (n≥1)． (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)證明：數(shù)列{bn}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列． 思維啟迪　(1)利用已知遞推式中的特點(diǎn)構(gòu)造數(shù)列{1－a}；(2)否定性結(jié)論的證明可用反證法． (1)解　已知＝化為＝， 而1－a＝， 所以數(shù)列{1－a}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 則1－a＝n－1，則a＝1－n－1， 由anan＋1<0，知數(shù)列{an}的項(xiàng)正負(fù)相間出現(xiàn)， 因此an＝(－1)n＋1 ， bn＝a－a＝－n＋n－1 ＝n－1. (2)證明　假設(shè)存在某三項(xiàng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)為bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整數(shù)，可設(shè)m0， 當(dāng)n＝3時(shí)，(4n－4n－1)＝>0，… 猜想當(dāng)n≥2時(shí)，T2n>2n2＋， 即n≥2時(shí)，4n>4n＋1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝2時(shí)，42＝16,42＋1＝9,16>9，成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)成立，即4k>4k＋1. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，4k＋1＝44k>4(4k＋1) ＝16k＋4>4k＋5＝4(k＋1)＋1， 所以n＝k＋1時(shí)成立． 由①②得，當(dāng)n≥2時(shí)，4n>4n＋1成立． 綜上，當(dāng)n＝1時(shí)，T2n<2n2＋， 當(dāng)n≥2時(shí)，T2n>2n2＋. 思維升華　在使用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，在歸納假設(shè)后，歸納假設(shè)就是證明n＝k＋1時(shí)的已知條件，把歸納假設(shè)當(dāng)已知條件證明后續(xù)結(jié)論時(shí)，可以使用綜合法、分析法、反證法． 　已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*. (1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系； (2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明． 解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)， 當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)|AB|，則P點(diǎn)的軌跡為橢圓 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓＋＝1的面積S＝πab D．以上均不正確 答案　B 解析　從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理． 2．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于(　　) A．28 B．76 C．123 D．199 答案　C 解析　觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1,3,4,7,11，…，其規(guī)律為從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)的和，所求值為數(shù)列中的第十項(xiàng)． 繼續(xù)寫出此數(shù)列為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十項(xiàng)為123，即a10＋b10＝123. 3．已知x>0，觀察不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，由此可得一般結(jié)論：x＋≥n＋1(n∈N*)，則a的值為(　　) A．nn B．n2 C．3n D．2n 答案　A 解析　根據(jù)已知，續(xù)寫一個(gè)不等式： x＋＝＋＋＋≥4＝4，由此可得a＝nn.故選A. 4．已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3>0，則f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值(　　) A．恒為正數(shù) B．恒為負(fù)數(shù) C．恒為0 D．可正可負(fù) 答案　A 解析　由已知得f(0)＝0，a1＋a5＝2a3>0， 所以a1>－a5. 由于f(x)單調(diào)遞增且為奇函數(shù)， 所以f(a1)＋f(a5)>f(－a5)＋f(a5)＝0， 又f(a3)>0，所以f(a1)＋f(a3)＋f(a5)>0. 故選A. 5．在平面內(nèi)點(diǎn)O是直線AB外一點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝1；類似地，如果點(diǎn)O是空間內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C，D中任意三點(diǎn)均不共線，并且這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z等于(　　) A．0 B．－1 C．1 D．1 答案　B 解析　在平面內(nèi)，由三角形法則， 得＝－，＝－. 因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線， 所以存在實(shí)數(shù)t，使＝t，即－＝t(－)， 所以＝－＋(＋1). 因?yàn)椋溅耍?，所以λ＝－，μ＝?， 所以λ＋μ＝1. 類似地，在空間內(nèi)可得＝λ＋μ＋η，λ＋μ＋η＝1. 因?yàn)椋剑?，所以x＋y＋z＝－1.故選B. 6．已知f(n)＝32n＋2－8n－9，存在正整數(shù)m，使n∈N*時(shí)，能使m整除f(n)，則m的最大值為(　　) A．24 B．32 C．48 D．64 答案　D 解析　由f(1)＝64，f(2)＝704＝1164，f(3)＝6 528＝10264， 所以f(1)，f(2)，f(3)均能被64整除，猜想f(n)能被64整除． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，由上得證； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，f(k)＝32k＋2－8k－9＝9k＋1－8k－9能被64整除， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝9(k＋1)＋1－8(k＋1)－9＝99k＋1－8k－17＝9f(k)＋64(k＋1)． 由歸納假設(shè)，f(k)是64的倍數(shù)，又64(k＋1)是64的倍數(shù)，所以f(k＋1)能被64整除，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立． 因?yàn)閒(1)不能被大于64的數(shù)整除， 所以所求m的最大值等于64.故選D. 二、填空題 7．如圖所示的是由火柴棒拼成的一列圖形，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成， 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)第4個(gè)圖形中，火柴棒有________根；第n個(gè)圖形中，火柴棒有________根． 答案　13,3n＋1 解析　易得第四個(gè)圖形中有13根火柴棒，通過觀察可得，每增加一個(gè)正方形，需增加三根火柴棒，所以第n個(gè)圖形中的火柴棒為4＋3(n－1)＝3n＋1. 8．平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為________． 答案　 解析　1條直線將平面分成1＋1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個(gè)區(qū)域；……，n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝個(gè)區(qū)域． 9．(xx課標(biāo)全國Ⅰ)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市； 丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市． 由此判斷乙去過的城市為________． 答案　A 解析　由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A，由此可知，乙去過的城市為A. 10．對(duì)大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”：23，33，43，….仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是59，則m＝________. 答案　8 解析　由已知可觀察出m3可分裂為m個(gè)連續(xù)奇數(shù)，最小的一個(gè)為(m－1)m＋1.當(dāng)m＝8時(shí)，最小的數(shù)為57，第二個(gè)便是59.所以m＝8. 三、解答題 11．已知a，b，m為非零實(shí)數(shù)，且a2＋b2＋2－m＝0，＋＋1－2m＝0. (1)求證：＋≥； (2)求證：m≥. 證明　(1)(分析法)要證＋≥成立， 只需證(＋)(a2＋b2)≥9， 即證1＋4＋＋≥9， 即證＋≥4. 根據(jù)基本不等式，有＋≥2＝4成立， 所以原不等式成立． (2)(綜合法)因?yàn)閍2＋b2＝m－2，＋＝2m－1， 由(1)，知(m－2)(2m－1)≥9， 即2m2－5m－7≥0， 解得m≤－1或m≥. 又∵a2＋b2＝m－2>0 ∴m>2,故m≤－1舍去， ∴m≥. 12．若不等式＋＋…＋>對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論． 解　方法一　當(dāng)n＝1時(shí)，＋＋>， 即>，所以a<26. 而a是正整數(shù)，所以取a＝25， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 ＋＋…＋>. ①當(dāng)n＝1時(shí)，已證得不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立， 即＋＋…＋>. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 有＋＋…＋ ＝＋＋…＋＋＋＋－>＋[＋－]． 因?yàn)椋? ＝－ ＝ ＝>0， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 由①②知，對(duì)一切正整數(shù)n，都有＋＋…＋>， 所以正整數(shù)a的最大值為25. 方法二　設(shè)f(n)＝＋＋…＋ 則f(n＋1)－f(n)＝＋＋－ ＝＋－＝>0， ∴數(shù)列{f(n)}為遞增數(shù)列， ∴f(n)min＝f(1)＝＋＋＝， ∴＋＋＋…＋>對(duì)一切正整數(shù)n都成立可轉(zhuǎn)化為

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本文標(biāo)題：2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練四 第3講 推理與證明 理.doc
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